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(完整版)三角函数解三角形题型归类
三角函数解三角形题型归类
一知识归纳：
（一）任意角、弧度制及任意角的三角函数
1．角的概念
（1）任意角:①定义：角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ;②分类：角按旋转方向分为 、 和 ．
（2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内,构成的角的集合是S＝ ．
(3)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与 ，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
2．弧度制
（1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个负数 ，零角的弧度数是 。
（2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，1 rad＝°。
（3)扇形的弧长公式：l＝|α｜·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2。
3．任意角的三角函数
（1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y),那么sin α＝ ，cos α＝ ,tan α＝ ．
（2）任意角α的终边与单位圆交于点P（x,y）时,sin α＝y，cos α＝x,tan α＝（x≠0）
4。三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．
（二)公式概念
1．三角函数诱导公式（k∈Z）的本质
奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数,同时把α看成是锐角）．
2．两角和与差的三角函数公式
(1)sin（α±β）＝sin αcos β±cos αsin β；
（2）cos（α±β）＝cos αcos β∓sin αsin β；
(3)tan（α±β)＝.
3．二倍角公式
(1）sin 2α＝2sin αcos α；
（2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α,cos2α＝,
sin2α＝;(3）tan 2α＝.
（三）正、余弦定理及其变形:
1．正弦定理及其变形
在△ABC中，＝＝＝2R(其中R是外接圆的半径）;
a＝2Rsin A,b＝2Rsin B,c＝2Rsin C；
sin A＝，sin B＝，sin C＝.
2．余弦定理及其变形
a2＝b2＋c2－2bccos A； cos A＝.
b2＝ ; cos B＝ ；
c2＝ . cos C＝ .
3。三角形面积公式：
S△ABC＝ah＝absin C＝acsin B＝_________________＝＝（a＋b＋c）·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r。

2．整体法：求y＝Asin(ωx＋φ）(ω>0)的单调区间、周期、值域、对称轴(中心)时，将ωx＋φ看作一个整体,利用正弦曲线的性质解决．
3．换元法：在求三角函数的值域时，有时将sin x（或cos x）看作一个整体，换元后转化为二次函数来解决．
4．公式法:y＝Asin（ωx＋φ)和y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期为，y＝Atan（ωx＋φ）的最小正周期为.
（2016年 全国卷1)
4。△的内角，,的对边分别为,，．已知，，，则
（A） （B） （C） (D）
6。将函数的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为
（A) （B）
（C) （D）
14。已知是第四象限角,且,则--——-———————．
（2015年 全国卷1）
8。 函数的部分图像如图所示,则的单调递减区间为（ )
（A）
(B)
（C）
（D）
17. （本小题满分12分）已知分别是内角的对边，.
（I）若，求
（II）若，且 求的面积。

（2014年 全国卷1）
2。若，则
A. B。 C。 D.
7.在函数①，② ，③，④中,最小正周期为的所有函数为
A。①②③ B. ①③④ C. ②④ D。 ①③
16.如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得 点的仰角，点的仰角以及;从点测学科网得.已知山高，则山高________.

(2013年 全国卷1）
9．函数在的图像大致为（ ）

10．已知锐角的内角的对边分别为，，,,则
（A） （B） (C) （D)
16．设当时，函数取得最大值,则______。

(2012年 全国卷1)
9。已知>0,，直线=和=是函数图像的两条相邻的对称轴，则=
（A） （B） (C） （D）
17.（本小题满分12分）已知,，分别为三个内角,,的对边,.
（Ⅰ）求;
（Ⅱ）若=2，的面积为，求,。

三、题型归纳
题型一、三角函数定义的应用
1。若点P在－角的终边上，且P的坐标为（－1，y)，则y等于(　　)
A。－ B. C.－ D。
变式1．已知角α的终边经过点(，－1），则角α的最小正值是(　　)
A。 B. C。 D。
题型二、三角函数值的符号
2．已知角α的终边经过点（,－1)，则角α的最小正值是（　　）
A. B. C. D。
变式2。设α是第二象限角，P(x，4）为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝(　　)
A。 B. C．－ D．－
题型三、同角三角函数关系式的应用
　3。已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于(　　）
A．－ B. C．－ D。
4。已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值为(　　）
A．－ B. C．－ D.
变式3。已知sin α－cos α＝，α∈(0，π),则tan α等于(　　)
A．－1 B．－ C. D．1
题型四　诱导公式的应用
5．(1)已知sin＝,则cos＝________。
(2）sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos（－1 020°）sin（－1 050°）＝______
变式4。已知角终边上一点p（—4,3)，则的值为
题型五、三角函数的图形变换
6.（1）要得到函数y＝sin的图象,只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
（2）某同学用“五点法”画函数f（x)＝Asin(ωx＋φ）在某一个周期内的图象时,列表并填入部分数据，如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
X

Asin（ωx＋φ)
0
5

－5
0
(1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到y＝g(x）的图象,求y＝g（x）的图象离原点O最近的对称中心．

变式5.已知函数y＝2sin。
(1)求它的振幅、周期、初相；
（2）说明y＝2sin的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．

题型六、三角函数的性质问题
7.（1）函数y＝2sin的单调增区间为________。
（2）已知函数f(x)＝cos的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值时x的集合为（　　)
A. B。
C。 D.

(3）函数f（x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f(x）的图象（　　）
A。关于点对称 B。关于直线x＝对称
C.关于点对称 D.关于直线x＝对称
(4）当x＝时，函数f（x）＝Asin（x＋φ）(A＞0）取得最小值，则函数y＝f是(　　）
A.奇函数且图象关于点对称 B。偶函数且图象关于点（π,0)对称
C.奇函数且图象关于直线x＝对称 D。偶函数且图象关于点对称
变式6。已知函数f（x)＝2cos x(sin x＋cos x)．
(1）求f的值;
(2)求函数f（x)的最小正周期及单调递增区间．

题型七、最值与值域问题
8.已知函数。
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值。

变式7、已知函数，若将函数图像向左平移个单位长度,得到函数g（x)的图像，则g（x)在区间上的最大值和最小值之和为 。

题型八、三角函数的求值、求角问题
9。(1）已知，则= 。
(2）已知锐角α,β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于(　　）
A。 B.或 C. D．2kπ＋（k∈Z)
变式8.（1）已知cos＝,θ∈,则sin＝________.
（2）已知sin α＝，sin(α－β）＝－，α，β均为锐角，则角β等于(　　）
A. B。 C. D.
！ 题型九、三角恒等变换的应用
10。已知函数f（x)＝sin（x＋θ）＋acos(x＋2θ），其中a∈R，θ∈。
（1）当a＝，θ＝时，求f(x）在区间［0，π］上的最大值与最小值；
(2)若f＝0，f(π）＝1，求a，θ的值．

变式9.函数f（x)＝sin（2x－)－2sin2x的最小正周期是________．
题型十、利用正、余弦定理解三角形
11 .（1）设△ABC的内角A，B,C的对边分别为a,b,c。若a＝2，c＝2，cos A＝，且b〈c,则b＝（　　)
A。 B。2 C。2 D.
（2）在△ABC中，a＝3,b＝，∠A＝，则∠B＝________.
（3）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a，b，c，已知A＝,b2－a2＝c2.
①求tan C的值；
②若△ABC的面积为3，求b的值．

（4）在△ABC中，cos2＝（a,b，c分别为角A，B,C的对边）,则△ABC的形状为(　　）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
变式10。（1）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝bsin A－acos B.
①求角B；
②若b＝2,△ABC的面积为，求a,c.

(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c,若c－acos B＝(2a－b）cos A，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
题型十一、三角函数的综合应用
12。已知向量m＝(sin（2π－x)，cos x)，向量n＝sin,cos(π＋x)，f（x）＝m·n。
①求y＝f(x）的单调递增区间和对称中心;
②在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若有f(B）＝,b＝7，sin A＋sin C＝，求△ABC的面积．

变式11。设△ABC的内角A,B，C所对的边分别为a，b，c,且acos C－c＝b.
（1)求角A的大小；
(2）若a＝3,求△ABC的周长l的取值范围．

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