三三角函数、解三角形.doc

第三章三角函数、解三角形
第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数

1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad．
(2)公式：
角α的弧度数公式
|α|＝(l表示弧长)
角度与弧度的换算
①1°＝ rad；②1 rad＝°
弧长公式
l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
3．任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α
x叫做α的余弦，记作cos α
叫做α的正切，记作tan α
各象限符号
一
＋
＋
＋
二
＋
－
－
三
－
－
＋
四
－
＋
－
三角函
数线

有向线段MP为正弦线

有向线段OM为余弦线

有向线段AT为正切线
[小题体验]
1．若θ满足sin θ<0，cos θ>0，则θ的终边所在的象限为(　　)
A．第一象限　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：D
2．已知角α的终边经过点(－4，－3)，则cos α＝(　　)
A． B．－
C． D．－
答案：B
3．已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．
答案：1．2

1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．
2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．
4．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin α＝，cos α ＝，tan α＝．
[小题纠偏]
1．若角α终边上有一点P(x,5)，且cos α＝(x≠0)，则sin α＝(　　)
A． B．
C． D．－
答案：A
2．3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角．
答案：四　一

[题组练透]
1．给出下列四个命题：
①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有(　　)
A．1个　　　　　　　　 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C　－是第三象限角，故①错误；＝π＋，从而是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
2．若α是第二象限的角，则下列结论一定成立的是(　　)
A．sin>0 B．cos>0
C．tan>0 D．sincos<0
解析：选C　∵＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ<<＋kπ．
当k为偶数时，是第一象限角；
当k为奇数时，是第三象限角，即tan >0一定成立，故选C．
3．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．
解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：
β＝45°＋k×360°(k∈Z)，
则令－720°≤45°＋k×360°<0°，
得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－，
从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°．
答案：－675°或－315°
4．已知角β的终边在直线x－y＝0上，则角β的集合S＝____________________．
解析：

如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，
在0°～360°范围内，
终边落在射线OA上的角是60°，
终边落在射线OB上的角是240°，
所以以射线OA，OB为终边的角的集合为：
S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，
S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以角β的集合S＝S1∪S2
＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．
答案：{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}
[谨记通法]
1．终边在某直线上角的求法4步骤
(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；
(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；
(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；
(4)求并集化简集合．
2．确定kα，(k∈N*)的终边位置3步骤
(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；
(2)再写出kα或的范围；
(3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置．

[题组练透]
1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为(　　)
A．40π cm2　　　　　 B．80π cm2
C．40 cm2 D．80 cm2
解析：选B　∵72°＝，
∴S扇形＝|α|r2＝××202＝80π(cm2)．
2．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A．1　　 B．4　　　C．1或4　　　D．2或4
解析：选C　设此扇形的半径为r，弧长为l，
则解得或
从而α＝＝＝4或α＝＝＝1．
3．扇形弧长为20 cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm2．
解析：由弧长公式l＝|α|r，得
r＝＝，∴S扇形＝lr＝×20×＝．
答案：
[谨记通法]
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．
(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量，如“题组练透”第3题．
[锁定考向]
任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．
常见的命题角度有：
(1)三角函数定义的应用；
(2)三角函数值的符号判定；
(3)三角函数线的应用．　　　 　
[题点全练]
角度一：三角函数定义的应用
1．已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则＋＝________．
解析：∵角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，
∴cos α＝＝－，即x＝或x＝－(舍去)，
∴P，
∴sin α＝－，∴tan α＝＝，
则＋＝－＋＝－．
答案：－
角度二：三角函数值的符号判定
2．若sin αtan α<0，且<0，则角α是(　　)
A．第一象限角　　　　　 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选C　由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，
则α为第二或第三象限角．
由<0可知cos α，tan α异号，
则α为第三或第四象限角．
综上可知，α为第三象限角．
角度三：三角函数线的应用
3．函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为________．
解析：∵3－4sin2x>0，
∴sin2x<，
∴－<sin x<．

利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，
∴x∈(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
[通法在握]
定义法求三角函数的3种情况
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．
(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
[演练冲关]
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选D　因为点A的纵坐标yA＝，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－．
2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：选B　设P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝．
当t>0时，cos θ＝；当t<0时，cos θ＝－．
因此cos 2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－．

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在(　　)
A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B　因为点P在第三象限，所以所以α的终边在第二象限，故选B．
2．设角α终边上一点P(－4a,3a)(a<0)，则sin α的值为(　　)
A．　　　 B．－　　　　
C．　　　　 D．－
解析：选B　设点P与原点间的距离为r，
∵P(－4a,3a)，a<0，
∴r＝＝|5a|＝－5a．
∴sin α＝＝－．
3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为(　　)
A． B．
C． D．2
解析：选C　设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r＝αr，
所以α＝．
4．在直角坐标系中，O是原点，A(，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为__________．
解析：依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，
设点B坐标为(x，y)，所以x＝2cos 120°＝－1，y＝2sin 120°＝，即B(－1，)．
答案：(－1，)
5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________．
解析：因为sin θ＝＝－，
所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8．
答案：－8
二保高考，全练题型做到高考达标
1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：选C　将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A、B不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的，即为－×2π＝－．
2．(2016·福州一模)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：选D　因为α是第二象限角，所以cos α＝x＜0，
即x＜0．又cos α＝x＝．
解得x＝－3，所以tan α＝＝－．
3．已知角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于(　　)
A．sin 2 B．－sin 2
C．cos 2 D．－cos 2
解析：选D　因为r＝＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝＝－cos 2．
4．设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选B　由θ是第三象限角，知为第二或第四象限角，∵＝－cos ，∴cos <0，综上知为第二象限角．
5．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)

解析：选C　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样．
6．与2 017°的终边相同，且在0°～360°内的角是________．
解析：∵2 017°＝217°＋5×360°，
∴在0°～360°内终边与2 017°的终边相同的角是217°．
答案：217°
7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．
解析：由α是第二象限的角可得90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，则180°－(180°＋k·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k·360°)(k∈Z)，即－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．
答案：一
8．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为________．
解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为α，
则＝，
∴α＝．
∴扇形的弧长与圆周长之比为＝＝．
答案：
9．在(0,2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围为____________________．
解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x＝cos x的x值，sin＝cos＝，sin＝cos＝－．根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x∈．
答案：
10．已知扇形AOB的周长为8．
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB．
解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
(1)由题意可得
解得或
∴α＝＝或α＝＝6．
(2)法一：∵2r＋l＝8，
∴S扇＝lr＝l·2r≤2＝×2＝4，
当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4．
∴圆心角α＝2，弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1．
法二：∵2r＋l＝8，
∴S扇＝lr＝r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，
当且仅当r＝2，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4．
∴弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是(　　)
A．sin α＋cos α＜0 B．tan α－sin α＜0
C．cos α－tan α＜0 D．tan αsin α＜0
解析：选B　∵α是第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A、C、D．
2．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为(　　)
A．1　　　 B．－1　　　　
C．3　　　　 D．－3
解析：选B　由α＝2kπ－(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0．
所以y＝－1＋1－1＝－1．
3．已知sin α＜0，tan α＞0．
(1)求α角的集合；
(2)求终边所在的象限；
(3)试判断 tansin cos的符号．
解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；
由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，
其集合为．
(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，
故终边在第二、四象限．
(3)当在第二象限时，tan ＜0，
sin ＞0, cos ＜0，
所以tan sin cos取正号；
当在第四象限时， tan＜0，
sin＜0, cos＞0，
所以 tansincos也取正号．
因此，tansin cos 取正号．
第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_

1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：
sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：
tan α＝．
2．诱导公式
组序
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋
α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos_α
余弦
cos α
－cos α
cos α
－cos_α
sin α
－sin α
组序
一
二
三
四
五
六
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan_α

口诀
函数名不变
符号看象限
函数名改变
符号看象限
记忆
规律
奇变偶不变，符号看象限
[小题体验]
1．已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)＝______．
答案：－
2．若sin θcos θ＝，则tan θ＋的值为________．
答案：2

1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．
特别注意函数名称和符号的确定．
2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
[小题纠偏]
1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝________．
答案：－
2．(1)sin＝________，
(2)tan＝________．
答案：(1)　(2)

[题组练透]
1．化简sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．－1
C．0 D．2
解析：选C　原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·sin 261°
＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0．
2．已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　)
A．{1，－1,2，－2}　　　 B．{－1,1}
C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}
解析：选C　当k为偶数时，A＝＋＝2；
k为奇数时，A＝－＝－2．
3．已知tan＝，则tan＝________．
解析：tan＝tan
＝tan
＝－tan＝－．
答案：－
4．(易错题)设f(α)＝，则f＝________．
解析：∵f(α)＝
＝＝
＝，
∴f＝＝＝＝．
答案：
[谨记通法]
1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤

也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”
2．利用诱导公式化简三角函数的要求
(1)化简过程是恒等变形；
(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如“题组练透”第4题．

[典例引领]
1．已知＝5，则sin2α－sin αcos α的值为(　　)
A．－　　　　　　　 B．－
C． D．
解析：选D　依题意得：＝5，
∴tan α＝2．
∴sin2α－sin αcos α
＝
＝＝＝．
2．若α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为________．
解析：由tan α＝－，得sin α＝－cos α，
将其代入sin2α＋cos2α＝1，
得cos2α＝1，∴cos2α＝，易知cos α<0，
∴cos α＝－，sin α＝，
故sin α＋cos α＝－．
答案：－
[由题悟法]
同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧
解读
适合题型
切弦
互化
主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切
表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ
“1”的
变换
1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝(sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ
表达式中需要利用“1”转化
和积
转换
利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化
表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ
[即时应用]
1．若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选D　法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝＝ ＝，
所以tan α＝＝＝－．
法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－，所以可在α的终边上取一点P(12，－5)，则tan α＝＝－．故选D．
2．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选B　因为(sin θ＋cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝，则(sin θ－cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sin θ·cos θ＝1－2sin θcos θ＝．
又因为θ∈，所以sin θ<cos θ，即sin θ－cos θ<0，
所以sin θ－cos θ＝－．

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．若α∈，sin α＝－，则cos(－α)＝(　　)
A．－　　　　　　　　　B．
C． D．－
解析：选B　因为α∈，sin α＝－，所以cos α＝，即cos(－α)＝．
2．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：选D　∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，
∴－sin θ＝－cos θ，∴tan θ＝．∵|θ|＜，∴θ＝．
3．(2017·赣中南五校联考)已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos的值为(　　)
A． B．－
C．2 D．－
解析：选A　由题意可得tan α＝2，
所以cos＝sin 2α＝＝＝．故选A．
4．已知α∈，sin α＝，则tan α＝________．
解析：∵α∈，∴cos α＝－＝－，
∴tan α＝＝－．
答案：－
5．如果sin(π＋A)＝，那么cos的值是________．
解析：∵sin(π＋A)＝，∴－sin A＝．
∴cos＝－sin A＝．
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知tan(α－π)＝，且α∈，则sin＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选B　因为tan(α－π)＝，所以tan α＝．
又因为α∈，所以α为第三象限的角，
sin＝cos α＝－．
2．已知sin＝，则cos＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选D　∵cos＝sin
＝sin＝－sin＝－．
3．已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，若f(2 016)＝5，则f(2 017)的值是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B　∵f(2 016)＝5，
∴asin(2 016π＋α)＋bcos(2 016π＋β)＋4＝5，
即asin α＋bcos β＝1．
∴f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＋4＝－asin α－bcos β＋4＝－1＋4＝3．
4．(2017·广州模拟)当θ为第二象限角，且sin＝时，的值是(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．0
解析：选B　∵sin＝，∴cos＝，
∴在第一象限，且cos <sin，
∴＝＝－1．
5．计算：＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：选D　原式＝
＝
＝
＝．
6．已知sin(3π－α)＝－2sin，则sin αcos α＝________．
解析：∵sin(3π－α)＝－2sin，
∴sin α＝－2cos α，
∴tan α＝－2，
∴sin αcos α＝
＝＝
＝－．
答案：－
7．已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈，则cos θ＝________．
解析：∵a⊥b，∴a·b＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ．
又∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝，
又∵θ∈，∴cos θ＝．
答案：
8．sin·cos·tan的值是________．
解析：原式＝sin·cos·tan
＝··
＝××(－)＝－．
答案：－
9．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°．
解：原式
＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945°
＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°
＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°
＝×＋×＋1＝2．
10．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin 2α．
解：由已知得sin α＝2cos α．
(1)原式＝＝－．
(2)原式＝
＝＝．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________．
解析：sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos21°＋sin290°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＋sin290°＝44＋＋1＝．
答案：
2．已知f(x)＝(n∈Z)．
(1)化简f(x)的表达式；
(2)求f＋f的值．
解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
f(x)＝
＝＝＝sin2x；
当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
f(x)＝
＝
＝
＝
＝sin2x，
综上得f(x)＝sin2x．
(2)由(1)得f＋f
＝sin2＋sin2
＝sin2＋sin2
＝sin2＋cos2＝1．
第三节三角函数的图象与性质

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)．
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象

定义域
R
R
xx∈R，且x

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性

为增；
为减
[2kπ－π，2kπ]为增；[2kπ，2kπ＋π]为减

为增
对称
中心
(kπ，0)

对称轴
x＝kπ＋
x＝kπ

[小题体验]
1．函数y＝2－cos (x∈R)的最小正周期为________．
答案：6π
2．(教材习题改编)函数y＝－tan＋2的定义域为________________．
答案：

1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．
2．要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况．
3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．
[小题纠偏]
1．函数y＝4sin(－x)，x∈[－π，π]的单调性是(　　)
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在和上是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在和上是增函数，在上是减函数
答案：D
2．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________．
解析：由已知x∈，得2x－∈，
所以sin∈，故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－．
答案：－

[题组练透]
1．(易错题)函数y＝的定义域为__________________．
解析：要使函数有意义，
必须有
即
故函数的定义域为．
答案：
2．函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为______________．
解析：由得
∴－3≤x<－或0<x<．∴函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为∪．
答案：∪
[谨记通法]
(1)应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域，如“题组练透”第1题易忽视．
(2)求复杂函数的定义域时转化为求解简单的三角不等式．

[典例引领]
1．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)
A．2－　　　　　　　 B．0
C．－1 D．－1－
解析：选A　∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，
∴sin∈．
∴y∈[－，2]，∴ymax＋ymin＝2－．
2．函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x，x∈[0，π]的值域为________________．
解析：设t＝sin x－cos x，
则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，
即sin xcos x＝，且－1≤t≤．
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1．
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1．
∴函数的值域为[－1,1]．
答案：[－1,1]
[由题悟法]
三角函数最值或值域的3种求法
(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解．
(2)化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．
(3)换元法：把sin x、cos x、sin xcos x或sin x±cos x换成t，转化为二次函数．
[即时应用]
求函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值．
解：令t＝sin x，∵|x|≤，∴t∈．
∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋，
∴当t＝时，ymax＝，当t＝－时，ymin＝．
∴函数y＝cos2x＋sin x的最大值为，最小值为．

三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．
常见的命题角度有：
(1)三角函数的周期性；
(2)三角函数的对称性；
(3)三角函数的单调性．　　　 　[锁定考向]
[题点全练]
角度一：三角函数的周期性
1．(2016·山东高考)函数f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)的最小正周期是(　　)
A．　　　　　　　　 B．π
C． D．2π
解析：选B　∵f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)
＝3sin xcos x＋cos2x－sin2x－sin xcos x
＝sin 2x＋cos 2x
＝2sin，
∴T＝＝π．故选B．
角度二：三角函数的对称性
2．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象(　　)
A．关于直线x＝对称　　 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于点对称
解析：选B　∵f(x)＝sin的最小正周期为π，
∴＝π，ω＝2，
∴f(x)＝sin．当x＝时，2x＋＝，
∴A、C错误；当x＝时，2x＋＝，
∴B正确，D错误．
3．若函数f(x)＝sin－ cos|θ|<的图象关于原点对称，则角θ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选D　∵f(x)＝2sin，且f(x)的图象关于原点对称，∴f(0)＝2sin＝0，即sin＝0，∴θ－＝kπ(k∈Z)，即θ＝＋kπ(k∈Z)．又|θ|<，∴θ＝．
角度三：三角函数的单调性
4．已知f(x)＝sin，x∈[0，π]，则f(x)的单调递增区间为________．
解析：由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z．
又x∈[0，π]，所以f(x)的单调递增区间为．
答案：
5．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________．
解析：∵f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点，
∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．
由f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，
在上单调递减知，＝，∴ω＝．
答案：
[通法在握]
1．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性和对称性
(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0．
(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．
2．求三角函数单调区间的2种方法
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．
(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．
[演练冲关]
1．最小正周期为π且图象关于直线x＝对称的函数是(　　)
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
解析：选B　由函数的最小正周期为π，排除C；由函数图象关于直线x＝对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于B，因为sin＝sin ＝1，所以选B．
2．函数y＝cos的单调减区间为____________．
解析：由y＝cos＝cos得
2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数的单调减区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
3．函数y＝|tan x|在上的单调减区间为_______．
解析：如图，观察图象可知，y＝|tan x|在上的单调减区间为和．

答案：和

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2017·广州五校联考)下列函数中，周期为π的奇函数为(　　)
A．y＝sin xcos x　　　　 B．y＝sin2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x
解析：选A　y＝sin2x为偶函数；y＝tan 2x的周期为；y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶函数，故B、C、D都不正确，选A．
2．(2016·合肥质检)函数y＝sin在x＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D　由题意得，2ω＋＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝＋kπ(k∈Z)，∵ω>0，∴当k＝0时，ωmin＝，故选D．
3．下列各点中，能作为函数y＝tan的一个对称中心的点是(　　)
A．(0,0) B．
C．(π，0) D．
解析：选D　由x＋＝(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，当k＝1时，x＝，所以函数y＝tan的一个对称中心的点是，故选D．
4．(2017