三三角函数、解三角形.doc

第三章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad(2)公式：角的弧度数公式|(l表示弧长)角度与弧度的换算1 rad；1 rad弧长公式l|r扇形面积公式Slr|r23任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 各象限符号一二三四三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线小题体验1若满足sin 0，则的终边所在的象限为()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限答案：D2已知角的终边经过点(4，3)，则cos ()A BC D答案：B3已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为_答案：121注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角2角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况4三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin y，cos x，tan ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin ，cos ，tan 小题纠偏1若角终边上有一点P(x,5)，且cos (x0)，则sin ()A BC D答案：A23 900是第_象限角，1 000是第_象限角答案：四一题组练透1给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正确的命题有()A1个B2个C3个 D4个解析：选C是第三象限角，故错误；，从而是第三象限角，故正确；40036040，从而正确；31536045，从而正确2若是第二象限的角，则下列结论一定成立的是()Asin0 Bcos0Ctan0 Dsincos0解析：选C2k2k，kZ，k0一定成立，故选C3在7200范围内所有与45终边相同的角为_解析：所有与45有相同终边的角可表示为：45k360(kZ)，则令72045k3600，得765k36045，解得k，从而k2或k1，代入得675或315答案：675或3154已知角的终边在直线xy0上，则角的集合S_解析：如图，直线xy0过原点，倾斜角为60，在0360范围内，终边落在射线OA上的角是60，终边落在射线OB上的角是240，所以以射线OA，OB为终边的角的集合为：S1|60k360，kZ，S2|240k360，kZ，所以角的集合SS1S2|60k360，kZ|60180k360，kZ|602k180，kZ|60(2k1)180，kZ|60k180，kZ答案：|60k180，kZ谨记通法1终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；(2)按逆时针方向写出0,2)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；(4)求并集化简集合2确定k，(kN*)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角的范围；(2)再写出k或的范围；(3)然后根据k的可能取值讨论确定k或的终边所在位置题组练透1若一扇形的圆心角为72，半径为20 cm，则扇形的面积为()A40 cm2B80 cm2C40 cm2 D80 cm2解析：选B72，S扇形|r220280(cm2)2已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是()A1B4C1或4D2或4解析：选C设此扇形的半径为r，弧长为l，则解得或从而4或13扇形弧长为20 cm，圆心角为100，则该扇形的面积为_cm2解析：由弧长公式l|r，得r，S扇形lr20答案：谨记通法弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l|r，扇形的面积公式是Slr|r2(其中l是扇形的弧长，是扇形的圆心角)(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量，如“题组练透”第3题锁定考向任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容在高考中多以选择题、填空题的形式出现常见的命题角度有：(1)三角函数定义的应用；(2)三角函数值的符号判定；(3)三角函数线的应用 题点全练角度一：三角函数定义的应用1已知角的终边经过点P(x，6)，且cos ，则_解析：角的终边经过点P(x，6)，且cos ，cos ，即x或x(舍去)，P，sin ，tan ，则答案：角度二：三角函数值的符号判定2若sin tan 0，且0，则角是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：选C由sin tan 0可知sin ，tan 异号，则为第二或第三象限角由0，sin2x，sin x0时，cos ；当t0时，cos 因此cos 22cos211一抓基础，多练小题做到眼疾手快1已知点P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选B因为点P在第三象限，所以所以的终边在第二象限，故选B2设角终边上一点P(4a,3a)(a0)，则sin 的值为()ABCD解析：选B设点P与原点间的距离为r，P(4a,3a)，a0，r|5a|5asin 3若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(0)的弧度数为()A BC D2解析：选C设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以rr，所以4在直角坐标系中，O是原点，A(，1)，将点A绕O逆时针旋转90到B点，则B点坐标为_解析：依题意知OAOB2，AOx30，BOx120，设点B坐标为(x，y)，所以x2cos 1201，y2sin 120，即B(1，)答案：(1，)5已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_解析：因为sin ，所以y0，且y264，所以y8答案：8二保高考，全练题型做到高考达标1将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()A BC D解析：选C将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角故A、B不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的，即为22(2016福州一模)设是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos x，则tan ()A BC D解析：选D因为是第二象限角，所以cos x0，即x0又cos x解得x3，所以tan 3已知角终边上一点P的坐标是(2sin 2，2cos 2)，则sin 等于()Asin 2 Bsin 2Ccos 2 Dcos 2解析：选D因为r2，由任意三角函数的定义，得sin cos 24设是第三象限角，且cos ，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：选B由是第三象限角，知为第二或第四象限角，cos ，cos cos x成立的x的取值范围为_解析：如图所示，找出在(0,2)内，使sin xcos x的x值，sincos，sincos根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x答案：10已知扇形AOB的周长为8(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为，(1)由题意可得解得或或6(2)法一：2rl8，S扇lrl2r224，当且仅当2rl，即2时，扇形面积取得最大值4圆心角2，弦长AB2sin 124sin 1法二：2rl8，S扇lrr(82r)r(4r)(r2)244，当且仅当r2，即2时，扇形面积取得最大值4弦长AB2sin 124sin 1三上台阶，自主选做志在冲刺名校1若是第三象限角，则下列各式中不成立的是()Asin cos 0 Btan sin 0Ccos tan 0 Dtan sin 0解析：选B是第三象限角，sin 0，cos 0，tan 0，则可排除A、C、D2已知角2k(kZ)，若角与角的终边相同，则y的值为()A1B1C3D3解析：选B由2k(kZ)及终边相同的概念知，角的终边在第四象限，又角与角的终边相同，所以角是第四象限角，所以sin 0，cos 0，tan 0所以y11113已知sin 0，tan 0(1)求角的集合；(2)求终边所在的象限；(3)试判断 tansin cos的符号解：(1)由sin 0，知在第三、四象限或y轴的负半轴上；由tan 0, 知在第一、三象限，故角在第三象限，其集合为(2)由2k2k，kZ，得kk，kZ，故终边在第二、四象限(3)当在第二象限时，tan 0，sin 0, cos 0，所以tan sin cos取正号；当在第四象限时， tan0，sin0, cos0，所以 tansincos也取正号因此，tansin cos 取正号第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2cos21；(2)商数关系：tan 2诱导公式组序一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin sin sin cos cos_余弦cos cos cos cos_sin sin 组序一二三四五六正切tan tan tan tan_口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限小题体验1已知sin，则sin()_答案：2若sin cos ，则tan 的值为_答案：21利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐特别注意函数名称和符号的确定2在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号3注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化小题纠偏1已知是第二象限角，sin ，则cos _答案：2(1)sin_，(2)tan_答案：(1)(2)题组练透1化简sin(1 071)sin 99sin(171)sin(261)的结果为()A1B1C0 D2解析：选C原式(sin 1 071)sin 99sin 171sin 261sin(33609)sin(909)sin(1809)sin(2709)sin 9cos 9sin 9cos 902已知A(kZ)，则A的值构成的集合是()A1，1,2，2B1,1C2，2 D1，1,0,2，2解析：选C当k为偶数时，A2；k为奇数时，A23已知tan，则tan_解析：tantantantan答案：4(易错题)设f()，则f_解析：f()，f答案：谨记通法1利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”2利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如“题组练透”第4题典例引领1已知5，则sin2sin cos 的值为()ABC D解析：选D依题意得：5，tan 2sin2sin cos 2若是三角形的内角，且tan ，则sin cos 的值为_解析：由tan ，得sin cos ，将其代入sin2cos21，得cos21，cos2，易知cos 0，cos ，sin ，故sin cos 答案：由题悟法同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tan 化成正弦、余弦，或者利用公式tan 化成正切表达式中含有sin ，cos 与tan “1”的变换1sin2cos2cos2(1tan2)tan(sin cos )22sin cos 表达式中需要利用“1”转化和积转换利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化表达式中含有sin cos 或sin cos 即时应用1若sin ，且为第四象限角，则tan 的值等于()A BC D解析：选D法一：因为为第四象限的角，故cos ，所以tan 法二：因为是第四象限角，且sin ，所以可在的终边上取一点P(12，5)，则tan 故选D2已知sin cos ，则sin cos 的值为()A BC D解析：选B因为(sin cos )2sin2cos22sin cos 12sin cos ，所以2sin cos ，则(sin cos )2sin2cos22sin cos 12sin cos 又因为，所以sin cos ，即sin cos 0，所以sin cos 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1若，sin ，则cos()()ABC D解析：选B因为，sin ，所以cos ，即cos()2已知sin()cos(2)，|，则等于()A BC D解析：选Dsin()cos(2)，sin cos ，tan |，3(2017赣中南五校联考)已知倾斜角为的直线l与直线x2y30垂直，则cos的值为()A BC2 D解析：选A由题意可得tan 2，所以cossin 2故选A4已知，sin ，则tan _解析：，cos ，tan 答案：5如果sin(A)，那么cos的值是_解析：sin(A)，sin Acossin A答案：二保高考，全练题型做到高考达标1已知tan()，且，则sin()A BC D解析：选B因为tan()，所以tan 又因为，所以为第三象限的角，sincos 2已知sin，则cos()A BC D解析：选Dcossinsinsin3已知f(x)asin(x)bcos(x)4，若f(2 016)5，则f(2 017)的值是()A2 B3C4 D5解析：选Bf(2 016)5，asin(2 016)bcos(2 016)45，即asin bcos 1f(2 017)asin(2 017)bcos(2 017)4asin bcos 41434(2017广州模拟)当为第二象限角，且sin时，的值是()A1 B1C1 D0解析：选Bsin，cos，在第一象限，且cos 0时的情况3三角函数存在多个单调区间时易错用“”联结小题纠偏1函数y4sin(x)，x，的单调性是()A在，0上是增函数，在0，上是减函数B在上是增函数，在和上是减函数C在0，上是增函数，在，0上是减函数D在和上是增函数，在上是减函数答案：D2函数f(x)sin在区间上的最小值为_解析：由已知x，得2x，所以sin，故函数f(x)sin在区间上的最小值为答案：题组练透1(易错题)函数y的定义域为_解析：要使函数有意义，必须有即故函数的定义域为答案：2函数ylg(sin 2x)的定义域为_解析：由得3x或0x0)的最小正周期为，则函数f(x)的图象()A关于直线x对称B关于直线x对称C关于点对称 D关于点对称解析：选Bf(x)sin的最小正周期为，2，f(x)sin当x时，2x，A、C错误；当x时，2x，B正确，D错误3若函数f(x)sin cos|的图象关于原点对称，则角()A BC D解析：选Df(x)2sin，且f(x)的图象关于原点对称，f(0)2sin0，即sin0，k(kZ)，即k(kZ)又|0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则_解析：f(x)sin x(0)过原点，当0x，即0x时，ysin x是增函数；当x，即x时，ysin x是减函数由f(x)sin x(0)在上单调递增，在上单调递减知，答案：通法在握1函数f(x)Asin(x)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f(x)Asin(x)为偶函数，则当x0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)Asin(x)为奇函数，则当x0时，f(x)0(2)对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断2求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间演练冲关1最小正周期为且图象关于直线x对称的函数是()Ay2sin By2sinCy2sin Dy2sin解析：选B由函数的最小正周期为，排除C；由函数图象关于直线x对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于B，因为sinsin 1，所以选B2函数ycos的单调减区间为_解析：由ycoscos得2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)所以函数的单调减区间为(kZ)答案：(kZ)3函数y|tan x|在上的单调减区间为_解析：如图，观察图象可知，y|tan x|在上的单调减区间为和答案：和一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2017广州五校联考)下列函数中，周期为的奇函数为()Aysin xcos xBysin2xCytan 2x Dysin 2xcos 2x解析：选Aysin2x为偶函数；ytan 2x的周期为；ysin 2xcos 2x为非奇非偶函数，故B、C、D都不正确，选A2(2016合肥质检)函数ysin在x2处取得最大值，则正数的最小值为()A BC D解析：选D由题意得，22k(kZ)，解得k(kZ)，0，当k0时，min，故选D3下列各点中，能作为函数ytan的一个对称中心的点是()A(0,0) BC(，0) D解析：选D由x(kZ)，得x(kZ)，当k1时，x，所以函数ytan的一个对称中心的点是，故选D4(2017