三角函数与解三角形-专题复习.doc

(完整)三角函数与解三角形 专题复习
专题一 三角函数与解三角形
一、任意角、弧度制及任意角的三角函数
1、弧度制的定义与公式:
定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 弧度记作rad。
公式
角的弧度数公式

角度与弧度的换算
① ②
弧长公式

扇形面积公式

2、任意角三角函数（正弦、余弦、正切)的定义
第一定义：设是任意角,它的终边与单位圆交于点P（x，y）,则
第二定义：设是任意角，它的终边上的任意一点P（x，y)，则。
考点1 三角函数定义的应用
例1 。已知角的终边在直线上,则 .
变式：（1）已知角的终边过点,且，则m的值为 。
（2）在直角坐标系中，O是原点,A（，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为__________．
（3)的值（ )
A．小于 B．大于 C．等于 D．不存在

考点2 扇形弧长、面积公式的应用
例2.已知扇形的半径为10cm,圆心角为,则扇形的弧长为 面积为 .
变式：已知在半径为10的圆O中,弦AB 的长为10,则弦AB 所对的圆心角的大小为 ，所在的扇形弧长为 ，弧所在的弓形的面积S为 。

二、同角三角函数的基本关系及诱导公式
1、
2、三角函数的诱导公式
角

正弦

余弦

正切

3、特殊角的三角函数值
角

弧度数

正弦

余弦

正切

例1。已知是三角形的内角，且
(1)求的值；
(2)把用表示出来，并求其值.

变式:1、已知是三角函数的内角,且，求的值.

2、已知（1）求的值；（2）求的值。

3.若cos α＋2sin α＝－，则tan α＝________.

考点2 利用与关系求值
例2. 已知关于的方程的两根为，且.
(1）求 的值;
(2)求m的值；
(3)求方程的两根及此时的值。

变式（1）已知，，则的值为 ( ）．
A． B． C． D．
（2）已知，则 ．

考点3 诱导公式的应用
例3.（1） 。

(2)设，则（ )
A． B． C． D．
(3）设 （）,
则 .

例4。（1）已知是第四象限角，且，则 .
（2）已知，则 .

三、三角函数的图像与性质
函数

图像

定义域

值域

周期性

奇偶性

单调增区间

单调减区间

对称中心

对称轴

考点1 三角函数的定义域、值域
例1.(1）函数的定义域为（ ）
A B
C D
（2）函数的定义域为 .
（3）函数在区间上的值域为（ ）
A B C D
变式：1。函数 (0≤x≤9）的最大值与最小值之和为(　　）
A．2－ B．0 C．－1 D．－1－
2.已知函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间上的最小值是﹣2,则ω的最小值等于（ ）
A． B． C．2 D．3
3.设函数，若存在同时满足以下条件：①对任意的，都有成立;②，则的取值范围是 ．
4.存在实数x，使得关于x的不等式成立，则的取值范围为 ．

考点2 三角函数的单调性
例2。(1)已知函数,的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是（ ）
A. B。
C。 D。
（2）函数的单调递减区间为 .
（3)已知ω＞0，函数f(x)＝sin在单调递减，则ω的取值范围是（　　）
A.　　　B。 C。 D．（0，2］

考点3 三角函数的奇偶性、周期性、对称性
例3.(1）函数是（ ）
A. 最小正周期为的奇函数 B。 最小正周期为的偶函数
C。 最小正周期为的奇函数 D .最小正周期为的偶函数
(2）若函数的最小正周期满足，则自然数的值为 .
例4。已知函数的最小正周期为，则的图象的一条对称轴方程为（ ）
A B C D
例5.设函数的最小正周期为,且,则（ ）
A.在内单调递减 B.在内单调递减
C.在内单调递增 D.在内单调递增

例6。已知，，且在区间有最小值，无最大值,则 ．

四、函数的图象及应用
1、的概念

振幅
周期
频率
相位
初相

2、用五点法画在一个周期内的简图时,要找出的五个特征点如下表所示

3、由的图象得的图象的两种方法：
方法一:

方法二：

考点1 函数的图象及变换
例1。某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象，列表并填入了部分数据，如下表:

0

2

0
5

-5
0
（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
（2)将图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，若图象的一个对称中心为， 求的最小值。

考点2 求函数的解析式
例2. 函数的部分图像如图所示,则（ ）
A. B。
C. D.

例3。 已知函数的图象关于直线，且图象上相邻两个最高点的距离为.
(1）求的值； （2)当时,求函数的最值.

变式： 1。函数f（x)=2sin(ωx+φ）(ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示,其 中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（ ）

A．［6k﹣1,6k+2]（k∈z） B．［6k﹣4,6k﹣1］（k∈z）
C．［3k﹣1，3k+2]（k∈z） D．［3k﹣4，3k﹣1］（k∈z)

2.若三角函数f(x)的部分图象如图，则函数f(x）的解析式，以及S＝f（1）＋f（2)＋…＋f（2 012）的值分别为(　　）

A．f(x）＝sin＋1,S＝2 012 B．f(x)＝cos＋1，S＝2 012
C．f（x)＝sin＋1,S＝2 012。5 D．f(x）＝cos＋1，S＝2 012.5
3.将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则 ．
4.已知函数f(x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π)，若将函数y=f(x）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为偶函数，则实数φ=（ ）
A． B． C． D．
5.已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（ )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6.设函数，则下列结论正确的是( ）
A、的图象关于直线对称 B、的图象关于点对称
C、的最小正周期为,且在上为增函数
D、把的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象
五、 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式

2、二倍角公式

考点1 三角函数公式的基本应用
例1．（1）（ )
A B C D
（2）已知，则（ ）
A -1 B 0 C D 1
变式：1、已知，则= .
2、设，则的值是 。
考点2 三角函数公式的逆用及变用
例2．（1) .

（2）已知,则 。

（3）在中,若，则的值为 .

考点3 三角函数公式运用中角的变化
例3．（1)若，
则 .

(2）已知,且
则 .

变式：1、若，则 。

2、设为锐角,若，则 。

六、 三角恒等变换
1、公式的常见变形

2、辅助角公式

考点1 三角函数式的化简、求值
例1．（1）已知 .

（2）化简： .

（3）已知，则 。

考点2 三角函数式的求值
例2。化简: .

例3。已知 .

例4.已知函数
(1）若，求的值；
(2)在锐角三角形ABC中,分别为角的对边，若的面积，求的值.

变式：1.计算：（tan10°－）·sin40°=________.
2. 4cos 50°－tan 40°＝(　　）
A。　　　　　B。 C. D．2－1
3.若＝3，tan（α－β）＝2,则tan（β－2α）＝________。

4。已知角α，β的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合，α，β∈（0,π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是,则cos α＝________。
5。已知，．
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数的值域．

考点3 三角变换在图象与性质中的应用
例1.已知函数
(1）求的最小正周期；
(2)求在区间上的最大值和最小值.

变式: 1。已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）设，且,求

2。已知函数f（x）＝sin ·sin ＋sin xcos x(x∈R)．
（1)求f 的值；
(2)在△ABC中,若f ＝1，求sin B＋sin C的最大值．

七、解三角形
1、正弦定理和余弦定理

正弦定理
余弦定理

内容

常见变形

2、三角形中的常见结论
（1）在中，A+B+C=；
（2)在中，
（3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
3、的面积公式
(1）
(2）
（3)
考点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1。（2015湖北,理13)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=　　　　　 m。 

例2. 在中，角所对的边分别是,已知

(1）求的值；
(2）若教的锐角，求b的值及的面积.

例3. 在中，分别为内角的对边,
且
(1)求角A的大小；
(2）若试判断的形状。

例4 在中,角所对的边分别是,且
(1)证明：
(2）若，求

变式:1.在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3,则AC＝(　　)
A．4　　　B．2　　　　C.　　　　D。
2。在△ABC中，角A,B，C所对的边分别是a,b，c.若b＝2asin B，则角A的大小为（　　)
A．30° B．60° C．60°或120° D．30°或150°
3.在中，,则周长的最大值 .
4.在中，是外接圆的圆心，若,则周长的最大值 .
5.在中，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6.在中，角A,B,C所对的边分别是,，则角C的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
7。在中，角所对的边分别是，，且，则面积的最大值为 。
8.设的内角所对的边分别为，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的周长的取值范围．

9.在中，内角对应的三边长分别为，且满足。
(1)求角的大小；
（2）若为边上的中线，，求的面积。

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