第4章三角函数、解三角形.docx

2016.11.
第四章 三角函数、解三角形
第1讲　任意角、弧度制及任意角的三角函数
最新考纲　1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化；
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
基础诊断 梳理自测，理解记忆 知 识 梳 理
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°＝ rad；②1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2

3.任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α
x叫做α的余弦，记作cos α
叫做α的正切，记作tan α

Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角函数线

有向线段MP为正弦线

有向线段OM为余弦线

有向线段AT为正切线
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)　
(1)小于90°的角是锐角.(×)
(2)锐角是第一象限角，反之亦然.(×)
(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.(×)
(4)若α∈，则tan α＞α＞sin α.(√)
(5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.(×)
2.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A.2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋π(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋(k∈Z)
解析　与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确. 答案　C
3.(2016·杭州模拟)如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是(　　)

A.(cos θ，sin θ) B.(－cos θ，sin θ)
C.(sin θ，cos θ) D.(－sin θ，cos θ)
解析　由三角函数的定义知xP＝cos θ，yP＝sin θ，故选A.
答案　A
4.函数y＝的定义域为________.
解析　∵2cos x－1≥0，∴cos x≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示).

∴x∈(k∈Z). 答案　(k∈Z)
5.(人教A必修4P10A6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度. 答案　
考点突破 分类讲练，以例求法
考点一　象限角与三角函数值的符号
【例1】 (1)若角α是第二象限角，则是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角
(2)如果sin α·tan α＜0且sin α＋cos α∈(0，1)，那么角α的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析　(1)∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，是第一象限角； 当k为奇数时，是第三象限角.
(2)∵sin α·tan α＜0，∴cos α＜0，(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α∈(0，1)，∴sin αcos α＜0，∴sin α＞0，∴α为第二象限.
答案　(1)C　(2)B
规律方法　(1)已知θ所在的象限，求或nθ(n∈N*)所在象限的方法是：将θ的范围用不等式(含有k)表示，然后两边同除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限.(2)象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角.(3)由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解.
【训练1】 (1)设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
(2)若tan α＞0，则(　　)
A.sin 2α＞0 B.cos α＞0 C.sin α＞0 D.cos 2α＞0
解析　(1)由θ是第三象限角，知为第二或第四象限角，
∵＝－cos ，∴cos ≤0，综上知为第二象限角.
(2)由tan α＞0可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，故sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选A. 答案　(1)B　(2)A
考点二　三角函数的定义
【例2】 已知角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sin θ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值.
解　由题意得，r＝，∴sin θ＝＝m.
∵m≠0，∴m＝±. 故角θ是第二或第三象限角.
当m＝时，r＝2，点P的坐标为(－，)，
∴cos θ＝＝＝－，tan θ＝＝＝－.
当m＝－时，r＝2，点P的坐标为(－，－).
∴cos θ＝＝＝－，tan θ＝＝＝.
综上可知，cos θ＝－，tan θ＝－或cos θ＝－，tan θ＝.
规律方法　利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同).
【训练2】 (1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ等于(　　)
A.－ B.－ C. D.
(2)(2016·湖州联考)已知锐角α的终边上一点P(sin 40°，1＋cos 40°)，则α等于(　　) A.10° B.20° C.70° D.80°
解析　(1)取终边上一点(a，2a)，a≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±，故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－.
(2)由题意可知sin 40°＞0，1＋cos 40°＞0，点P在第一象限，OP的斜率tan α＝＝＝＝＝tan 70°，由α为锐角，可知α为70°.故选C. 答案　(1)B　(2)C
考点三　扇形弧长、面积公式的应用
【例3】 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2)若扇形的周长是一定值C (C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
解　(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则
α＝60°＝，R＝10，l＝×10＝ (cm)，
S弓＝S扇－S△＝××10－×102×sin
＝π－＝50 (cm2).
(2)扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝，
∴S扇＝α·R2＝α·＝·＝·≤.
当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值.
规律方法　涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示.弧长和扇形面积公式：l＝|α|R，S＝|α|R2＝lR.
【训练3】 已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为______ cm和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm2.
解析　设扇形圆心角为α，半径为r，则2r＋|α|r＝4，
∴|α|＝－2.∴S扇形＝|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1时，(S扇形)max＝1，此时|α|＝2. 答案　1　2　1
课堂总结 反思归纳，感悟提升
[思想方法]
1.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关.若角α已经给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的.如有可能则取终边与单位圆的交点.其中|OP|＝r一定是正值.
2.三角函数值的符号是重点，也是难点， 在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
3.在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.
[易错防范]
1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.
2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.
3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.

第2讲　同角三角函数基本关系式与诱导公式
最新考纲1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
基础诊断 梳理自测，理解记忆 知 识 梳 理
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan__α.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sinα
－sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cos α
－cosα
cosα
－cosα
sinα
－sinα
正切
tan α
tanα
－tanα
－tanα

口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，
符号看象限
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)　
(1)sin2θ＋cos2α＝1.(×)
(2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.(×)
(3)六组诱导公式中的角α可以是任意角.(√)
(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.(√)
(5)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(×)
2.若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)
A. B.－ C. D.－
解析　∵sin α＝－，且α为第四象限角，∴cos α＝＝，
∴tan α＝＝－，故选D.
3.设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则(　　)
A.a＞b＞c B.b＞c＞a C.c＞b＞a D.c＞a＞b
解析　∵b＝cos 55°＝sin 35°＞sin 33°＝a，∴b＞a.
又∵c＝tan 35°＝＞sin 35°＝cos 55°＝b，∴c＞b.∴c＞b＞a.故选C.
4.已知f(α)＝，则f的值为(　　)
A. B.－ C. D.－
解析　∵f(α)＝＝cos α，
∴f＝cos＝cos＝cos ＝. 答案　A
5.(人教A必修4P22B3改编)已知tan α＝2，则的值为________.
解析　原式＝＝＝3. 答案　3
考点突破 分类讲练，以例求法
考点一　同角三角函数基本关系式的应用
【1】 (1)(2016·宁波诊断)已知sin(π－α)＝log8 ，且α∈，则
tan(2π－α)的值为(　　)
A.－ B. C.± D.
(2)已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2 θ＝(　　)
A.－ B. C.－ D.
(3)已知sin β＋cos β＝，且0＜β＜π，则tan β＝________.
解析　(1)sin(π－α)＝sin α＝log8 ＝－，
又因为α∈，则cos α＝＝，
所以tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝.
(2)由于tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ
＝＝
＝＝.
(3)∵0＜β＜π，sin β＋cos β＝，① ∴(sin β＋cos β)2＝，
即1＋2sin βcos β＝，∴2sin βcos β＝－＜0，
∴＜β＜π，∴sin β＞0，cos β＜0，
∴(sin β－cos β)2＝1－2sin βcos β＝，∴sin β－cos β＝，②
由①②得，sin β＝，cos β＝－，∴tan β＝－.
答案　(1)B　(2)D　(3)－
规律方法　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
(3)若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型.
【训练1】 (1)若3sin α＋cos α＝0，则的值为(　　)
A. B. C. D.－2
(2)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝(　　)
A.－1 B.－ C. D.1
解析　(1)3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－，＝＝＝＝.
(2)法一　由得：2cos2α＋2cos α＋1＝0，
即＝0，∴cos α＝－.
又α∈(0，π)，∴α＝，∴tan α＝tan ＝－1.
法二　因为sin α－cos α＝，
所以sin＝，所以sin＝1.
因为α∈(0，π)，所以α＝，所以tan α＝－1.
法三　因为sinα－cos α＝，所以(sin α－cos α)2＝2，所以sin 2α＝－1.因为α∈(0，π)，2α∈(0，2π)，所以2α＝，所以α＝，所以tanα＝－1.
答案　(1)A　(2)A
考点二　诱导公式的应用
【例2】 (1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)
＝________.
(2)设f(α)＝，其中1＋2sin α≠0，则f＝________.
解析　(1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°
＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°
＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1.
(2)∵f(α)＝
＝＝＝，
∴f＝＝＝＝.
答案　(1)1　(2)
规律方法　利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式.(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.
【训练2】 (1)化简：＝______.
(2)已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则·tan2(π－α)＝________.
解析　(1)原式＝
＝＝＝－1.
(2)∵方程5x2－7x－6＝0的根为－或2，
又α是第三象限角，∴sin α＝－，∴cos α＝－＝－，
∴tan α＝＝＝，
∴原式＝·tan2α＝－tan2α＝－.
答案　(1)－1　(2)－
考点三　巧用相关角的关系解题
【例3】 (1)（2016·金华一中模拟）已知cos＝a (|a|≤1)，则cos＋sin的值是________.
(2)已知sin＝，则cos＝______.
解析　(1)由题意知，cos＝cos
＝－cos＝－a.
sin＝sin＝cos＝a，∴cos＋sin＝0.
(2)∵＋＝，∴cos＝cos＝sin＝.
答案　(1)0　(2)
规律方法　巧用相关角的关系会简化解题过程.常见的互余关系有－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等，常见的互补关系有＋θ与－θ；＋θ与－θ等.
【训练3】 (1)已知sin＝，则cos＝________；
(2)若tan(π＋α)＝－，则tan(3π－α)＝________.
解析　(1)cos＝cos＝cos
＝－cos，
而sin＝sin＝cos＝，所以cos＝－.
(2)因为tan(π＋α)＝tan α＝－，所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝.
课堂总结 反思归纳，感悟提升 [思想方法]
1.同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其它三角函数值时，要特别注意平方关系的使用.
2.三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x＝进行切化弦或弦化切，如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等类型可进行弦化切.(2)和积转换法：如利用(sin θ±
cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化.(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ＝tan ＝….
[易错防范]
1.利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐. 特别注意函数名称和符号的确定.
2.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.
第3讲　两角和与差及二倍角公式
最新考纲　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
基础诊断 梳理自测，理解记忆
知 识 梳 理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.
cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__αcos__α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝.
3.有关公式的逆用、变形等
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan__αtan__β).
(2)cos2α＝，sin2α＝.
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
4.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)　
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(√)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(√)
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β
＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.(×)
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(√)
2.(2015·全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)
A.－ B. C.－ D.
解析　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝. 答案　D
3.(2016·东北三省三校联考)已知sin α＋cos α＝，则sin2＝(　　)
A. B. C. D.
解析　由sin α＋cos α＝两边平方得1＋sin 2α＝，解得sin 2α＝－，所以sin2＝＝＝＝，故选B. 答案　B
4.(2015·江苏卷)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________.
解析　tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝3.
5.(2014·课标全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________.
解析　∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)
＝sin [(x＋φ)＋φ]－2sin φcos (x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos φ＋cos (x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos φ－cos (x＋φ)sinφ
＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin x，
∴f(x)的最大值为1. 答案　1

考点突破 分类讲练，以例求法
考点一　三角函数式的化简、求值
【例1】 (1)化简：(0＜α＜π)＝________.
(2)(2016·舟山高三模拟)计算：－sin 10°＝________.
解析　(1)原式＝
＝＝.
因为0＜α＜π，所以0＜＜，所以cos ＞0，所以原式＝cos α.
(2)原式＝－sin 10°·
＝－＝
＝
＝＝.
答案　(1)cos α　(2)
规律方法　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等.
(2)对于给角求值问题，一般给定的角是非特殊角，这时要善于将非特殊角转化为特殊角.另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值.
【训练1】 (1)化简：＝________.
(2)已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________.
解析　(1)原式＝
＝＝ ＝＝cos 2x.
(2)法一　∵sin α＝＋cos α，∴sin α－cos α＝，
∴sin＝，∴sin＝.
又∵α∈，∴α－∈，∴cos＝，
∴cos 2α＝－sin＝－2sin·
cos＝－2××＝－，∴＝＝－.
法二　∵sin α＝＋cos α，∴sin α－cos α＝，
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝，
∵α∈，
∴sin α＋cos α＝＝＝，
∴＝
＝－(sin α＋cos α)＝－. 答案　(1)cos 2x　(2)－
考点二　三角函数的给值求值、给值求角
【例2】 (1)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值.
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值.
解　(1)∵0<β<<α<π，∴<α－<π， －<－β<，
∴sin＝＝，
cos＝ ＝，
∴cos ＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝，
∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.
(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝>0，又α∈(0，π).∴0<α<，
又∵tan 2α＝＝＝>0，∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.
规律方法　(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示：①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等.(3)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.
【训练2】 （2016·杭州六校联考）已知cos α＝，cos(α－β)＝.
(1)求tan 2α的值； (2)求β的值.
解　(1)∵cos α＝，0<α<，∴sin α＝，∴tan α＝4，
∴tan 2α＝＝＝－.
(2)∵0<β<α<，∴0<α－β<，∴sin(α－β)＝，
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝. ∴β＝.
考点三　三角变换的简单应用
【例3】 已知f(x)＝sin2x－2sin·
sin.
(1)若tan α＝2，求f(α)的值；
(2)若x∈，求f(x)的取值范围.
解　(1)f(x)＝(sin2x＋sin xcos x)＋2sin·cos
＝＋sin 2x＋sin
＝＋(sin 2x－cos 2x)＋cos 2x＝(sin 2x＋cos 2x)＋.
由tan α＝2，得sin 2α＝＝＝.
cos 2α＝＝＝－.
所以，f(α)＝(sin 2α＋cos 2α)＋＝.
(2)由(1)得f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)＋＝sin＋.
由x∈，得≤2x＋≤.
∴－≤sin≤1，0≤f(x)≤，所以f(x)的取值范围是.
规律方法　解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等.
【训练3】 已知△ABC为锐角三角形，若向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)与向量q＝(sin A－cos A，1＋sin A)是共线向量.
(1)求角A； (2)求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.
解　(1)因为p，q共线，所以(2－2sin A)(1＋sin A)＝(cos A＋sin A)(sin A－cos A)，则sin2A＝. 又A为锐角，所以sin A＝，则A＝.
(2)y＝2sin2 B＋cos＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos＝1－cos 2B＋cos 2B＋sin 2B＝sin 2B－cos 2B＋1＝sin＋1.
因为B∈，所以2B－∈，所以当2B－＝时，
函数y取得最大值，解得B＝，ymax＝2.
课堂总结 反思归纳，感悟提升 [思想方法]
1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.
2.与三角函数的图象与性质相结合的综合问题.借助三角恒等变形将已知条件中的函数解析式整理为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后借助三角函数图象，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.
[易错防范] 1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变通. 2.在(0，π)范围内，sin α＝所对应的角α不是唯一的. 3.利用三角函数值求角要考虑角的范围.
第4讲　三角函数的图象与性质
最新考纲　1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.
基础诊断 梳理自测，理解记忆
知 识 梳 理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象

定义
域
R
R

值域
[－1，1]
[－1，1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增
区间

[2kπ－π，2kπ]

递减
区间

[2kπ，2kπ＋π]
无
对称
中心
(kπ，0)

对称轴
方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)　
(1)由sin(30°＋120°)＝sin 30°知，120°是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期.(×)
(2)y＝sin x在x∈上是增函数.(√)
(3)y＝cos x在第一、二象限上是减函数.(×)
(4)y＝tan x在整个定义域上是增函数.(×)
(5)y＝sin|x|为偶函数.(√)
2.(2015·四川卷)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(　　)
A.y＝sin B.y＝cos
C.y＝sin 2x＋cos 2x D.y＝sin x＋cos x
解析　y＝sin＝cos 2x是最小正周期为π的偶函数；y＝cos＝－sin 2x是最小正周期为π的奇函数；
y＝sin 2x＋cos 2x＝sin是最小正周期为π的非奇非偶函数；
y＝sin x＋cos x＝sin是最小正周期为2π的非奇非偶函数.
答案　B
3.函数f(x)＝sin在区间上的最小值为(　　)
A.－1 B.－ C. D.0
解析　由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.
答案　B
4.(2016·杭州模拟)若函数f(x)＝sin (φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝(　　)
A. B. C. D.
解析　由已知f(x)＝sin 是偶函数，可得＝kπ＋，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0，2π]，所以φ＝. 答案　C
5.(人教A必修4P47B2改编)函数y＝－tan的单调递减区间为________.
解析　因为y＝tan x的单调递增区间为(k∈Z)，
所以由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，得＋＜x＜＋(k∈Z)，
所以y＝－tan的单调递减区间为(k∈Z).
答案　(k∈Z)
考点突破 分类讲练，以例求法
考点一　三角函数的定义域和值域
【例1】 (1)函数y＝lg (2sin x－1)＋的定义域为________.
(2)函数f(x)＝cos2x＋sin x的值域为________.
解析　(1)要使原函数有意义，必须有：即解得

∴2kπ＋≤x＜2kπ＋(k∈Z)，
∴函数的定义域为(k∈Z).
(2)f(x)＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1＝－＋，
又∵x∈，∴sin x∈，∴f(x)∈.
答案　(1)(k∈Z)　(2)
规律方法　(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：
①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；③形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值).
【训练1】 (1)函数y＝的定义域为________.
(2)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________.
解析　(1)法一　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示.

在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为
.
法二　利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).

∴定义域为.
法三　sin x－cos x＝sin≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ(k∈Z)，
解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z).
所以定义域为.
(2)设t＝sin x－cos x，
则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，
sin xcos x＝，且－≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－时，ymin＝－－.
∴函数的值域为.
答案　(1)
(2)
考点二　三角函数的单调性
【例2】 (1)已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|＜x)，若f＝－2，则f(x)的一个单调递减区间是(　　)
A. B.
C. D.
(2)（2015·温州联考）已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A. B. C. D.(0，2]
解析　(1)由f＝－2得f＝－2sin＝－2sin＝－2，
所以sin＝1.因为|φ|＜π，所以φ＝.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
当k＝1时，－≤x≤，故选C.
(2)由＜x＜π得ω＋＜ωx＋＜πω＋，
由题意知⊆，
∴∴≤ω≤，故选A.
答案　(1)C　(2)A
规律方法　(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知