陈湘平(中考动态几何问题的解题策略).doc

中考动态几何问题的解题策略
广东省珠海市第四中学　519015　　陈湘平

春去秋来，花开花落，斗转星移，世间万物每时每刻都处于运动变化、相互联系、相互转化中。动态的几何问题是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题，常见的形式是：点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等等，这类问题由于其新颖性、独特性、灵活性，常以压轴题在中考中出现，并渐渐成为近几年中考的热点。动和静是对立的，又是统一的，不论图形运动变化的哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面，从辩证的角度去观察、探究此类问题是解决这类问题的基本策略。下举例说明之：
例1　　如图，AB是直线l上的两点，AB＝4cm过l外一点C作CD∥l，射线BC与l所成的锐角∠1＝60°，线段BC＝2cm。动点P、Q分别从BC同时出发，P以每秒1cm的速度由B向C方向运动，Q以每秒2cm的速度由C向D方向运动，设P、Q运动的时间为t（秒），当t＞2时，PA交CD于E。
（1） 用含t的代数式表示CE和QE的长；
（2） 求△APQ的面积S与t的函数关系式；
（3） 当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的长是多少厘米？
（吉林省中考题）

C
D
Q
P
A
B

解：（1）BP＝t，CQ＝2t，PC＝t－2，∵EC∥AB，∴＝，得CE＝，QE＝QC－EC＝2t－＝。
（2）S＝（t2－2t＋4）。
（3）当QE恰好平分△APQ的面积时，则AE＝PE，∵EC∥AB，
∴PC＝CB，即t－2＝2，t＝4。∴QE＝＝6（cm）.
点评：通过寻找题目中的不变量，不变关系，找出运动的规律，是解决这类问题的有效策略。对于（1）问，无论t怎么变化，＝，从而CE、QE的表达式容易求出；对于（3）问，由QE平分△APQ的面积，可联想到AE＝PE，此时C为PB的中点，可建立t的方程解决。

例2　　已知：如图，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC＝2cm，现有两点EF分别从点B、点A出发，点E沿线段BA以1cm/秒的速度向点A运动，点F沿折线A－D－C以2cm/秒的速度向点C运动，设点E离开点B的时间为t（秒）。
（1） 当t为何值时，线段EF与BC平行？
（2） 设1＜t＜2，当t为何值时，EF与半圆相切？
（3） 当1≤t＜2时，设EF与AC相交于点P，问点E、F运动时，点P的位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给出证明，并求AP∶PC的值。　　　　　（江西省中考题）
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
图（c）
图（b）
图（a）
E
F
E
F
E
F
P
G

解：（1）设E、F出发运动了t秒时，EF∥BC，如图（a），则BE＝t，CF＝4－2t，由t＝4－2t得t＝，即当t＝秒时EF∥BC。
（2）设E、F出发运动了t秒时，EF与半圆相切，∵1＜t＜2，
∴E、F分别在BA、CD上，如图（b），过点F作FG⊥AB于G，则FG＝BC＝2，BE＝t，CF＝4－2t，EG＝t－（4－2t）＝3t－4，EF＝BE＋CF＝4－t，又∵EF2＝EG2＋FG2即（4－t）2＝（3t－4）2＋22，解得t＝。故当t＝秒时，EF与半圆相切。
（3）设E、F出发运动了t秒时，∵1≤t＜2，∴EF的位置如图（c）则AE＝2－t，CF＝4－2t，由AB∥CD有＝＝＝，即点P的位置与t的取无关，即点P的位置不会发生变化。
点评：动静是对立的，但同时是相互联系的，静是动的瞬间，是动的一种特殊情形，把动转化为静是解决这类问题的很重要的思想方法。根据题意画出不同位置的图形，然后分别求解。对于（1）、（2），运用相关几何性质建立关于t的方程；对于（3），点P的位置是否会发生变化，只需看是否为一定值。

例3　　已知一个三角形纸片ABC，面积为25，BC边长为10，∠B和∠C都为锐角，M为AB上一动点（M与A、B不重合）。过M作MN∥BC，交AC于点N。设MN＝x.
（1）用x 表示△ABC的面积S△ABC
（2）用△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形BCNM（边AM、AN落在四边形BCNM所在的平面内），设点A落在平面BCNM内的点为A/，△A/MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y。
　　①试求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大值是多少？
（苏州市中考题）
A/
/
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A/
/
M
/
N
/
M
/
N
/
M
/
N
/
F
E

解：（1）S△ABC＝x2；
　（2）①当点A/在四边形BCNM内或在BC上时，即0＜ x≤5时，y＝x2；
②当点A/在四边形BCNM外时，即5＜ x＜10时， y＝S△A＾MN －S△A＾EF ＝x2－（x－5）2＝－x2＋10 x－25；
（3）当0＜ x≤5时，取x＝5， ymax＝6.25；当5＜ x＜10时，y＝－（x－）2＋，取x＝ ymax＝＞6.25。
点评：几何动态既是一类问题，也是一种思维方式，运用几何动态的思维方式，可以把不同的定理统一起来，可以探求几何中的最值、定值等问题的方法。折叠 △AMN，A点位置不确定，可能在△ABC内或BC边上或在△ABC外，故需按以上三种情况分别求出y关于x的函数关系式，进而求出y最大值。

作者E-mail：cxp_97@