贵州省纳雍县第五中学2022-2023学年数学高一上期末联考模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．已知，，则a，b，c的大小关系为　　
A. B.
C. D.
2．设P为函数图象上一点，O为坐标原点，则的最小值为（）
A.2 B.
C. D.
3．函数是奇函数，则的值为（）
A.1 B.
C.0 D.
4．函数的最小正周期是
A. B.
C. D.
5．已知函数，下列区间中包含零点的区间是 （ ）
A. B.
C. D.
6．如图所示的四个几何体，其中判断正确的是

A.（1）不棱柱
B.（2）是棱柱
C.（3）是圆台
D.（4）是棱锥
7．体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.这组数据的60%分位数是（）
A.98 B.99
C.99.5 D.100
8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）

A. B.-
C.2 D.
9．函数y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点
A.（0，1） B.（1，1）
C.（2，0） D.（2，2）
10．菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与BD的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交但不垂直
C.垂直相交 D.异面且垂直
11．已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A.的一个周期为 B.的图象关于直线对称
C.的一个零点为 D.在区间上单调递减
12．设，，，则的大小顺序是
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知，均为锐角，，，则的值为______
14．符号表示不超过的最大整数，如，定义函数，则下列命题中正确是________.
①函数最大值为；
②函数的最小值为；
③函数有无数个零点；
④函数是增函数；
15．已知函数有两个零点，则___________
16．已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若是角终边上的一点，则______
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．某城市地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足.经测算，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁为满载状态，载客量为人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，记地铁载客量为.
（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，地铁的载客量；
（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？每分钟的最大净收益为多少？
18．（1）已知，求的值；
（2）已知，，且，求的值
19．已知函数（，且）.
（1）若，试比较与的大小，并说明理由；
（2）若，且，，三点在函数的图像上，记的面积为，求的表达式，并求的值域.
20．已知与都是锐角，且，
（1）求的值；
（2）求证：
21．已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
22．已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边经过点.
（1）求的值；
（2）若第一象限角满足，求的值.

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、D
【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出
【详解】解：，，
又，

故选D
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
2、D
【解析】根据已知条件，结合两点之间的距离公式，以及基本不等式的公式，即可求解
【详解】为函数的图象上一点，
可设，
，
当且仅当，即时，等号成立
故的最小值为
故选：
3、D
【解析】根据奇函数的定义可得，代入表达式利用对数的运算即可求解.
【详解】函数是奇函数，
则，即，
从而可得，解得.
当时，，即定义域为，
所以时，是奇函数
故选：D
【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，需掌握函数奇偶性的定义，同时本题也考查了对数的运算，属于基础题.
4、D
【解析】分析：直接利用周期公式求解即可.
详解：∵，，
∴．故选D
点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于简单题.由 函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.
5、C
【解析】根据函数零点的存在性定理，求得，即可得到答案.
【详解】由题意，函数，易得函数为单调递减函数，
又由，所以，
根据零点的存在定理，可得零点的区间是.
故选：C.
6、D
【解析】直接利用多面体和旋转体的结构特征，逐一核对四个选项得答案
解：（1）满足前后面互相平行，其余面都是四边形，且相邻四边形的公共边互相平行，∴（1）是棱柱，故A错误；
（2）中不满足相邻四边形的公共边互相平行，∴（2）不是棱柱，故B错误；
（3）中上下两个圆面不平行，不符合圆台的结构特征，∴（3）不是圆台，故C错误；
（4）符合棱锥的结构特征，∴（4）是棱锥，故D正确
故选D
考点：棱锥的结构特征
7、C
【解析】根据分位数的定义即可求得答案.
【详解】这组数据的60%分位数是.
8、A
【解析】如图所示，分别取，，，的中点，，，，则，，，或其补角 为异面直线与所成角
【详解】解：如图所示，

分别取，，，的中点，，，，则，，，
或其补角为异面直线与所成角
设，则，，
，
异面直线与所成角的余弦值为，
故选：A
【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角
9、D
【解析】根据a0=1（a≠0）时恒成立，我们令函数y=ax﹣2+1解析式中的指数部分为0，即可得到函数y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点的坐标
解：∵当X=2时
y=ax﹣2+1=2恒成立
故函数y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（2，2）
故选D
考点：指数函数的单调性与特殊点
10、D
【解析】由菱形ABCD平面内,则对角线,又, 可得平面,进而可得,又显然，PA与BD不在同一平面内，可判断其位置关系.
【详解】假设PA与BD共面，根据条件点和菱形ABCD都在平面内，
这与条件相矛盾.
故假设不成立，即PA与BD异面.
又在菱形ABCD中，对角线，
，，则且，
所以平面平面.
则,
所以PA与BD异面且垂直.
故选：D
【点睛】本题考查异面直线的判定和垂直关系的证明,属于基础题.
11、B
【解析】根据周期求出f(x)最小正周期即可判断A；
判断是否等于1或－1即可判断是否是其对称轴，由此判断B；
判断否为0即可判断C；
，根据复合函数单调性即可判断f(x)单调性，由此判断D.
【详解】函数，最小正周期为故A正确；
，故直线不是f(x)的对称轴，故B错误；
，
则，∴C正确；
，∴f(x)在上单调递减，故D正确.
故选：B.
12、A
【解析】利用对应指数函数或对数函数的单调性，分别得到其与中间值0,1的大小比较，从而判断的大小.
【详解】因为底数2>1，则在R上为增函数，所以有；
因为底数，则为上的减函数，所以有；
因为底数，所以为上的减函数，所以有；
所以，答案为A.
【点睛】本题为比较大小的题型，常利用函数单调性法以及中间值法进行大小比较，属于基础题.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】直接利用两角的和的正切关系式，即可求出结果
【详解】已知，均锐角，，，则，
所以：，
故
故答案为
【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，以及两角和的正切关系式的应用，其中解答中熟记两角和的正切的公式，准确运算是解答的关键，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型
14、②③
【解析】利用函数中的定义结合函数的最值、周期以及单调性即可求解.
【详解】函数，
函数的最大值为小于，故①不正确；
函数的最小值为，故②正确；
函数每隔一个单位重复一次，所以函数有无数个零点，故③正确；
由函数图像，结合函数单调性定义可知，函数在定义域内不单调，

故④不正确；
故答案为：②③
【点睛】本题考查的是取整函数问题，在解答时要充分理解的含义，注意对新函数的最值、单调性以及周期性加以分析，属于基础题.
15、2
【解析】根据函数零点的定义可得，进而有，整理计算即可得出结果.
【详解】因为函数又两个零点，
所以，
即，
得，
即，
所以.
故答案为：2
16、
【解析】根据余弦函数的定义可得答案.
【详解】解：∵是角终边上的一点，∴
故答案为：.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1），人（2）当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为元
【解析】（1）由题意分别写出与时，的表达式，写成分段函数的形式，可得的表达式，可得的值；
（2）分别求出时，时，净收益为的表达式，并求出其最大值，进行比较可得净收益最大及收益最大时的时间.
【详解】解：当时，
当时，设
解得，所以，
所以
(人)
当时，

当时
当时，

当且仅当时，即时， 取到最大值.
答:的表达式为
当发车时间间隔为分钟时，地铁的载客量为人.
当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为元.
【点睛】本题主要考查分段函数解析式的求解及函数模型的实际应用，及利用基本不等式求解函数的最值，综合性大，属于中档题.
18、（1）（2），
【解析】（1）先求得，然后对除以，再分子分母同时除以，将表达式变为只含的形式，代入的值，从而求得表达式的值.（2）利用诱导公式化简已知条件，平方相加后求得的值，进而求得的值，接着求得的值，由此求得的大小.
【详解】（1）

（2）由已知条件，得 ，两式求平方和得，即，所以．又因为，所以，
把代入得．考虑到，得．因此有，
【点睛】本小题主要考查利用齐次方程来求表达式的值，考查利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简求值，考查特殊角的三角函数值.形如，或者的表达式，通过分子分母同时除以或者，转化为的形式.
19、（1）当时，；当时，；（2）；
【解析】（1）根据题意分别代入求出，再比较的大小，利用函数的单调性即可求解.
（2）先表示出的表达式，再根据函数的单调性求的值域.
【详解】解：（1）当时，在上单调递减；
，
，
又，
，
故；
同理可得：当时，在上单调递增；
，
，
又，
，
故，
综上所述：当时，；当时，；
（2）由题意可知：

，，
，故在上单调递增；
令，，
当时，在上单调递增；
故在上单调递减；
故在上单调递减；
故，
故的值域为：.
20、（1）
（2）见解析
【解析】（1）先确定的取值范围，再利用同角三角函数的平方关系，求得和的值，然后根据，并结合两角和的正弦公式，得解；
（2）由，，结合两角和差的正弦公式，分别求出和的值，即可得证
【小问1详解】
解：因为与都是锐角，
所以，，
又，，
所以，，
所以，，
所以；
【小问2详解】
证明：因为，所以①，
因为，所以②，
①②得，，
①②得，，
故
21、（1）；（2）.
【解析】（1）先分别求出，然后根据集合的并集的概念求解出的结果；
（2）根据得到，由此列出不等式组求解出的取值范围.
【详解】（1）当时，，
∴；
（2）∵，∴，则有:
，解之得：.
∴实数的取值范围是
【点睛】本题考查集合的并集运算以及根据集合的包含关系求解参数范围，难度一般.根据集合间的包含关系求解参数范围时，要注意分析集合为空集的可能.
22、（1）
（2）
【解析】（1）可使用已知条件，表示出，然后利用诱导公式、和差公式和二倍角公式对要求解的式子进行化简，带入即可求解；
（2）可根据和的值，结合和的范围，判定出的范围，然后计算出的值，将要求的借助使用和差公式展开即可求解.
【小问1详解】
角的终边经过点，所以.
所以.
【小问2详解】
由条件可知为第一象限角.又为第一象限角，，所以为第二象限角，
由得，
由，
得

.