湖南省郴州市苏仙区桥口中学2019年高三数学理月考试卷含解析.docx

湖南省郴州市苏仙区桥口中学2019年高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列四种说法正确的是（    ）
①函数的定义域是，则“”是“函数为增函数”的充要条件；
②命题“”的否定是“”；
③命题“若x=2，则”的逆否命题是真命题；
④p：在△ABC中，若cos2A=cos2B，则A=B；q：y=sinx在第一象限是增函数，则为真命题．
A.①②③④           B. ②③               C.③④                  D.③
参考答案：
D
2. 不等式的解集为 （  ）
A.      B.   
C.    D.
参考答案：
A
3. 数列满足，则的整数部分是（   ）
  A. 0             B. 1            C. 2            D. 3
参考答案：
B
4. 已知全集,集合,则为
A．        B．        C．       D．
参考答案：
C
5. 已知m，n是两条不同的直线，为平面，则下列命题正确的是
      (A)若m∥，n∥，则m∥n
      (B)若m⊥，n⊥．则m⊥n
      (C)若m⊥，n∥，则m⊥n
      (D)若m与相交，n与相交，则m，n一定不相交
参考答案：
C
略
6. 下列命题
①命题“若，则”的逆否命题是“若，则x=1”.
②命题  
③若为真命题，则p,q均为真命题.
④“x>2”是“”的充分不必要条件。
其中真命题的个数有（    ）
A.4个           B.3个       C.2个       D.1个
参考答案：
B
略
7. 设函数是定义在R上的以5为周期的奇函数，若，则a的取值范围是 (    ）
A．                  B．
C．               D．
参考答案：
A
8. 在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是
（A） （B）  
（C）  （D）
参考答案：
答案：C.
解析： ，A是正确的，同理B也正确，对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确.
9. 设为等差数列的前项和，且，，则（    ）
         A．          B．           C．2008                D．2012
参考答案：
A
10. 《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%,今共有粮石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m的值分别为（  ）
A. 20%　369 B. 80%　369
C. 40%　360 D. 60%　365
参考答案：
A
【分析】
设“衰分比”为,甲衰分得石,由题意列出方程组,由此能求出结果．
【详解】解：设“衰分比”为,甲衰分得石,
由题意得,
解得,,．
故选：A．

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知实数满足，则的最小值为          ．
参考答案：

作可行域，为三角形OAB及其内部,则直线过点A(1,2)时取最大值4,取最小值为

12. 已知函数f（x）=ln（，若实数a，b满足f（a﹣1）+f（b）=0，则a+b等于　   　．
参考答案：
1
【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的判断．
【分析】根据题意，分析有f（﹣x）=﹣f（x）成立，则可得f（x）为奇函数，观察可知f（x）为增函数，所以f（a﹣1）=﹣f（b）=f（﹣b），即a﹣1=﹣b成立，对其变形可得答案．
【解答】解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，
又f（﹣x）=ln（﹣x）=ln
=﹣ln（）=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，
观察知函数f（x）单调递增，
所以f（a﹣1）+f（b）=0，可化为f（a﹣1）=﹣f（b）=f（﹣b），
有a﹣1=﹣b，所以a+b=1．
故答案为：1．
13. （平面几何选讲）如图，△ABC中AB=AC，∠ABC=72°，
圆0过A，B且与BC切于B点，与AC交于D点，
连BD．若BC=2，则AC=       ．

参考答案：
14. 若函数的最小值为4，则a的值为_______．
参考答案：
1
略
15. 抛物线准线方程为                                 ．
参考答案：

16. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为6的正方形，俯视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该几何体的体积是　　，表面积是　　．

参考答案：
72，120。
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；规律型；数形结合法；立体几何．
【分析】由三视图可知几何体是一个三棱柱，此三棱柱的高为6，底面正三角形的高为4，利用表面积公式和体积公式得到结果．
【解答】解：由三视图图可知此三棱柱的高为6，底面正三角形的高为4，
可求得底面面积为： =12．
∴V=S?h=6×12=72
S表面=2S底+S侧面=2×12+6×（6+5+5）=120
【点评】本题考查有三视图求几何体的体积和表面积，解题时要注意看清各个位置的长度，不要在数字运算上出错．
17. 已知，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则=_______。
参考答案：

略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在等比数列{an}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{|an﹣4|}的前n项和Sn．
参考答案：
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（I）设等比数列{an}的公比为q，a4=8a1，可得=8a1，解得q．又a1，a2+1，a3成等差数列，可得2（a2+1）=a1+a3，当然解得a1，利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，可得S1=2．当n≥2时，an﹣4≥0．数列{|an﹣4|}的前n项和Sn=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（an﹣4），再利用等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（I）设等比数列{an}的公比为q，∵a4=8a1，∴ =8a1，a1≠0，解得q=2．
又a1，a2+1，a3成等差数列，∴2（a2+1）=a1+a3，∴2（2a1+1）=a1（1+22），解得a1=2．
∴an=2n．
（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，∴S1=2．
当n≥2时，an﹣4≥0．
∴数列{|an﹣4|}的前n项和Sn=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（an﹣4）
=2+22+23+…+2n﹣4（n﹣1）=﹣4（n﹣1）=2n+1﹣4n+2．
∴Sn=．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19. （本小题满分12分）将正整数2012表示成个正整数之和.记.
（I）当时，取何值时有最大值.
（II）当时，分别取何值时，取得最大值，并说明理由.
（III）设对任意的1≤≤5且||≤2,当取何值时，S取得最小值，并说明理由.
参考答案：
（I）根据均值不等式，当x1=x2=1006时，S有最大值10062.  ………………2分
（II）当x1=x2=x3 =402，x4=x5=403时，S取得最大值.         …………4分
由x1+x2+x3 +x4+x5=2012，取得最大值时，必有|xi-xj|≤1（ 1≤i<j≤5）.（*）
事实上，假设（*）式不成立.不妨设x1-x2≥2，令，.
有，
=，
同时S‘=，

这与S取得最大值矛盾.所以必须有|xi-xj|≤1（ 1≤i<j≤5）. ……………………8分
因此当x1=x2=x3 =402，x4=x5=403时，S取得最大值.
（III）由x1+x2+x3 +x4+x5=2012且|xi-xj|≤2,只有
1             x1=401，x2=402，x3 =x4=x5=403；②x1=x2=x3 =402，x4=x5=403；③x1=x2=x3 =x4=402，x5=404；三种情况        而在②时，根据（2）知原式取得最大值；在①时，设t=402，=10t2+8t，在③时, 设t=402，=10t2+8t.
因此在①③时S取得最小值.             ……………………12分
20. 某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）．现已知此商品每件售价为500元，且该厂年内生产此商品能全部销售完．
（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
参考答案：
解：（1）当0＜x＜80，x∈N*时，

当x≥80，x∈N*时，L（x）=﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）
∴．
（2）当0＜x＜80，x∈N*时，，
当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950
当x≥80，x∈N，∵，
∴当，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000＞950．
综上所述，当x=100时L（x）取得最大值1000，即年产量为100千件时，
该厂在这一商品的生产中所获利润最大．
略
21. 在平面直角坐标系xOy中，过点M（0，1）的椭圆 Γ：（a＞b＞0）的离心率为.
（1）求椭圆 Γ的方程；
（2）已知直线l不过点M，与椭圆 Γ相交于P，Q两点，若△MPQ的外接圆是以PQ为直径，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
参考答案：
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）由过点M（0，1）的椭圆Γ： =1（a＞b＞0）的离心率为，得到a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（2）△MPQ的外接圆以PQ为直径，可得到MP⊥MQ，设直线MP方程，代入椭圆方程，求出点P的坐标，同理求出Q点坐标，从而求出直线PQ的方程，即可求出直线PQ过定点的坐标．
【解答】解：（1）∵过点M（0，1）的椭圆Γ： =1（a＞b＞0）的离心率为，
∴，解得a2=3，b=1，
∴椭圆 Γ的方程为．
（2）证明：∵△MPQ外接圆是以PQ为直径，故MP⊥MQ，
∴直线MP与坐标轴不垂直，
由M（0，1）可设直线MP的方程为y=kx+1，直线MQ的方程为y=﹣（k≠0），
将y=kx+1代入椭圆Γ的方程，
整理，得；（1+3k2）x2+6kx=1，
解得x=0，或x=﹣，
∴P（﹣，﹣+1），即P（﹣，），
同理，求得Q（，），
∴直线l的方程为y=（x﹣）+，
化简，得直线l的方程为y=，
∴直线l过定点（0，﹣）．
22. 如图，在三棱柱中，平面，， ，分别是，的中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

参考答案：
证明：（Ⅰ）取的中点，连结，交于点，可知为中点，
      连结，易知四边形为平行四边形，
      所以∥．
      又平面，平面，
　　　所以∥平面．……………………………4分
证明：（Ⅱ）因为，且是的中点，
所以．
因为平面，所以．
所以平面．
又∥，所以平面．
又平面，
所以平面平面．……………………………９分
解：（Ⅲ）如图建立空间直角坐标系，

则，, ，．
　　，，．
设平面的法向量为.
则   
所以  
令.
则.
设向量与的夹角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为. ………………………………14分

略