2021-2022学年高中数学-第7章-复数-7.2.2-复数的乘、除运算训练新人教A版必修第二册.docx

2021-2022学年高中数学 第7章 复数 7.2.2 复数的乘、除运算训练新人教A版必修第二册

2021-2022学年高中数学 第7章 复数 7.2.2 复数的乘、除运算训练新人教A版必修第二册

年级：
姓名：

7.2.2　复数的乘、除运算
课后·训练提升
基础巩固
1.已知i为虚数单位,则1i+1i3+1i5+1i7等于(　　)
A.0 B.2i C.-2i D.4i
解析∵1i=-i,1i3=i,1i5=-i,1i7=i,
∴1i+1i3+1i5+1i7=0.
答案A
2.已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=(　　)
A.-2i B.2i C.-2 D.2
解析∵zi=1+i,∴z=1+ii=1i+1=1-i.
∴z2=(1-i)2=-2i.
答案A
3.在复平面内,复数z与2i2-i对应的点关于虚轴对称,则复数z=(　　)
A.25+45i B.25-45i
C.-25+45i D.-25-45i
解析由2i2-i=-25+45i,可知该复数在复平面内对应的点为-25,45,其关于虚轴的对称点为25,45,故复数z=25+45i.
答案A
4.(1+i)20-(1-i)20的值是(　　)
A.-1 024 B.1 024 C.0 D.512
解析(1+i)20-(1-i)20=[(1+i)2]10-[(1-i)2]10=(2i)10-(-2i)10=(2i)10-(2i)10=0.
答案C
5.若a为实数,且2+ai1+i=3+i,则a=(　　)
A.-4 B.-3 C.3 D.4
解析因为2+ai1+i=(2+ai)(1-i)(1+i)(1-i)=a+22+a-22i=3+i,
所以a+22=3,a-22=1,解得a=4.
答案D
6.已知复数z=1+2i,则z2-2z=　　　　　. 
解析∵z=1+2i,∴z2-2z=z(z-2)=(1+2i)(1+2i-2)=(1+2i)(-1+2i)=-3.
答案-3
7.已知2-3iz=-i,则复数z=　　　　　. 
解析因为2-3iz=-i,所以z=2-3i-i=(2-3i)i=3+2i.
答案3+2i
8.若x2+x+1-i=0,则x=　　　. 
解析设x=a+bi(a,b∈R),则a2-b2+a+1+(2ab+b-1)i=0,故a2-b2+a+1=0,2ab+b-1=0,解得a=0,b=1或a=-1,b=-1.
故x=i或x=-1-i.
答案i或-1-i
9.计算:
(1)(-1+i)(2+i)i3;(2)(1+2i)2+3(1-i)2+i;
(3)1+i1-i6+2+3i3-2i.
解(1)(-1+i)(2+i)i3=-3+i-i=-1-3i.
(2)(1+2i)2+3(1-i)2+i
=-3+4i+3-3i2+i
=i2+i=i(2-i)5=15+25i.
(3)1+i1-i6+2+3i3-2i=(1+i)226+i(3-2i)3-2i=i6+i=-1+i.
10.已知z为z的共轭复数,若z·z-3i·z=1+3i,求z.
解设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi.
由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,
即a2+b2-3b-3ai=1+3i,则有a2+b2-3b=1,-3a=3,
解得a=-1,b=0或a=-1,b=3.
故z=-1或z=-1+3i.
能力提升
1.设复数z=1-mi3+2i(m∈R),若z=z,则m=(　　)
A.-23 B.23 C.32 D.-32
解析∵z=1-mi3+2i=(1-mi)(3-2i)(3+2i)(3-2i)=3-2m13-3m+213i,且z=z,
∴3m+213=0,解得m=-23.
答案A
2.已知复数z1=12+32i,z2=-12+32i,则z=-z1z2+i5在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析因为z1=12+32i,z2=-12+32i,所以z=-12+32i-12+32i+i5=1+i,所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.
答案A
3.若a为正实数,i为虚数单位,a+ii=2,则a=(　　)
A.2 B.3 C.2 D.1
解析∵a+ii=(a+i)(-i)=1-ai,
∴a+ii=|1-ai|=1+a2=2,
解得a=3或a=-3(舍去).
答案B
4.已知关于x的方程x2+x+p=0的两个虚根为x1,x2,且|x1-x2|=3,则实数p的值为(　　)
A.-1 B.1 C.-52 D.52
解析依题意,不妨令x1=-1+4p-1i2,x2=-1-4p-1i2,则|x1-x2|=4p-1=3,解得p=52.
答案D
5.若复数z=7+ai2-i的实部为3,则z的虚部为　　　　　. 
解析z=7+ai2-i=(7+ai)(2+i)(2-i)(2+i)=14-a5+7+2a5i.
由题意知14-a5=3,解得a=-1.
故z=3+i.
故z的虚部为1.
答案1
6.已知复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z=　　　　　,|z|=　　　　　. 
答案2+i或-2-i　5
7.已知复数z=1+i.
(1)设ω=z2+3z-4,求ω;
(2)若z2+az+bz2-z+1=1-i,求实数a,b的值.
解(1)因为z=1+i,所以z=1-i,
所以ω=z2+3z-4=(1+i)2+3(1-i)-4=-1-i.
(2)因为z=1+i,
所以z2+az+bz2-z+1=(1+i)2+a(1+i)+b(1+i)2-(1+i)+1
=a+b+(a+2)ii=1-i,
所以a+b+(a+2)i=(1-i)i=1+i,
所以a+b=1,a+2=1,解得a=-1,b=2.
8.设z是虚数,w=z+1z是实数,且-1<w<2,求|z|的值及z的实部的取值范围.
解因为z是虚数,所以可设z=a+bi,a,b∈R,且b≠0.
所以w=z+1z=a+bi+1a+bi=
a+aa2+b2+b-ba2+b2i.
又w是实数,b≠0,
所以b-ba2+b2=0,所以a2+b2=1.
所以|z|=a2+b2=1,w=2a.
又-1<w<2,所以-1<2a<2,即-12<a<1.
故|z|的值为1,z的实部的取值范围为-12,1.