成都市树德实验中学2025年数学高一下期末调研试题含解析.doc

成都市树德实验中学2025年数学高一下期末调研试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知某数列的前项和（为非零实数），则此数列为（ ）
A．等比数列 B．从第二项起成等比数列
C．当时为等比数列 D．从第二项起的等比数列或等差数列
2．已知直线3x−y+1=0的倾斜角为α，则
A． B．
C．− D．
3．设为等比数列的前n项和，若，则（ ）
A．-11 B．-8 C．5 D．11
4．已知，其中，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知等差数列的前项的和为，若，则等于（ ）
A．81 B．90 C．99 D．180
6．若实数x，y满足条件，目标函数，则z 的最大值为(　)
A． B．1 C．2 D．0
7．下列函数中，在区间上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
8．经过点，和直线相切，且圆心在直线上的圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
10．如图所示的阴影部分是由轴及曲线 围成，在矩形区域 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得的仰角，点的仰角以及；从点测得；已知山高，则山高__________．

12．在轴上有一点，点到点与点的距离相等，则点坐标为____________.
13．已知sin+cosα=，则sin2α=__
14．在等比数列中，已知，则=________________.
15．若直线平分圆，则的值为________.
16．已知当时，函数（且）取得最小值，则时，的值为__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.

(1)求证：AD⊥平面BFED；
(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．
18．如图1，在直角梯形中，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面(如图2).为中点

(1)求证:；
(2)求四棱锥的体积；
(3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由
19．已知三棱锥中，是边长为的正三角形，；

（1）证明：平面平面；
（2）设为棱的中点，求二面角的余弦值.
20．已知数列满足：.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；
（2）求数列的前项和.
21．年月日是第二十七届“世界水日”，月日是第三十二届“中国水周”．我国纪念年“世界水日”和“中国水周”活动的宣传主题为“坚持节水优先，强化水资源管理”．某中学课题小组抽取、两个小区各户家庭，记录他们月份的用水量（单位：）如下表：
小区家庭月用水量

小区家庭月用水量

（1）根据两组数据完成下面的茎叶图，从茎叶图看，哪个小区居民节水意识更好？

（2）从用水量不少于的家庭中，、两个小区各随机抽取一户，求小区家庭的用水量低于小区的概率．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
设数列的前项和为，运用数列的递推式：当时，，当时，，结合等差数列和等比数列的定义和通项公式，即可得到所求结论．
【详解】
设数列的前项和为，对任意的，（为非零实数）.
当时，；
当时，.
若，则，此时，该数列是从第二项起的等差数列；
若且，不满足，当时，，
此时，该数列是从第二项起的等比数列.
综上所述，此数列为从第二项起的等比数列或等差数列.
故选：D.
本题考查数列的递推式的运用，等差数列和等比数列的定义和通项公式，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．
2、A
【解析】
由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值．
【详解】
直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，
∴，
故选A．
本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．
3、A
【解析】
设数列{an}的公比为q.由8a2+a5=0,
得a1q(8+q3)=0.
又∵a1q≠0,∴q=-2.
∴===-11.故选A.
4、D
【解析】
先根据同角三角函数关系求得,再根据二倍角正切公式得结果.
【详解】
因为，且，
所以，因为，所以，
因此，从而，，选D.
本题考查同角三角函数关系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
5、B
【解析】
根据已知得到的值，利用等差数列前项和公式以及等差数列下标和的性质，求得的值.
【详解】
依题意，所以，故选B.
本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和的计算，属于基础题.
6、C
【解析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值.
【详解】
若实数x，y满足条件，目标函数
如图：

当时函数取最大值为
故答案选C
求线性目标函数的最值:
当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，z值最小；
当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.
7、C
【解析】
根据初等函数的单调性对各个选项的函数的解析式进行逐一判断
【详解】
函数在单调递增，在单调递增.
在单调递减，在单调递增.
故选：C
本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．
8、B
【解析】
设出圆心坐标，由圆心到切线的距离和它到点的距离都是半径可求解．
【详解】
由题意设圆心为，则，解得，
即圆心为，半径为．
圆方程为．
故选：B．
本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系．求出圆心坐标与半径是求圆标准方程的基本方法．
9、A
【解析】
根据函数平移变换的方法，由即，只需向右平移个单位即可.
【详解】
根据函数平移变换,由变换为,
只需将的图象向右平移个单位，即可得到的图像，故选A.
本题主要考查了三角函数图象的平移变换，解题关键是看自变量上的变化量，属于中档题.
10、A
【解析】
，所以，故选A。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
在△ABC中，，，
在△AMC中，，
由正弦定理可得，
解得，
在Rt△AMN中
.
12、
【解析】
设点的坐标，根据空间两点距离公式列方程求解.
【详解】
由题：设，点到点与点的距离相等，
所以，
，，
解得：，
所以点的坐标为.
故答案为：
此题考查空间之间坐标系中两点的距离公式，根据公式列方程求解点的坐标，关键在于准确辨析正确计算.
13、
【解析】
∵，
∴即，
则.
故答案为：.
14、
【解析】

15、1
【解析】
把圆的一般式方程化为标准方程得到圆心，根据直线过圆心，把圆心的坐标代入到直线的方程，得到关于的方程，解方程即可
【详解】
圆的标准方程为，
则圆心为
直线过圆心

解得
故答案为
本题考查的是直线与圆的位置关系，解题的关键是求出圆心的坐标，属于基础题
16、3
【解析】
先根据计算，化简函数，再根据当时，函数取得最小值，代入计算得到答案.
【详解】
或

当时，函数取得最小值：
或（舍去）

故答案为3
本题考查了三角函数的化简，辅助角公式，函数的最值，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析 （2）θ最小值为60°
【解析】
（1）在梯形ABCD中，利用勾股定理，得到AD⊥BD，再结合面面垂直的判定，证得DE⊥平面ABCD，即可证得AD⊥平面BFED；
（2）以D为原点，直线DA，DB，DE分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面PAB与平面ADE法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。
【详解】
（1）证明：在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，∴AB＝2.
∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos 60°＝3.
∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD.
∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD＝BD，
DE⊂平面BFED，DE⊥DB，∴DE⊥平面ABCD，
∴DE⊥AD，又DE∩BD＝D，∴AD⊥平面BFED.
（1）由(1)知，直线AD，BD，ED两两垂直，故以D为原点，直线DA，DB，DE分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
令EP＝λ(0≤λ≤)，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，，0)，P(0，λ，1)，
所以＝(－1，，0)，＝(0，λ－，1)．
设n1＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，
由得，取y＝1，则n1＝(，1，－λ)．
因为n2＝(0,1,0)是平面ADE的一个法向量，
所以cos θ＝＝＝.
因为0≤λ≤，所以当λ＝时，cos θ有最大值，所以θ的最小值为60°.

本题考查了线面垂直关系的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
18、（1）证明见解析（2）（3）存在，
【解析】
（1）证明DG⊥AE，再根据面面垂直的性质得出DG⊥平面ABCE即可证明
（2）分别计算DG和梯形ABCE的面积，即可得出棱锥的体积；
（3）过点C作CF∥AE交AB于点F，过点F作FP∥AD交DB于点P，连接PC，可证平面PCF∥平面ADE，故CP∥平面ADE，根据PF∥AD计算的值．
【详解】
(1)证明:因为为中点，，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.又因为平面，故
(2)在直角三角形中，易求，则
所以四棱锥的体积为
(3)存在点，使得平面，且=3:4
过点作交于点，则.

过点作交于点，连接，则.
又因为平面平面，
所以平面.
同理平面.又因为，
所以平面平面.
因为平面，所以平面，由，则=3:4
本题考查了面面垂直的性质，面面平行性质，棱锥的体积计算，属于中档题．
19、（1）见解析（2）
【解析】
（1）由题意结合正弦定理可得， 据此可证得平面，从而可得题中的结论；
（2）在平面中，过点作，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，由空间向量的结论求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可.
【详解】
（1）证明：在中，，，，由余弦定理可得，
，，
，
平面，平面，平面平面.
（2）在平面中，过点作，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则
设平面的一个法向量为
则解得，，
即
设平面的一个法向量为
则
解得，，即

由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
本题主要考查面面垂直的证明方法，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20、（1）见证明；（2）
【解析】
（1）由变形得，即，从而可证得结论成立，进而可求出通项公式；（2）由（1）及条件可求出，然后根据分组求和法可得．
【详解】
（1）证明：因为，
所以．
因为
所以
所以．
又，
所以是首项为，公比为2的等比数列，
所以．
（2）解：由（1）可得，
所以

．
证明数列为等比数列时，在得到后，不要忘了说明数列中没有零项这一步骤．另外，对于数列的求和问题，解题时要根据通项公式的特点选择合适的方法进行求解，属于基础题．
21、（1）见解析（2）
【解析】
（1）根据表格中的数据绘制出茎叶图，并结合茎叶图中数据的分布可比较出两个小区居民节水意识；
（2）列举出所有的基本事件，确定所有的基本事件数，然后确定事件“小区家庭的用水量低于小区”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出事件“小区家庭的用水量低于小区”的概率.
【详解】
（1）绘制如下茎叶图：

由以上茎叶图可以看出，小区月用水量有的叶集中在茎、上，而小区月用水量有的叶集中在茎、上，由此可看出小区居民节水意识更好；
（2）从用水量不少于的家庭中，、两个小区各随机抽取一户的结果：
、、、、、、、，共个基本事件，
小区家庭的用水量低于小区的的结果：、、，共个基本事件．
所以，小区家庭的用水量低于小区的概率是．
本题考查茎叶图的绘制与应用，以及利用古典概型计算事件的概率，考查收集数据与处理数据的能力，考查计算能力，属于中等题.