云南省楚雄彝族自治州民族中学2025年数学高一第二学期期末复习检测试题含解析.doc

云南省楚雄彝族自治州民族中学2025年数学高一第二学期期末复习检测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知为等差数列，，，则等于（ ）.
A． B． C． D．
2．如图为A、B两名运动员五次比赛成绩的茎叶图，则他们的平均成绩和方差的关系是（ ）

A．， B．，
C．， D．，
3．已知向量，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为多少石？
A．180 B．160 C．90 D．360
5．已知圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x﹣3）2+（x+4）2=16，则圆O1与圆O2的位置关系为（　 ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．相离
6．书架上有2本数学书和2本语文书，从这4本书中任取2本，那么互斥但不对立的两个事件是（ ）
A．“至少有1本数学书”和“都是语文书”
B．“至少有1本数学书”和“至多有1本语文书”
C．“恰有1本数学书”和“恰有2本数学书”
D．“至多有1本数学书”和“都是语文书”
7．已知函数 f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0， ω＞0，≤)的图象如下，则点的坐标是( )

A．(，) B．(，)
C．(，) D．(，)
8．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的形状一定是( )
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
9．若，则（ ）
A．－ B． C． D．
10．已知，则( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知球的表面积为4，则该球的体积为________．
12．甲、乙两人要到某地参加活动，他们都随机从火车、汽车、飞机三种交通工具中选择一种，则他们选择相同交通工具的概率为_________.
13．已知sin＝，则cos＝________．
14．在公比为q的正项等比数列{an}中，a3＝9，则当3a2+a4取得最小值时，＝_____．
15．已知，，则当最大时，________.
16．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角最大值为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，角所对的边是，若向量与共线.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围.
18．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．
（II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
（1）列出所有可能的抽取结果；
（2）求抽取的2所学校均为小学的概率．
19．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调区间.
20．如图，是边长为2的正三角形.若，平面，平面平面，，且.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
21．已知直线
（1）若直线过点，且.求直线的方程.
（2）若直线过点A(2,0)，且，求直线的方程及直线,,轴围成的三角形的面积.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
利用等差数列的通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出．
【详解】
解：为等差数列，，，
，，
，，，
，
．
故选：
本题考查等差数列的第20项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
2、D
【解析】
根据题中数据，直接计算出平均值与方差，即可得出结果.
【详解】
由题中数据可得，，，
所以；
又，
，
所以.
故选D
本题主要考查平均数与方差的比较，熟记公式即可，属于基础题型.
3、D
【解析】
利用夹角公式计算出两个向量夹角的余弦值，进而求得两个向量的夹角.
【详解】
设两个向量的夹角为，则，故.
故选：D.
本小题主要考查两个向量夹角的计算，考查向量数量积和模的坐标表示，属于基础题.
4、A
【解析】
根据数得250粒内夹谷30粒，根据比例，即可求得结论。
【详解】
设批米内夹谷约为x石，则
，
解得：
选A。
此题考查简单随机抽样，根据部分的比重计算整体值。
5、A
【解析】
先求出两个圆的圆心和半径，再根据它们的圆心距等于半径之和，可得两圆相外切.
【详解】
圆的圆心为，半径等于1，圆的圆心为，半径等于4，
它们的圆心距等于，等于半径之和，
两个圆相外切.
故选A.
判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
6、C
【解析】
两个事件互斥但不对立指的是这两个事件不能同时发生，也可以都不发生，逐一判断即可
【详解】
对于A：“至少有1本数学书”和“都是语文书”是对立事件，故不满足题意
对于B：“至少有1本数学书”和“至多有1本语文书”可以同时发生，故不满足题意
对于C：“恰有1本数学书”和“恰有2本数学书” 互斥但不对立，满足题意
对于D：“至多有1本数学书”和“都是语文书”可以同时发生，故不满足题意
故选：C
本题考查互斥而不对立的两个事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，是基础题．
7、C
【解析】
由函数f（x）的部分图象求得A、T、ω和φ的值即可．
【详解】
由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象知，
A＝2，T＝2×（4﹣1）＝6，
∴ω，
又x＝1时，y＝2，
∴φ2kπ，k∈Z；
∴φ2kπ，k∈Z；
又0＜φ，∴φ，
∴点P（，）．
故选C．
已知函数的图象求解析式
(1).
(2)由函数的周期求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.
8、A
【解析】
利用平方化倍角公式和边化角公式化简得到，结合三角形内角和定理化简得到，即可确定的形状．
【详解】

化简得

即

即
是直角三角形
故选A
本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简时，将边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略．
9、B
【解析】
首先观察两个角之间的关系：，因此两边同时取余弦值即可．
【详解】
因为
所以
所以，选B.
本题主要考查了三角函的诱导公式．解决此题的关键在于拼凑出，再利用诱导公式（奇变偶不变、符号看象限）即可．
10、C
【解析】
利用诱导公式和同角三角函数的商数关系，得，再利用化弦为切的方法，即可求得答案.
【详解】
由已知
则
故选C.
本题考查利用三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系化简求值，属于三角函数求值问题中的“给值求值”问题，解题的关键是正确掌握诱导公式中符号与函数名称的变换规律和化弦为切方法.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
先根据球的表面积公式求出半径，再根据体积公式求解.
【详解】
设球半径为，则，解得，所以
本题考查球的面积、体积计算，属于基础题.
12、
【解析】
利用古典概型的概率求解.
【详解】
甲、乙两人选择交通工具总的选择有种，他们选择相同交通工具有3种情况，
所以他们选择相同交通工具的概率为．
故答案为：．
本题考查古典概型，要用计数原理进行计数，属于基础题．
13、
【解析】
由sin＝，得cos2＝1－2sin2＝，
即cos＝，
所以cos＝cos＝，故答案为.
14、
【解析】
利用等比数列的性质，结合基本不等式等号成立的条件，求得公比，由此求得的值.
【详解】
∵在公比为q的正项等比数列{an}中，a3＝9，根据等比数列的性质和基本不等式得，当且仅当，即，即q时，3a2+a4取得最小值，∴log3q＝log3．
故答案为：
本小题主要考查等比数列的性质，考查基本不等式的运用，属于基础题.
15、
【解析】
根据正切的和角公式，将用的函数表示出来，利用均值不等式求最值，求得取得最大值的，再用倍角公式即可求解.
【详解】

故可得
则
当且仅当，即时，

此时有
故答案为：.
本题考查正切的和角公式，以及倍角公式，涉及均值不等式的使用.
16、
【解析】
根据余弦定理列式，再根据基本不等式求最值
【详解】
因为
所以角最大值为
本题考查余弦定理以及利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) (2)
【解析】
（1）由题可得，利用正弦定理边化角以及两角和的正弦公式整理可得，进而得到答案．
（2）由正弦定理得，，所以周长，化简整理得，再根据角的范围求得答案．
【详解】
解：（1）由与共线，得，
由正弦定理得：，
所以
又，所以
因为，解得．
（2）由正弦定理得：，
则，，
所以周长

因为，，所以，
故
本题考查的知识点有正弦定理边化角以及两角和差的正弦公式，三角函数的性质，属于一般题．
18、 (1)3,2,1 (2)
【解析】
(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3、2、1．
(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种．
所以P(B)＝＝．
19、 (1) 的最小正周期为 (2) 的单调增区间为
【解析】
试题分析：（1）化简函数的解析式得，根据周期公式求得函数的周期；（2）由求得的取值范围即为函数的单调增区间，由求得取值范围即为函数的单调减区间。
试题解析：
（Ⅰ）

∴的最小正周期为.
（Ⅱ）由，
得
∴的单调增区间为
由
得
∴的单调减区间为
20、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）取的中点，连接，由平面平面，得平面，再证即可证明（2）证明平面，再根据面面垂直的判定定理从而进行证明．
【详解】
（1）取的中点，连接，因为，且，.
所以，.又因为平面平面，
所以平面，又平面，所以
又因为平面，平面，所以平面.

（2）连接，由（1）知，
又，，所以四边形是平行四边形，
所以.又是正三角形，为的中点，∴，
因为平面平面，所以平面，
所以平面.
又平面，所以.
因为，，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
本题考查了线面平行的证明，线面垂直，面面垂直的判定定理，考查空间想象和推理能力，熟记定理是关键，是一道中档题．
21、 (1) ； (2) ；
【解析】
（1）根据已知求得的斜率，由点斜式求出直线的方程.（2）根据已知求得的斜率，由点斜式写出直线的方程，联立的方程，求得两条直线交点的坐标，再由三角形面积公式求得三角形面积.
【详解】
解：（1）∵∥，∴直线的斜率是
又直线过点，
∴直线的方程为，即
（2）∵，∴直线的斜率是
又直线过点，
∴直线的方程为即
由得与的交点为
∴直线,,轴围成的三角形的面积是
本小题主要考查两条直线平行、垂直时，斜率的对应关系，考查直线的点斜式方程，考查两条直线交点坐标的求法，考查三角形的面积公式，属于基础题.