上海市上海师范大学第二附属中学2025届数学高一下期末质量检测模拟试题含解析.doc

上海市上海师范大学第二附属中学2025届数学高一下期末质量检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在正方体中，当点在线段（与，不重合）上运动时，总有：

①； ②平面平面；③平面； ④．
以上四个推断中正确的是( )
A．①② B．①④ C．②④ D．③④
2．在数列中，若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．数列1，，，…，的前n项和为
A． B． C． D．
4．给定函数：①；②；③；④，其中奇函数是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是

A．8 B．5 C．3 D．2
6．在等比数列中，若，则（ ）
A．3 B． C．9 D．13
7．从一批产品中取出三件产品，设事件为“三件产品全不是次品”，事件为“三件产品全是次品”，事件为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件与互斥 B．事件与互斥
C．任何两个事件均互斥 D．任何两个事件均不互斥
8．的值等于( )
A． B． C． D．
9．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=
A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）
10．不等式x2+ax+4＞0对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣4，4） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C．（﹣∞，+∞） D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在△ABC中,已知30,则B等于__________．
12．已知的三边分别是，且面积，则角__________.
13．已知常数，若函数在上恒有，且
，则函数在区间上零点的个数
是________.
14．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，则________.
15．设,则的值是____.
16．函数的最小正周期为__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．为迎接世博会，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000，四周空白的宽度为10 cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸（单位：cm），能使整个矩形广告面积最小.
18．已知函数．
（1）若在区间上的最小值为，求的值；
（2）若存在实数，使得在区间上单调且值域为，求的取值范围．
19．设向量、满足，，.
（1）求的值；
（2）若，求实数的值.
20．王某2017年12月31日向银行贷款元，银行贷款年利率为，若此贷款分十年还清（2027年12月31日还清），每年年底等额还款（每次还款金额相同），设第年末还款后此人在银行的欠款额为元.
（1）设每年的还款额为元，请用表示出；
（2）求每年的还款额（精确到元）.
21．在等比数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
每个结论可以通过是否能证伪排除即可．
【详解】
①因为，与相交，所以①错．
②很明显不对，只有当E在中点时才满足条件．
③易得平面平面，而AE平面，所以平面；
④因为平面，而AE平面，所以．
故选D
此题考查空间图像位置关系，一般通过特殊位置排除即可，属于较易题目．
2、C
【解析】
利用倒数法构造等差数列，求解通项公式后即可求解某一项的值.
【详解】
∵，∴，即，
数列是首项为，公差为2的等差数列，∴，
即，∴．故选C．
对于形如，可将其转化为的等差数列形式，然后根据等差数列去计算.
3、B
【解析】
数列为，则
所以前n项和为．故选B
4、D
【解析】
试题分析：，知偶函数，，知非奇非偶，知偶函数，，知奇函数.
考点：函数奇偶性定义.
5、C
【解析】
试题分析：k=1，满足条件k＜4，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=1
k=2，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2
k=3，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3
k=4，不满足条件k＜4，则退出执行循环体，此时p=3
考点：程序框图
6、A
【解析】
根据等比数列性质即可得解.
【详解】
在等比数列中，，
，所以，所以，
.
故选：A
此题考查等比数列的性质，根据性质求数列中的项的关系，关键在于熟练掌握相关性质，准确计算.
7、B
【解析】
根据互斥事件的定义，逐个判断，即可得出正确选项．
【详解】
为三件产品全不是次品，指的是三件产品都是正品，为三件产品全是次品，
为三件产品不全是次品，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件
由此知：与是互斥事件；与是包含关系，不是互斥事件；与是互斥事件，故选B．
本题主要考查互斥事件定义的应用．
8、A
【解析】
= ,选A.
9、C
【解析】
根据并集的求法直接求出结果.
【详解】
∵ ，
∴ ，
故选C.
考查并集的求法，属于基础题.
10、A
【解析】
根据二次函数的性质求解．
【详解】
不等式x2+ax+4＞0对任意实数x恒成立，则，∴．
故选A．
本题考查一元二次不等式恒成立问题，解题时可借助二次函数的图象求解．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据三角形正弦定理得到角，再由三角形内角和关系得到结果.
【详解】
根据三角形的正弦定理得到，
故得到角，当角时，有三角形内角和为，得到，
当角时，角
故答案为
在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
12、
【解析】
试题分析：由，可得，整理得，即，所以.
考点：余弦定理；三角形的面积公式.
13、15
【解析】
根据可得函数周期，作出函数一个周期上的图象，利用数形结合即可求解.
【详解】
函数在上恒有,
,
函数周期为4.
常数,
,
函数在区间上零点,即函数与直线及直线之间的直线的交点个数.
由，可得函数 一个周期内的图象，做草图如下：

由图可知，在一个周期内，函数有3个零点，
故函数在区间上有15个零点.
故填15.
本题主要考查了函数零点的个数判断，涉及数形结合思想在解题中的运用，属于难题.
14、
【解析】
讨论斜率不存在和斜率存在两种情况，分别计算得到答案.
【详解】
抛物线的焦点F为，
当斜率不存在时，易知，故；
当斜率存在时，设，故，即，
故，.
综上所述：.
故答案为：.
本题考查了抛物线中线段长度问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
15、
【解析】
根据二倍角公式得出，再根据诱导公式即可得解．
【详解】
解：由题意知：

故，
即

．
故答案为.
本题考查了二倍角公式和诱导公式的应用，属于基础题．
16、
【解析】
用辅助角公式把函数解析式化成正弦型函数解析式的形式，最后利用正弦型函数的最小正周期的公式求出最小正周期.
【详解】
,
函数的最小正周期为.
本题考查了辅助角公式，考查了正弦型函数最小正周期公式，考查了数学运算能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、高200，宽100
【解析】
设广告矩形栏目高与宽分别为acm, cm
整个矩形广告面积为

当且仅当时取等号
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据二次函数单调性讨论即可解决．
（2）分两种情况讨论，分别讨论单调递增和单调递减的情况即可解决．
【详解】
（1）若，即时，，
解得：，
若，即时，，
解得：（舍去）.
（2）（ⅰ）若在上单调递增，则，
则，
即是方程的两个不同解，所以，即，
且当时，要有，
即，可得，
所以；
（ⅱ）若在上单调递减，则，
则，
两式相减得：，
将代入（2）式，得，
即是方程的两个不同解，
所以，即，
且当时要有，
即，可得，
所以，
（iii）若对称轴在上，则不单调，舍弃．
综上，.
本题主要考查了二次函数的综合问题，在解决二次函数问题时需要关注的是单调性、对称轴、最值、开口、等属于中等偏上的题．
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律可计算出的值；
（2）由转化为，然后利用平面向量数量积的运算律可求出实数的值.
【详解】
（1）在等式两边平方得，即，
即，解得；
（2），，
即，解得.
本题考查利用平面向量的模求数量积，同时也考查了利用平面向量数量积来处理平面向量垂直的问题，考查化归与转化数学思想，属于基础题.
20、 (1) (2)12950元
【解析】
（1）计算100000元到第二年年末的本利和，减去第一次还的元到第二年年末的本利和，再减去第二年年末还的元，可得；
（2）根据100000元到第10年年末的本利和与每年还款元到第10年年末的本利和相等，得到关于的方程组，进而求得的值.
【详解】
(1)由题意得：.
(2)因为
所以，解得：.
本题以生活中的贷款问题为背景，考查利用等比数列知识解决问题，考查数学建模能力和运算求解能力，求解时要先读懂题意，并理解复利算法，是成功解决问题的关键.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）设出通项公式，利用待定系数法即得结果；
（2）先求出通项，利用错位相减法可以得到前项和.
【详解】
（1）因为，，所以，
解得
故的通项公式为.
（2）由（1）可得，
则，①
，②
①-②得
故.
本题主要考查等比数列的通项公式，错位相减法求和，意在考查学生的分析能力
及计算能力，难度中等.