云南省中央民族大学附属中学芒市国际学校2024-2025学年高一下数学期末预测试题含解析.doc

云南省中央民族大学附属中学芒市国际学校2024-2025学年高一下数学期末预测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若三个球的半径的比是1：2：3，则其中最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的（ ）倍．
A． B． C． D．
2．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg
3．设，，若是与的等比中项，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
4．若a、b、c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值为(　　)
A．－1 B．＋1
C．2＋2 D．2－2
5．在正项等比数列中，，数列的前项之和为（）
A． B． C． D．
6．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．等比数列中，，，则公比等于（ ）
A．2 B．3 C． D．
8．设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内应填（ ）

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则an＝_____
12．已知，，若，则______．
13．已知为直线上一点，过作圆的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．
14．函数的图象过定点______.
15．正方体中，分别是的中点，则所成的角的余弦值是__________．
16．设等差数列的前项和为，若，，则的最小值为______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，四棱锥中，，平面平面，，为的中点.

（1）求证://平面；
（2）求点到面的距离
（3）求二面角平面角的正弦值
18．设函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣）．
（1）求f（x）的周期和最大值；
（2）已知△ABC中，角A．B．C的对边分别为A，B，C，若f（π﹣A）＝，b+c＝2，求a的最小值．
19．设两个非零向量，不共线，如果，，.
（1）求证：、、共线；
（2）试确定实数，使和共线.
20．在中，内角所对的边分别为.已知，，.
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）求的值.
21．设数列，满足：，，，，.
（1）写出数列的前三项；
（2）证明：数列为常数列，并用表示；
（3）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
设最小球的半径为，根据比例关系即可得到另外两个球的半径，再利用球的体积公式表示出三个球的体积，即可得到结论。
【详解】
设最小球的半径为，由三个球的半径的比是1：2：3，可得另外两个球的半径分别为，；
最小球的体积，中球的体积，最大球的体积；
，即最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的3倍；
故答案选D
本题主要考查球体积的计算公式，属于基础题。
2、D
【解析】
根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则
=0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确；
回归直线过样本点的中心（），B正确；
该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C正确；
该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．
故选D．
3、C
【解析】
先由题意求出，再结合基本不等式，即可求出结果.
【详解】
因为是与的等比中项，
所以，故，
因为，，
所以，
当且仅当，即时，取等号；
故选C
本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.
4、D
【解析】
由a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，
得(a＋c)·(a＋b)＝4－2.
∵a、b、c>0.
∴(a＋c)·(a＋b)≤(当且仅当a＋c＝b＋a，即b＝c时取“＝”)，
∴2a＋b＋c≥2＝2(－1)＝2－2.
故选：D
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误
5、B
【解析】
根据等比数列的性质，即可解出答案。
【详解】

故选B
本题考查等比数列的性质，同底对数的运算，属于基础题。
6、D
【解析】
直接用正弦定理直接求解边.
【详解】
在中，，，
由余弦定理有：,即
故选：D
本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.
7、A
【解析】
由题意利用等比数列的通项公式，求出公比的值．
【详解】
解：等比数列中，，，，则公比，
故选：．
本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题．
8、C
【解析】
利用特殊值，对选项进行排除，由此得到正确选项.
【详解】
当时，，由此排除D选项.当时，，由此排除B选项.当时，，由此排除A选项.综上所述，本小题选C.
本小题主要考查分段函数求值，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题.
9、B
【解析】
由指数函数的性质得，由对数函数的性质得，根据正切函数的性质得，即可求解，得到答案．
【详解】
由指数函数的性质，可得，由对数函数的性质可得，
根据正切函数的性质，可得，所以，故选B.
本题主要考查了指数式、对数式以及正切函数值的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质，以及正切函数的性质得到的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
10、A
【解析】
根据程序框图的结构及输出结果,逆向推断即可得判断框中的内容.
【详解】
由程序框图可知,,则

所以此时输出的值,因而时退出循环.因而判断框的内容为
故选:A
本题考查了根据程序框图的输出值,确定判断框的内容,属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用等比数列的前n项和公式列出方程组，求出首项与公比，由此能求出该数列的通项公式．
【详解】
由题意，,不合题意舍去；
当等比数列的前n项和为，
即，解得，所以，
故答案为：．
本题主要考查了等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12、
【解析】
首先令，分别把解出来，再利用整体换元的思想即可解决．
【详解】
令
所以
令，所以
所以
本题主要考查了整体换元的思想以及对数之间的运算和公式法解一元二次方程．整体换元的思想是高中的一个重点，也是高考常考的内容需重点掌握．
13、或
【解析】
利用切线长最短时，取最小值找点：即过圆心作直线的垂线，求出垂足点．就切线的斜率是否存在分类讨论，结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程．
【详解】
设切线长为，则，所以当切线长取最小值时，取最小值，
过圆心作直线的垂线，则点为垂足点，此时，直线的方程为，
联立，得，点的坐标为.
①若切线的斜率不存在，此时切线的方程为，圆心到该直线的距离为，合乎题意；
②若切线的斜率存在，设切线的方程为，即.
由题意可得，化简得，解得，
此时，所求切线的方程为，即.
综上所述，所求切线方程为或，
故答案为或．
本题考查过点的圆的切线方程的求解，考查圆的切线长相关问题，在过点引圆的切线问题时，要对直线的斜率是否存在进行分类讨论，另外就是将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径长，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题．
14、
【解析】
令真数为，求出的值，代入函数解析式可得出定点坐标.
【详解】
令，得，当时，.
因此，函数的图象过定点.
故答案为：.
本题考查对数型函数图象过定点问题，一般利用真数为来求得，考查计算能力，属于基础题.
15、
【解析】
取的中点，由得出异面直线与所成的角为，然后在由余弦定理计算出，可得出结果．
【详解】
取的中点，由且可得为所成的角，
设正方体棱长为，中利用勾股定理可得，
又，由余弦定理可得，
故答案为．

本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线找出异面直线所成的角，再选择合适的三角形，利用余弦定理或锐角三角函数来计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题．
16、
【解析】
用基本量法求出数列的通项公式，由通项公式可得取最小值时的值，从而得的最小值．
【详解】
设数列公差为，则由已知得，解得，
∴，，，又，、
∴的最小值为．
故答案为：．．
本题考查等差数列的前项和的最值．首项为负且递增的等差数列，满足的最大的使得最小，首项为正且递减的等差数列，满足的最大的使得最大，当然也可把表示为的二次函数，由二次函数知识求得最值．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见详解；（2）；（3）
【解析】
（1）通过取中点，利用中位线定理可得四变形为平行四边形，然后利用线面平行的判定定理，可得结果.
（2）根据,可得平面，可得结果.
（3）作，作，可得二面角平面角为，然后计算，可得结果.
【详解】
（1）取中点，连接，如图

由为的中点，所以//且
又，且，
所以//且，
故//且，
所以四变形为平行四边形，故//
又平面，平面
所以//平面
（2）由，平面
平面平面，
平面平面
所以平面，又平面
所以，由，
所以为正三角形，所以
则平面
所以平面，且
所以点到面的距离即
（3）作交于点，
作交于点，连接
由平面平面，平面平面
平面平面，
所以平面，平面，
所以，又
平面，所以平面
又平面，所以
所以二面角平面角为
，又为等腰直角三角形
所以，所以
所以
又二面角平面角为
故
所以二面角平面角的正弦值为
本题考查了线面平行的判定定理，还考查了点面距和面面角的求法，第（3）中难点在于找到二面角的平面角，掌握定义以及综合线面，面面的位置关系，细心计算，属中档题.
18、（1）周期为π，最大值为2.（2）
【解析】
（1）利用倍角公式降幂，展开两角差的余弦，将函数的关系式化简余弦型函数，可求出函数的周期及最值；
（2）由f（π﹣A），求解角A，再利用余弦定理和基本不等式求a的最小值．
【详解】
（1）函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x）
＝1+cos2x
＝cos（2x）+1，
∵﹣1≤cos（2x）≤1，
∴T，f（x）的最大值为2；
（2）由题意，f（π﹣A）＝f（﹣A）＝cos（﹣2A）+1，
即：cos（﹣2A），
又∵0＜A＜π，
∴2A，
∴﹣2A，即A．
在△ABC中，b+c＝2，cosA，
由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣bc，
由于：bc，当b＝c＝1时，等号成立．
∴a2≥4﹣1＝3，即a．
则a的最小值为．
本题考查三角函数的恒等变换，余弦形函数的性质的应用，余弦定理和基本不等式的应用，是中档题．
19、（1） 证明见解析 （2）
【解析】
(1) 要证、、共线，只要证明存在实数，使得成立即可.
(2) 利用向量共线的充要条件和两个非零向量与不共线即可求出.
【详解】
(1) 证明：由.
又，则.
所以.
所以、、共线.
（2）和共线，则存在实数，使得成立.
向量，不共线,所以，解得：
所以当时，使和共线.
本题考查利用向量共线的充要条件证明点共线和求参数的值.
20、（Ⅰ）.=.（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，
进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.
试题解析：（Ⅰ） 解：在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.
由正弦定理,得.
所以，的值为，的值为.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及，得，所以，
.故.
考点：正弦定理、余弦定理、解三角形
【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
21、（1），，（2）证明见解析,（3）证明见解析,
【解析】
（1）利用递推关系式直接求解即可.
（2）由整理化简得，从而可证出结论.
（3）首先由递推关系式证出，再由对数的运算性质以及等比数列的定义即可证出.
利用
【详解】
（1），，；
（2）证明：，
∴为常数列4，即，∴；
（3）
，
∴是以为首项，2为公比的等比数列，
∴.
本题考查了由数列的递推关系式研究数列的性质、等比数列的定义，属于中档题.