2025届河北省邢台市南和一中高一下数学期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

2025届河北省邢台市南和一中高一下数学期末质量跟踪监视模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在等比数列{an}中，若a2，a9是方程x2﹣2x﹣6＝0的两根，则a4•a7的值为（）
A．6 B．1 C．﹣1 D．﹣6
2．平面平面，直线， ，那么直线与直线的位置关系一定是（ ）
A．平行 B．异面 C．垂直 D．不相交
3．已知直线经过点，且倾斜角为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能
5．将函数的图象沿轴向左平移个单位，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（ ）
A． B． C． D．
6．若则所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱.
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台.
8．对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．已知在中，为线段上一点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．空间中可以确定一个平面的条件是（ ）
A．三个点 B．四个点 C．三角形 D．四边形
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若在区间（且）上至少含有30个零点，则的最小值为_____．
12．关于的不等式的解集是，则______．
13．已知两个正实数x，y满足＝2，且恒有x+2y﹣m＞0，则实数m的取值范围是______________
14．__________．
15．已知锐角、满足，，则的值为______.
16．实数x、y满足，则的最大值为________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知等差数列满足，前项和.
（1）求的通项公式
（2）设等比数列满足，，求的通项公式及的前项和.
18．已知圆过点，，圆心在直线上，是直线上任意一点．
（1）求圆的方程；
（2）过点向圆引两条切线，切点分别为，，求四边形的面积的最小值．
19．一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.
(Ⅰ)若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率；
(Ⅱ)若第一次随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率.
20．高二数学期中测试中，为了了解学生的考试情况，从中抽取了个学生的成绩（满分为100分）进行统计.按照[50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出得分在[50,60), [90,100]的数据）.

(1)求样本容量和频率分布直方图中的值；
(2)在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名参加志愿者活动，所抽取的3名同学中至少有一名成绩在[90,100]内的概率．.
21．在数列中，，，数列的前项和为，且．
（1）证明：数列是等差数列．
（2）若对恒成立，求的取值范围．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
由题意利用韦达定理，等比数列的性质，求得a4•a7的值．
【详解】
∵等比数列{an}中，若a2，a9是方程x2﹣2x﹣6＝0的两根，∴a2•a9＝﹣6，
则a4•a7＝a2•a9＝﹣6，
故选：D．
本题主要考查等比数列的性质及二次方程中韦达定理的应用，考查了分析问题的能力，属于基础题．
2、D
【解析】
利用空间中线线、线面、面面的位置关系得出直线与直线没有公共点.
【详解】
由题平面平面 ，直线，
则直线与直线的位置关系平行或异面，即两直线没有公共点，不相交.
故选D.
本题考查空间中两条直线的位置关系，属于简单题．
3、C
【解析】
根据倾斜角求得斜率，再根据点斜式写出直线方程，然后化为一般式.
【详解】
倾斜角为，斜率为，由点斜式得，即.故选C.
本小题主要考查倾斜角与斜率对应关系，考查直线的点斜式方程和一般式方程，属于基础题.
4、D
【解析】
试题分析：根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断．
解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．
故选D
考点：空间中直线与直线之间的位置关系．
5、B
【解析】
利用函数y＝Asin（ωx+）的图象变换可得函数平移后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．
【详解】
令y＝f（x）＝sin（2x+），
则f（x）＝sin[2（x）+]＝sin（2x），
∵f（x）为偶函数，
∴＝kπ，
∴＝kπ，k∈Z，
∴当k＝0时，．
故的一个可能的值为．
故选：B．
本题考查函数y＝Asin（ωx+）的图象变换，考查三角函数的奇偶性的应用，属于中档题．
6、C
【解析】
根据已知不等式可得，；根据各象限内三角函数的符号可确定角所处的象限.
【详解】
由知：， 在第三象限
故选：
本题考查三角函数在各象限内的符号，属于基础题.
7、C
【解析】
试题分析：有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体，A错；有两个面平行, 其余各面都是平行四边形的几何体如图所示，B错；用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，D错；由棱柱的定义，C正确；

考点：1、棱柱的概念；2、棱台的概念.
8、B
【解析】
分析：由题意首先求得的通项公式，然后结合等差数列的性质得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.
详解：由题意,，
则，很明显
n⩾2时,，
两式作差可得：，
则an=2(n+1),对a1也成立，故an=2(n+1)，
则an−kn=(2−k)n+2，
则数列{an−kn}为等差数列，
故Sn⩽S6对任意的恒成立可化为：
a6−6k⩾0,a7−7k⩽0；
即，解得：.
实数的取值范围为.
本题选择B选项.
点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
9、C
【解析】
首先，由已知条件可知，再有，这样可用表示出．
【详解】
∵，∴，
，
∴，∴．
故选C．
本题考查平面向量基本定理，解题时用向量加减法表示出，然后用基底表示即可．
10、C
【解析】
根据公理2即可得出答案．
【详解】
在A中，不共线的三个点能确定一个平面，共线的三个点不能确定一个平面，故A错误；在B中，不共线的四个点最多能确定四个平面，故B错误；
在C中，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个平面，故C正确；
在D中，四边形有空间四边形和平面四边形，空间四边形不能确定一个平面，故D错误.
本题对公理2进行了考查，确定一个平面关键是对过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面的理解．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
首先求出在上的两个零点，再根据周期性算出至少含有30个零点时的值即可
【详解】
根据，即，故，或，
∵在区间（且）上至少含有30个零点，
∴不妨假设（此时，），则此时的最小值为，（此时，），
∴的最小值为，
故答案为：
本题函数零点个数的判断，解决此类问题通常结合周期、函数图形进行解决。属于难题。
12、
【解析】
利用二次不等式解集与二次方程根的关系，由二次不等式的解集得到二次方程的根，再利用根与系数的关系，得到和的值，得到答案.
【详解】
因为关于的不等式的解集是，
所以关于的方程的解是，
由根与系数的关系得，解得，
所以.
本题考查二次不等式解集和二次方程根之间的关系，属于简单题.
13、 (-∞,1)
【解析】
由x+2y（x+2y）（）（1），运用基本不等式可得x+2y的最小值，由题意可得m＜x+2y的最小值．
【详解】
两个正实数x，y满足2，
则x+2y（x+2y）（）（1）
（1+2）＝1，
当且仅当x＝2y＝2时，上式取得等号，
x+2y﹣m＞0，即为m＜x+2y，
由题意可得m＜1．
故答案为：（﹣∞，1）．
本题考查基本不等式的运用：“乘1法”求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，属于中档题．
14、
【解析】
在分式的分子和分母上同时除以，然后利用极限的性质来进行计算.
【详解】
，故答案为：.
本题考查数列极限的计算，解题时要熟悉一些常见的极限，并充分利用极限的性质来进行计算，考查计算能力，属于基础题.
15、
【解析】
计算出角的取值范围，利用同角三角函数的平方关系计算出的值和的值，然后利用两角差的余弦公式可计算出的值.
【详解】
由题意可知，，，，
则，
.
因此，.
故答案为.
本题考查利用两角差的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数的平方关系求值，解题时要明确所求角与已知角之间的关系，合理利用公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.
16、
【解析】
根据约束条件，画出可行域，将目标函数化为斜截式，找到其在轴截距的最大值，得到答案.
【详解】
由约束条件，
画出可行域，如图所示，
化目标函数为，
由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，
联立，解得，即，
所以.
故答案为：.

本题考查线性规划求最大值，属于简单题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2），．
【解析】
（1）设的公差为，则由已知条件得，．
化简得解得故通项公式，即．
（2）由（1）得．设的公比为,则,从而．

故的前项和．
18、（1）（2）
【解析】
（1）首先列出圆的标准方程，根据条件代入，得到关于的方程求解；（2）根据切线的对称性，可知，，这样求面积的最小值即是求的最小值，当点是圆心到直线的距离的垂足时，最小.
【详解】
解：（1）设圆的方程为．
由题意得解得
故圆的方程为．
另解：先求线段的中垂线与直线的交点，即解得从而得到圆心坐标为，再求，故圆的方程为．
（2）设四边形的面积为，则．
因为是圆的切线，所以，
所以，即．
因为，所以．
因为是直线上的任意一点，所以，
则，即．
故四边形的面积的最小值为．
本题考查了圆的标准方程，和与圆，切线有关的最值的计算，与圆有关的最值计算，需注意数形结合.
19、（1）（2）
【解析】
古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体，主要考查的是另一个知识点
（1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果，可以列举出，而满足条件的事件数字之和大于7的，可以从列举出的结果中看出．
（2）列举出每次抽1张，连续抽取两张全部可能的基本结果，而满足条件的事件是两次抽取中至少一次抽到数字3，从前面列举出的结果中找出来．
解：(Ⅰ)设A表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于或等于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），共4种，
数字之和大于或等于7的是（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），共3种，
所以P(A)=.
(Ⅱ)设B表示事件“至少一次抽到2”，
第一次抽1张，放回后再抽取1张的全部可能结果为：（1、1）（1、2）（1、3）（1、4）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），共16个
事件B包含的结果有（1、2）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、2）（4、2），共7个
所以所求事件的概率为P(B)=.
20、 (1)40,0.025,0.005 (2)
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由样本容量和频数频率的关系易得答案；（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，100）内的学生有6人，分数在[90，100]内的学生有2人，结合古典概型概率公式和对立事件概率公式可求得至少有一名成绩在[90,100]内的概率
试题解析：（1）由题意可知，样本容量，，
.……………………………6分
（2）由题意，分数在内的有4人，分数在内的有2人，成绩是分以上（含分）的学生共6人.从而抽取的名同学中得分在的学生人数的所有可能的取值为.
，所以所求概率为
考点：频率分布直方图；茎叶图
21、（1）见解析（2）
【解析】
（1）根据已知可变形为常数；（2）首先求数列的通项公式，然后利用裂项相消法求，若满足对恒成立，需满足， ，求的取值范围.
【详解】
（1）证明：因为，
所以，，
则．
又，
故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）可知，则．
因为，所以，
所以．
易知单调递增，则．
所以，且，解得．
故的取值范围为．
本题考查了证明等差数列的方法，以及裂项相消法求和，本题的一个亮点是与函数结合考查数列的最值问题，涉及最值时，需先判断函数的单调性，可以根据函数特征直接判断单调性或是根据的正负判断单调性，然后求最值.