2025年北京市清华大学附属中学朝阳学校数学高一第二学期期末考试试题含解析.doc

2025年北京市清华大学附属中学朝阳学校数学高一第二学期期末考试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，若，则周长的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
2．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．l：的斜率为
A．﹣2 B．2 C． D．
4．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司年全年投入研发奖金万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长，则该公司全年投入的研发奖金开始超过万元的年份是（ ）（参考数据：，，）
A．年 B．年 C．年 D．年
5．数列的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α−β)＝−，则tanβ＝ (　　)
A． B．3 C． D．
7．三棱锥则二面角的大小为( )
A． B． C． D．
8．设，则下列不等式中正确的是(　　)
A． B．
C． D．
9．已知是两条异面直线，，那么与的位置关系（ ）
A．一定是异面 B．一定是相交 C．不可能平行 D．不可能垂直
10．在中任取一实数作为x，则使得不等式成立的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若数列是等差数列，则数列也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项数列是等比数列，则数列 _________也是等比数列.
12．某公司当月购进、、三种产品，数量分别为、、，现用分层抽样的方法从、、三种产品中抽出样本容量为的样本，若样本中型产品有件，则的值为_______．
13．向量满足：，与的夹角为，则＝_____________；
14．已知向量，，且，则______．
15．函数的单调递增区间为______.
16．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若b·cosC=c·cosB，且cosA＝，则cosB的值为_____．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围.
18．针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：

支持
保留
不支持
岁以下

岁以上（含岁）

(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了人，求的值；
(2)在接受调查的人中，有人给这项活动打出的分数如下：，，，，，，，，，，把这个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过的概率．
19．已知函数，，（,为常数）.
（1）若方程有两个异号实数解，求实数的取值范围；
（2）若的图像与轴有3个交点，求实数的取值范围；
（3）记，若在上单调递增，求实数的取值范围.
20．已知向量满足，且向量与的夹角为.
（1）求的值；
（2）求.
21．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
利用正弦定理和三角函数关系式，求得的值，由角的范围求出角的的大小，再由条件和余弦定理列出方程，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
由，根据正弦定理可得，
因为，所以，所以，即，
又由，所以，
由余弦定理可得，
又因为，当且仅当时等号成立，
又由，所以，即，
所以三角形的周长的最大值为.
故选：D.
本题主要考查了正弦定理、余弦定理和正弦函数的性质，以及基本不等式的应用综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
2、C
【解析】
试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以
，故C为正确答案．
考点：异面直线所成的角．
3、B
【解析】
先化成直线的斜截式方程即得直线的斜率.
【详解】
由题得直线的方程为y=2x,
所以直线的斜率为2.
故选：B
本题主要考查直线斜率的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4、B
【解析】
试题分析：设从2015年开始第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得，
两边取常用对数得，故从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.
【考点】增长率问题，常用对数的应用
【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作等比数列的应用，解题时要注意把哪个数作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可求解．
5、C
【解析】
利用特殊值,将代入四个选项即可排除错误选项.
【详解】
将代入四个选项,可得A中B中D中
只有C中
所以排除ABD选项
故选：C
本题考查了根据几个项选择数列的通项公式,特殊值法是解决此类问题的简单方法,属于基础题.
6、B
【解析】
利用角的关系，再利用两角差的正切公式即可求出的值.
【详解】
因为，且为锐角，则，所以，
因为，
所以
故选B.
主要考查了两角差的正切公式，同角三角函数的平方关系，属于中档题.对于给值求值问题，关键是寻找已知角（条件中的角）与未知角（问题中的角）的关系，用已知角表示未知角，从而将问题转化为求已知角的三角函数值，再利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式以及诱导公式即可求出.
7、B
【解析】
P在底面的射影是斜边的中点，设AB中点为D过D作DE垂直AC，垂足为E，则∠PED即为二面角P﹣AC﹣B的平面角，在直角三角形PED中求出此角即可．
【详解】
因为AB＝10，BC＝8，CA＝6 所以底面为直角三角形
又因为PA＝PB＝PC 所以P在底面的射影为直角三角形ABC的外心，为AB中点．
设AB中点为D过D作DE垂直AC，垂足为E，所以DE平行BC，且DEBC＝4，所以∠PED即为二面角P﹣AC﹣B的平面角．
因为PD为三角形PAB的中线，所以可算出PD＝4 所以tan∠PED 所以∠PED＝60°
即二面角P﹣AC﹣B的大小为60°
故答案为60°．
本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，确定出二面角的平面角是解答本题的关键．
8、B
【解析】
取，则，，只有B符合．故选B．
考点：基本不等式．
9、C
【解析】
由平行公理，若，因为，所以，与、是两条异面直线矛盾，异面和相交均有可能．
【详解】
、是两条异面直线，，那么与异面和相交均有可能，但不会平行．
因为若，因为，由平行公理得，与、是两条异面直线矛盾．
故选C．
本题主要考查空间的两条直线的位置关系的判断、平行公理等知识，考查逻辑推理能力，属于基础题.
10、C
【解析】
先求解不等式,再利用长度型的几何概型概率公式求解即可
【详解】
由题,因为,解得,
则,
故选:C
本题考查长度型的几何概型,考查解对数不等式

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用类比推理分析，若数列是各项均为正数的等比数列，则当时，数列也是等比数列．
【详解】
由数列是等差数列，则当时，数列也是等差数列．类比上述性质，若数列是各项均为正数的等比数列，则当时，数列也是等比数列．
故答案为：
类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
12、.
【解析】
利用分层抽样每层抽样比和总体的抽样比相等，列等式求出的值.
【详解】
在分层抽样中，每层抽样比和总体的抽样比相等，则有，
解得，故答案为：.
本题考查分层抽样中的相关计算，解题时要充分利用各层抽样比与总体抽样比相等这一条件列等式求解，考查运算求解能力，属于基础题.
13、
【解析】
根据模的计算公式可直接求解.
【详解】

故填：.
本题考查了平面向量模的求法，属于基础题型.
14、
【解析】
根据的坐标表示，即可得出，解出即可．
【详解】
，，．
本题主要考查平行向量的坐标关系应用．
15、
【解析】
令，解得的范围即为所求的单调区间.
【详解】
令，，解得：，
的单调递增区间为
故答案为：
本题考查正弦型函数单调区间的求解问题，关键是能够采用整体对应的方式，结合正弦函数的单调区间来进行求解.
16、
【解析】
利用余弦定理表示出与，代入已知等式中，整理得到，再利用余弦定理表示出，将及的值代入用表示出，将表示出的与代入中计算，即可求出值．
【详解】
由题意，由余弦定理得，
代入，得，整理得，
所以，即，
整理得，即，则，
故答案为．
本题考查了解三角形的综合应用，高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
(1)将)化简为，代入从而求得结果.
(2) 由, 得,从而确定的范围.
【详解】
(1)

(2)由，得

解得，，即的取值范围是
本题主要考查三角函数的化简求值，不等式的求解，意在考查学生的运算能力和分析能力，难度不大.
18、 (1)120;(2).
【解析】
（1）参与调查的总人数为20000，其中从持“不支持”态度的人数5000中抽取了30人，由此能求出n.（2）总体的平均数为9，与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2,8.3,9.7，由此能求出任取1个数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.
【详解】
（1）参与调查的总人数为8000+4000+2000+1000+2000+3000=20000,其中不支持态度的人数2000+3000=5000中抽取了30人，所以n=.
（2）总体的平均数
与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2,8.3,9.7，所以任取一个数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.
本题主要考查了样本容量的求法，分层抽样，用列举法求古典概型的概率，属于中档题.
19、 (1) (2) (3)或
【解析】
（1）由题意，可知只要，即可使得方程有两个异号的实数解，得到答案；
（2）由题意，得，则，再由的图象与轴由3个交点，列出相应的条件，即可求解.
（3）由题意得，分类讨论确定函数的单调性，即可得到答案.
【详解】

由题可得，
，与轴有一个交点；
与有两个交点

综上可得: 实数的取值范围或
本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及分段函数的性质的综合应用，其中解答中认真审题，合理分类讨论及利用函数的基本性质求解是解答的关键，试题综合性强，属于难题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想和转化思想的应用.
20、（1）（2）
【解析】
（1）根据，得到，再由题中数据，即可求出结果；
（2）根据向量数量积的运算法则，以及（1）的结果，即可得出结果.
【详解】
解：（1）因为，所以，即.
因为，且向量与的夹角为，
所以，即.
（2）由（1）可得

.
本题主要考查平面向量的数量积，熟记模的计算公式，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.
21、（Ⅰ）见解析；
（Ⅱ）见解析；
（Ⅲ）见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；
(Ⅱ)由几何体的空间结构特征首先证得线面垂直，然后利用面面垂直的判断定理可得面面垂直；
(Ⅲ)由题意，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可找到满足题意的点.
【详解】
（Ⅰ）证明：因为平面,所以；
因为底面是菱形，所以;
因为,平面,
所以平面.
（Ⅱ）证明：因为底面是菱形且，所以为正三角形，所以,
因为,所以；
因为平面，平面,
所以；
因为
所以平面，
平面,所以平面平面.
（Ⅲ）存在点为中点时，满足平面；理由如下:

分别取的中点，连接,
在三角形中，且；
在菱形中，为中点，所以且，所以且，即四边形为平行四边形，所以;
又平面，平面，所以平面.
本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.