2025年湖南省衡阳市樟树中学数学高一下期末调研模拟试题含解析.doc

2025年湖南省衡阳市樟树中学数学高一下期末调研模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（）
A． B． C． D．
2．将函数图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位得到数学函数的图像，在图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ）
A． B． C． D．
3．已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．设是公比为的无穷等比数列，若的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列是（　　）
A．公比为的等比数列
B．公比为的等比数列
C．公比为或的等比数列
D．公比为或的等比数列
5．在平行四边形中，,,则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的部分图象如图所示，则 （ ）

A． B．
C． D．
7．设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．在等差数列中，为其前n项和，若，则（ ）
A．60 B．75 C．90 D．105
9．若正项数列的前项和为，满足，则（ ）
A． B． C． D．
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则在方向上的投影为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知的三边分别是，且面积，则角__________.
12．设变量x、y满足约束条件，则目标函数的最大值为_______.
13．设，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中正确的是______．
(1)若，，，则；
(2)若，，，则；
(3)若，，，，则；
(4)若，，,则．
14．方程在区间内解的个数是________
15．某班级有50名学生，现用系统抽样的方法从这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为号，并按编号顺序平均分成10组（号，号，…，号），若在第三组抽到的编号是13，则在第七组抽到的编号是______．
16．已知为第二象限角，且，则_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式；
（2）数列满足，（），求数列的通项公式.
18．已知函数f(x)＝x2＋(x－1)|x－a|.
(1)若a＝－1，解方程f(x)＝1；
(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；
(3)是否存在实数a，使不等式f(x)≥2x－3对任意x∈R恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
19．甲乙两地生产某种产品，他们可以调出的数量分别为300吨、750吨.A，B，C三地需要该产品数量分别为200吨，450吨，400吨，甲地运往A，B，C三地的费用分别为6元/吨、3元/吨，5元/吨，乙地运往A，B，C三地的费用分别为5元/吨，9元/吨，6元/吨，问怎样调运，才能使总运费最小？
20．半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示．
根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；
用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学数学成绩均在中的概率．

21．已知函数.
（1）当时，判断并证明函数的奇偶性；
（2）当时，判断并证明函数在上的单调性.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
通过成等比数列，可以列出一个等式，根据等差数列的性质，可以把该等式变成关于的方程，解这个方程即可.
【详解】
因为成等比数列，所以有，又因为是公差为2的等差数列，所以有，故本题选B.
本题考查了等比中项的性质，考查了等差数列的性质，考查了数学运算能力.
2、A
【解析】
分析：根据平移变换可得，根据放缩变换可得函数的解析式，结合对称轴方程求解即可.
详解：将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，
纵坐标不变，得到，
再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，
即，
由，
得，
当时，离原点最近的对称轴方程为，故选A.
点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.
3、A
【解析】
本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.
【详解】
，则
易于理解集补集的概念、交集概念有误.
4、B
【解析】
根据题意可得，带入等比数列前和即可解决。
【详解】
根据题意，若的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，
则，
又由是公比为的无穷等比数列，则，变形可得，则，
数列为的奇数项组成的数列，则数列为公比为的等比数列；
故选：B．
本题主要考查了利用等比数列前项和计算公比，属于基础题。
5、A
【解析】
先求,再求,即可求D坐标
【详解】
，∴，则D(6,1)
故选A
本题考查向量的坐标运算，熟记运算法则，准确计算是关键，是基础题
6、D
【解析】
由函数的最值求出A,由周期求出,由五点法作图求出的值,从而得出结论.
【详解】
根据函数的图象求出函数的周期,然后可以求出,通过函数经过的最大值点求出值,即可得到函数的解析式.
由函数的图象可知:,
.
当,函数取得最大值1,所以,
，

故选D.
7、A
【解析】
∵
∴−=3(−)；
∴=−.
故选A.
8、B
【解析】
由条件，利用等差数列下标和性质可得，进而得到结果.
【详解】
，即，而，故选B.
本题考查等差数列的性质，考查运算能力与推理能力，属于中档题.
9、A
【解析】
利用，化简，即可得到，
令，所以，,令，所以原式为数列的前1000项和，求和即可得到答案。
【详解】
当时，解得，由于为正项数列，故，由，所以，
由 ，可得①，所以②
②—①可得，化简可得
由于，所以，即，故为首项为1，公差为2的等差数列，则，
令，所以，
令
所以原式

故答案选A
本题主要考查数列通项公式与前项和的关系，以及利用裂项求数列的和，解题的关键是利用，求出数列的通项公式，有一定的综合性。
10、A
【解析】
根据正弦定理，将已知条件进行转化化简，结合两角和差的正弦公式可求，根据在方向上的投影为，代入数值，即可求解．
【详解】
因为，所以 ，
即， 即，
因为，所以，所以 ，
所以在方向上的投影为：．
故选：A．
本题主要考查正弦定理和平面向量投影的应用，根据正弦定理结合两角和差的正弦公式是解决本题的关键，属于中档题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
试题分析：由，可得，整理得，即，所以.
考点：余弦定理；三角形的面积公式.
12、3
【解析】
可通过限定条件作出对应的平面区域图，再根据目标函数特点进行求值
【详解】
可行域如图所示;

则可化为,由图象可知,当过点时，有最大值，则其最大值为:
故答案为:3.
线性规划问题关键是能正确画出可行域，目标函数可由几何意义确定具体含义（最值或斜率）
13、 (1)
【解析】
利用线线平行的传递性、线面垂直的判定定理判定．
【详解】
(1) ， ，，则，正确
(2)若，，，则，错误
(3)若，则不成立，错误
(4)若，，,则，错误
本题主要考查线面垂直的判定定理判定，考查了空间想象能力，属于中档题.
14、4.
【解析】
分析：通过二倍角公式化简得到，进而推断或，进而求得结果.
详解：，所以或，
因为，所以或或或，
故解的个数是4.
点睛：该题考查的是有关方程解的个数问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正弦的倍角公式，方程的求解问题，注意一定不要两边除以，最后求得结果.
15、33
【解析】
试题分析：因为是从50名学生中抽出10名学生，组距是5，
∵第三组抽取的是13号，
∴第七组抽取的为．
考点：系统抽样
16、.
【解析】
先由求出的值，再利用同角三角函数的基本关系式求出、即可.
【详解】
因为为第二象限角，且，所以，解得，再由及为第二象限角可得、，此时.
故答案为：.
本题主要考查两角差的正切公式及同角三角函数的基本关系式的应用，属常规考题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用求出数列的通项公式；
（2）利用累加法求数列的通项公式；
【详解】
解：（1）①
当时，即
当时，②
①减②得
经检验时，成立
故
（2）（）

……

将上述式相加可得

本题考查作差法求数列的通项公式以及累加法求数列的通项公式，属于基础题.
18、（1）{x|x≤－1或x＝1}；（2）；（3）．
【解析】
试题分析：（1）把代入函数解析式，分段后分段求解方程的解集，取并集后得答案；（2）分段写出函数的解析式，由在上单调递增，则需第一段二次函数的对称轴小于等于，第二段一次函数的一次项系数大于0，且第二段函数的最大值小于等于第一段函数的最小值，联立不等式组后求解的取值范围；（3）把不等式对一切实数恒成立转化为函数对一切实数恒成立，然后对进行分类讨论，利用函数单调性求得的范围，取并集后得答案.
试题解析：(1)当时，，则；当时，由，得，解得或；当时，恒成立，∴方程的解集为或．
(2)由题意知，若在R上单调递增，则解得，∴实数的取值范围为.
(3)设，则，不等式对任意恒成立，等价于不等式对任意恒成立．
①若，则，即，取，此时，∴，即对任意的，总能找到，使得，∴不存在，使得恒成立．
②若，则，∴的值域为，∴恒成立③若，当时，单调递减，其值域为，由于，所以恒成立，当时，由，知，在处取得最小值，令，得，又，∴，综上，．
19、甲到B调运300吨，从乙到A调运200吨，从乙到B调运150吨，从乙到C调运400吨，总运费最小
【解析】
设从甲到A调运吨，从甲到B调运吨，则由题设可得 ，总的费用为，利用线性规划可求目标函数的最小值.
【详解】
设从甲到A调运吨，从甲到B调运吨，从甲到C调运吨，则从乙到A调运吨，从乙到B调运吨，从乙到C调运吨，
设调运的总费用为元，则

.
由已知得约束条件为，可行域如图所示，

平移直线可得最优解为.
甲到B调运300吨，从乙到A调运200吨，从乙到B调运150吨，从乙到C调运400吨，总运费最小.
本题考查线性规划在实际问题中的应用，属于基础题.
20、（1）（2）
【解析】
⑴用频率分布直方图中的每一组数据的平均数乘以对应的概率并求和即可得出结果；
⑵首先可通过分层抽样确定6人中在分数段以及分数段中的人数，然后分别写出所有的基本事件以及满足题意中“两名同学数学成绩均在中”的基本事件，最后两者相除，即可得出结果．
【详解】
⑴由频率分布表，估计这50名同学的数学平均成绩为：
；
⑵由频率分布直方图可知分数低于115分的同学有人，
则用分层抽样抽取6人中，分数在有1人，用a表示，
分数在中的有5人，用、、、、表示，
则基本事件有、、、、、、、、
、、、、、、，共15个，
满足条件的基本事件为、、、、、、、、、，共10个，
所以这两名同学分数均在中的概率为．
本题考查了频率分布直方图以及古典概型的相关性质，解决本题的关键是对频率分布直方图的理解以及对古典概型概率的计算公式的使用，考查推理能力，是简单题．
21、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）将代入函数的解析式，利用函数的奇偶性定义来证明出函数的奇偶性；
（2）将函数的解析式化为，然后利用函数单调性的定义证明出函数在上的单调性.
【详解】
（1）当时，，函数为上的奇函数.
证明如下：，其定义域为，
则，故函数为奇函数；
（2）当时，函数在上单调递减.
证明如下：，任取，
则，
又由，则，则有，即.
因此，函数为上的减函数．
本题考查函数单调性与奇偶性的判定与证明，在利用定义证明函数的单调性与奇偶性时，要熟悉定义法证明函数奇偶性与单调性的基本步骤，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.