2025届江西省南昌市三校联考高一数学第二学期期末复习检测试题含解析.doc

2025届江西省南昌市三校联考高一数学第二学期期末复习检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图所示，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高度是60m，则河流的宽度等于（ ）

A．m B．m C．m D．m
2．集合，，则=( )
A． B． C． D．
3．如图是棱长为的正方体的平面展开图，则在这个正方体中直线所成角的大小为（ ）

A． B． C． D．
4．在中，，，，则的面积是（ ）．
A． B． C．或 D．或
5．若向量 ，，则（ ）
A． B． C． D．
6．设为锐角三角形，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值是（　　）
A．10 B．8 C．4 D．2
7．如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为，落在正方形内的豆子数为，则圆周率的估算值是（ ）

A． B． C． D．
8．设函数的图象分别向左平移m(m>0)个单位，向右平移n(n>0>个单位，所得到的两个图象都与函数的图象重合的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知正实数满足，则的最小值（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
10．已知是圆的一条弦，，则( )
A． B． C． D．与圆的半径有关
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知直线与圆交于两点，若，则____.
12．点到直线的距离为________.
13．己知数列满足就：，，若，写出所有可能的取值为______.
14．已知是定义在上的奇函数，对任意实数满足，，则________.
15．已知数列的首项，其前项和为，且，若单调递增，则的取值范围是__________．
16．若点在幂函数的图像上，则函数的反函数=________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）求函数在上的单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.求证：存在无穷多个互不相同的整数，使得.
18．已知向量，.
（1）当为何值时，与垂直？
（2）若，，且三点共线，求的值.
19．已知，，，．
（1）求的最小值
（2）证明：．
20．已知数列，，满足，，，.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）设，求数列，的前n项和.
21．某生产厂家生产一种产品的固定成本为4万元，并且每生产1百台产品需增加投入0.8万元.已知销售收入（万元）满足（其中是该产品的月产量，单位：百台），假定生产的产品都能卖掉，请完成下列问题：
（1）将利润表示为月产量的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
在直角三角形中，利用锐角三角函数求出的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数求出的长，最后利用进行求解即可.
【详解】
在直角三角形中，.
在直角三角形中，
.
所以有.
故选：A

本题考查了锐角三角函数的应用，考查了数学运算能力.
2、C
【解析】
根据交集定义直接求解可得结果.
【详解】
根据交集定义知：
故选：
本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.
3、C
【解析】
根据异面直线所成的角的定义，先作其中一条的平行线，作出异面直线所成的角，然后求解.
【详解】
如图所示：

在正方体中，，
所以直线所成角，
由正方体的性质，知，
所以.
故选：C
本题主要考查了异面直线所成的角，还考查了推理论证的能力，属于基础题.
4、C
【解析】
，
∴，或．
（）当时，．
∴．
（）当时，．
∴．
故选．
5、B
【解析】
根据向量的坐标运算，先由，求得，再求的坐标．
【详解】
因为，
所以，
所以．
故选：B
本题主要考查了向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
6、B
【解析】
令，得直线在x、y轴上的截距，求得三角形面积并利用二倍角公式化简，根据三角函数图象和性质求得面积最小值即可.
【详解】
令得直线在y轴上的截距为，
令得直线在x轴上的截距为，
其围成的三角形面积：
，
求S的最小值转化为求函数的最小值，
因为为锐角，所以，
当时取最小值−1，
则，故围成三角形面积最小值为8.
故选：B.
本题考查直线方程与三角函数二倍角公式的应用，综合题性较强，属于中等题.
7、B
【解析】
试题分析：设正方形的边长为.则圆的半径为，根据几何概型的概率公式可以得到，即，故选B.
考点：几何概型.
【方法点睛】本题題主要考查“体积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与体积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总体积（总空间) 以及事件的体积(事件空间)；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.
8、C
【解析】
求出函数的图象分别向左平移个单位，向右平移个单位后的函数解析式，再根据其图象与函数的图象重合，可分别得关于，的方程，解之即可．
【详解】
解：将函数的图象向左平移个单位，得函数，
其图象与的图象重合，
，，，故，，，
当时，取得最小值为．
将函数的图象向右平移个单位，得到函数，
其图象与的图象重合，
，，，
故，，当时，取得最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
本题主要考查诱导公式，函数的图象变换规律，属于基础题．
9、B
【解析】

，
当且仅当，即，时的最小值为3.
故选B.
点睛：本题主要考查基本不等式.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
10、C
【解析】
由数量积的几何意义，利用外心的几何特征计算即可得解.
【详解】
是圆的一条弦,易知在方向上的投影恰好为，
所以=||||==2.故选C.
本题考查了数量积的运算，利用定义求解要确定模长及夹角，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据点到直线距离公式与圆的垂径定理求解.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离： ，
由得，
解得.
本题考查直线与圆的应用.此题也可联立圆与直线方程，消元后用弦长公式求解.
12、3
【解析】
根据点到直线的距离公式，代值求解即可.
【详解】
根据点到直线的距离公式，
点到直线的距离为.
故答案为：3.
本题考查点到直线的距离公式，属基础题.
13、
【解析】
（1）若为偶数，则为偶, 故
①当仍为偶数时，故
②当为奇数时，
故得m=4。
（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数
，所以=1可得m=5
14、
【解析】
由奇函数的性质得出，由题中等式可推出函数是以为周期的周期函数，再利用周期性和奇偶性求出的值.
【详解】
函数是定义在上的奇函数，则，
且对任意实数满足，，
所以，函数是以为周期的周期函数，
，，
因此，，故答案为：.
本题考查抽象函数求值，利用题中条件推导出函数的周期是解题的关键，在计算时充分利用函数的周期性将自变的值的绝对值变小，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.
15、
【解析】
由可得：
两式相减得：

两式相减可得：
数列，，...是以为公差的等差数列，数列，，...是以为公差的等差数列
将代入及可得：
将代入可得

要使得，恒成立
只需要即可

解得
则的取值范围是
点睛：本题考查了数列的递推关系求通项，在含有的条件中，利用来求通项，本题利用减法运算求出数列隔一项为等差数列，结合和数列为增数列求出结果，本题需要利用条件递推，有一点难度．
16、
【解析】
根据函数经过点求出幂函数的解析式，利用反函数的求法，即可求解．
【详解】
因为点在幂函数的图象上，所以，解得，
所以幂函数的解析式为，
则，所以原函数的反函数为．
故答案为：
本题主要考查了幂函数的解析式的求法，以及反函数的求法，其中熟记反函数的求法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）单调递增区间为；（2）见解析.
【解析】
（1）利用二倍角的降幂公式以及辅助角公式可将函数的解析式化简为，然后求出函数在上的单调递增区间，与定义域取交集可得出答案；
（2）利用三角函数图象变换得出，解出不等式的解集，可得知对中的任意一个，每个区间内至少有一个整数使得，从而得出结论.
【详解】
（1）.
令，解得，
所以，函数在上的单调递增区间为，
，因此，函数在上的单调递增区间为；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
由，
对于中的任意一个，区间长度始终为，大于，
每个区间至少含有一个整数，
因此，存在无穷多个互不相同的整数，使得.
本题考查正弦型三角函数单调区间的求解，同时也考查了利用三角函数图象变换求函数解析式，以及三角不等式整数解的个数问题，考查运算求解能力，属于中等题.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用坐标运算表示出与；根据向量垂直可知数量积为零，从而构造方程求得结果；（2）利用坐标运算表示出，根据三点共线可知，根据向量共线的坐标表示可构造方程求得结果.
【详解】
（1），
与垂直
，解得：
（2）三点共线
，
，解得：
本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量平行和垂直的坐标表示；关键是能够明确两向量垂直则数量积等于零，能够利用平行关系表示三点共线.
19、（1）1（2）见解析
【解析】
（1）根据基本不等式即可求出，（2）利用x2+y2+z2（x2+y2+z2+x2+y2+y2+z2+x2+z2），再根据基本不等式即可证明
【详解】
（1）因为，，
所以,即，
当且仅当时等号成立，此时取得最小值1．
（2）

．当且仅当时等号成立，
本题考查了基本不等式求最值和不等式的证明，属于中档题．
20、（1）（2）
【解析】
（1）由数列的递推公式得到和的关系式，进而推导出满足的关系式，进而求得数列的通项公式；
（2）的通项公式是由等差数列的项乘以等比数列的项，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前n项和.
【详解】
（1）由题意，知，则，即，
又由，所以，所以，所以，
，，
，
.
（2）由（1）知：，
，
，
两式相减得：
.
本题主要考查数列的递推公式的应用、以及“错位相减法”求和，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.
21、（1）；（2）当月产量为8百台时，公司所获利润最大，最大利润为万元.
【解析】
(1) 由题可得成本函数G（x）＝4+,通过f（x）＝R（x）-G（x）得到解析式；
(2) 当x＞10时，当0≤x≤10时，分别求解函数的最大值即可．
【详解】
（1）由条件知成本函数G（x）＝4+
可得

（2）当时，，
当时，的最大值为万元；
当时，万元，
综上所述，当月产量为8百台时，公司所获利润最大，最大利润为万元.
本题考查实际问题的应用，分段函数的应用，函数的最大值的求法，考查转化思想以及计算能力．