山西省2024-2025学年高一数学第二学期期末统考模拟试题含解析.doc

山西省2024-2025学年高一数学第二学期期末统考模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个结论：
①，，，则；②若，，，则；
③若，，，则；④若，，，则.
其中正确结论的序号是
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
2．圆被轴所截得的弦长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
3．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则与平面所成的角为（ ）

A． B． C． D．
4．已知，，且，则向量在向量上的投影等于（ ）
A．-4 B．4 C． D．
5．已知是不共线的非零向量，，，，则四边形是 （ ）
A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形
6．两个正实数满足，则满足，恒成立的取值范围（ ）
A． B． C． D．
7．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）

A． B． C．3 D．2
8．在中，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
9．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知等差数列的前项和为，首项，若，则当取最大值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．一组样本数据8，10，18，12的方差为___________.
12．等比数列{an}中，a1＜0，{an}是递增数列，则满足条件的q的取值范围是______________．
13．在直角梯形.中，，分别为的中点，以为圆心，为半径的圆交于，点在上运动（如图）.若，其中，则的最大值是________.

14．已知等差数列中，，，则该等差数列的公差的值是______.
15．已知函数，若对任意都有（）成立，则的最小值为__________．
16． 两等差数列{an}和{bn}前n项和分别为Sn，Tn，且，则=__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在平面直角坐标系中，直线截以原点为圆心的圆所得的弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆切于第一象限，且与坐标轴交于点，当长最小时，求直线的方程；
（3）设是圆上任意两点，点关于轴的对称点，若直线分别交轴于点和，问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
18．李克强总理在2018年政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力.某手机生产企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌.为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：
单价（千元）

销量（百件）

已知.
（1）若变量具有线性相关关系，求产品销量（百件）关于试销单价（千元）的线性回归方程；
（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与对应的产品销量的估计值.
（参考公式：线性回归方程中的估计值分别为）
19．如图已知平面，，，，，，点，分别为，的中点.

(1)求证：//平面;
(2)求直线与平面所成角的大小.
20．如图，直三棱柱中，点是棱的中点，点在棱上，已知，，

（1）若点在棱上，且，求证：平面平面；
（2）棱上是否存在一点，使得平面证 明你的结论。
21．已知函数.
（1）判断函数奇偶性；
（2）讨论函数的单调性；
（3）比较与的大小.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
利用面面垂直的判定定理判断①；根据面面平行的判定定理判断②；利用线面垂直和线面平行的性质判断③；利用线面垂直和面面平行的性质判断④
【详解】
①，，或，又，则成立，故正确
②若，，或和相交，并不一定平行于，故错误
③若，，则或，若，则并不一定平行于，故错误
④若，，，又，成立，故正确
综上所述，正确的命题的序号是①④
故选
本题主要考查了命题的真假判断和应用，解题的关键是理解线面，面面平行与垂直的判断定理和性质定理，属于基础题．
2、C
【解析】
先计算圆心到轴的距离，再利用勾股定理得到弦长.
【详解】
，圆心为
圆心到轴的距离
弦长
故答案选C
本题考查了圆的弦长公式，意在考查学生的计算能力.
3、A
【解析】
取的中点，连接、，作，垂足为点，证明平面，
于是得出直线与平面所成的角为，然后利用锐角三角函数可求出．
【详解】
如下图所示，取的中点，连接、，作，垂足为点，

是边长为的等边三角形，点为的中点，则，且，
在三棱柱中，平面，平面，，
，平面，平面，，
，，平面，
所以，直线与平面所成的角为，易知，
在中，，，，，
，即直线与平面所成的角为，故选A．
本题考查直线与平面所成角的计算，求解时遵循“一作、二证、三计算”的原则，一作的是过点作面的垂线，有时也可以通过等体积法计算出点到平面的距离，利用该距离与线段长度的比值作为直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力与推理能力，属于中等题．
4、A
【解析】
根据公式，向量在向量上的投影等于，计算求得结果.
【详解】
向量在向量上的投影等于.
故选A.
本题考查了向量的投影公式，只需记住公式代入即可，属于基础题型.
5、A
【解析】
本题首先可以根据向量的运算得出，然后根据以及向量平行的相关性质即可得出四边形的形状．
【详解】
因为，所以，
因为，是不共线的非零向量，所以且，
所以四边形是梯形，故选A．
本题考查根据向量的相关性质来判断四边形的形状，考查向量的运算以及向量平行的相关性质，如果一组对边平行且不相等，那么四边形是梯形；如果对边平行且相等，那么四边形是平行四边形；相邻两边长度相等的平行四边形是菱形；相邻两边垂直的平行四边形是矩形，是简单题．
6、B
【解析】
由基本不等式和“1”的代换，可得的最小值，再由不等式恒成立思想可得小于等于的最小值，解不等式即得m的范围。
【详解】
由，，可得，当且仅当上式取得等号，若恒成立，则有，解得.
故选：B
本题考查利用基本不等式求恒成立问题中的参数取值范围，是常考题型。
7、A
【解析】
由圆柱的侧面展开图是矩形，利用勾股定理求解．
【详解】
圆柱的侧面展开图如图，
圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，
则在此圆柱侧面上从到的最短路径为线段，
.
故选：A．

本题考查圆柱侧面展开图中的最短距离问题，是基础题．
8、B
【解析】
将,分别代入中,整理可得,即可得到,进而得到结论
【详解】
由题可得,即
在中,,
,
即

又,

是直角三角形,
故选B
本题考查三角形形状的判定,考查和角公式,考查已知三角函数值求角
9、C
【解析】
试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以
，故C为正确答案．
考点：异面直线所成的角．
10、B
【解析】
设等差数列的公差为，，由，可得，令求出正整数的最大值，即可得出取得最大值时对应的的值.
【详解】
设等差数列的公差为，由，得，可得，
令，，可得，解得.
因此，最大.
故选:B.
本题考查等差数列前项和的最值，一般利用二次函数的基本性质求解，也可由数列项的符号求出正整数的最大值来求解，考查计算能力，属于中等题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、14
【解析】
直接利用平均数和方差的公式，即可得到本题答案.
【详解】
平均数，
方差.
故答案为：14
本题主要考查平均数公式与方差公式的应用.
12、
【解析】
试题分析：由题意可得，∴，解得 0＜q＜1
考点：等比数列的性质
13、
【解析】
建立直角坐标系，设，根据，表示出，结合三角函数相关知识即可求得最大值.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系：

，分别为的中点，，
以为圆心，为半径的圆交于，点在上运动，
设，
，
即，
，所以，两式相加：，
即，
要取得最大值，即当时，

故答案为：
此题考查平面向量线性运算，处理平面几何相关问题，涉及三角换元，转化为求解三角函数的最值问题.
14、
【解析】
根据等差数列的通项公式即可求解
【详解】

故答案为：
本题考查等差通项基本量的求解，属于基础题
15、
【解析】
根据和的取值特点，判断出两个值都是最值，然后根据图象去确定最小值.
【详解】
因为对任意成立，所以取最小值，取最大值；
取最小值时，与必为同一周期内的最小值和最大值的对应的，则，且，故.
任何一个函数，若有对任何定义域成立，此时必有：，.
16、
【解析】
数列{an}和{bn}为等差数列，所以.
点睛：等差数列的常考性质：{an}是等差数列，若m+n=p+q,则.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（1）；（3）定值为.
【解析】
试题分析：（1）求出点到直线的距离，进而可求圆的半径，即可得到圆的方程；（1）设直线的方程，利用直线与圆相切，及基本不等式，可求长最小时，直线的方程；（3）设，则，求出直线，分别与轴交点，进而可求的值．
试题解析：（1）因为点到直线的距离为，所以圆的半径为，故圆的方程为．
（1）设直线的方程为，即，由直线与圆相切，得，即，，当且仅当时取等号，此时直线的方程为，所以当长最小进，直线的方程为．
（3）设点，则，
直线与轴交点为，则，
直线与轴交点为，则，
所以，故为定值1．
考点：1.直线和圆的方程的应用；1.直线与圆相交的性质．
18、（1）（2），，，，，
【解析】
（1）先计算，将数据代入公式得到，，线性回归方程为
（2）利用（1）中所求的线性回归方程，代入数据分别计算得到答案.
【详解】
（1）由，可求得，
故，，，，
代入可得，
，
所以所求的线性回归方程为．
（2）利用（1）中所求的线性回归方程可得，当时，；当 时，；当时，；当时，；当时，；当时，．
本题考查了线性回归方程的计算，求估计值，意在考查学生的计算能力和对于回归方程公式的理解应用.
19、 (1)见证明；(2)
【解析】
（1）要证线面平行即证线线平行，本题连接A1B,
（2）取中点,连接证明平面，再求出，得到
．
【详解】
（1）如图，连接，在中，因为和分别是和的中点，
所以．又因为平面，所以平面；

取中点和中点，连接，，．
因为和分别为和，所以，，
故且，所以，且．
又因为平面，所以平面，
从而为直线与平面所成的角．
在中，可得，所以．
因为，，所以，，，
所以，，又由，有．
在中，可得
；
在中，，因此．
所以直线与平面所成角为．
求线面角一般有两个方法：
几何法做出线上一点到平面的高，求出高；或利用等体积法求高
向量法．
20、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）通过证明，进而证明平面再证明平面平面；（2）取棱的中点，连接交于，结合三角形重心的性质证明，从而证明平面.
【详解】
（1）在直三棱柱中，由于平面，平面，
所以平面平面．（或者得出 ）
由于，是中点，所以．平面平面，
平面 ，所以平面．而平面，于是．
因为，，所以，所以．
与相交，所以平面,平面
所以平面平面
（2） 为棱的中点时，使得平面 ，
证明：连接交于，连接．
因为，为中线，所以为的重心，．从而．
面，平面，所以平面

本题考查面面垂直的证明和线面平行的证明. 面面垂直的证明要转化为证明线面垂直，线面平行的证明要转化为证明线线 平行.
21、（1）是偶函数（2）见解析（3）
【解析】
（1）由奇偶函数的定义判断；
（2）由单调性的定义证明；
（3）由于函数为偶函数，因此只要比较与的大小，因此先确定与的大小，这就得到分类标准．
【详解】
（1）是偶函数
（2）当时，是增函数；当时，是减函数；先证明当时，是增函数
证明：任取，且，则

，且，
，即：当时，是增函数
∵是偶函数，∴当时，是减函数.
（3）要比较与的大小，∵是偶函数，∴只要比较与大小即可.
当时，即时，∵当时，是增函数，
∴
当时，即当时，∵当时，是增函数，
∴
本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶性与单调性的定义是解题基础．