2024-2025学年重庆西南大学附属中学高一数学第二学期期末联考模拟试题含解析.doc

2024-2025学年重庆西南大学附属中学高一数学第二学期期末联考模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是(　　)
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
2．在天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水的概率为”，这是指（ ）
A．明天该地区有的地方降水，有的地方不降水
B．明天该地区有的时间降水，其他时间不降水
C．明天该地区降水的可能性为
D．气象台的专家中有的人认为会降水，另外有的专家认为不降水
3．若，，且，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
4．若一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为，目标未受损的概率为，则目标受损但未被击毁的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．设点是棱长为的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是()
A． B． C． D．
6．如图所示，已知以正方体所有面的中心为顶点的多面体的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
7．若直线与平行，则实数的值为（ ）
A．或 B． C． D．
8．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
9．已知两点，若点是圆上的动点，则面积的最大值为（ ）
A．13 B．3 C． D．
10．如图，长方体中，，，那么异面直线与所成角的余弦值是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．某银行一年期定期储蓄年利率为2.25%，如果存款到期不取出继续留存于银行，银行自
动将本金及80%的利息（利息须交纳20%利息税，由银行代交）自动转存一年期定期储蓄，
某人以一年期定期储蓄存入银行20万元，则5年后，这笔钱款交纳利息税后的本利和为
________元.（精确到1元）
12．在中，角、、所对的边为、、，若，，，则角________．
13．对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是____．
14．设等差数列的前项和为，若，，则的最小值为______．
15．根据党中央关于“精准脱贫”的要求，石嘴山市农业经济部门派3位专家对大武口、惠农2个区进行调研，每个区至少派1位专家，则甲，乙两位专家派遣至惠农区的概率为_____．
16．正项等比数列中，，，则公比__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.
18．已知函数.
（1）若函数的周期，且满足，求及的递增区间；
（2）若，在上的最小值为，求的最小值.
19．若向量=（1，1），=（2，5）， =（3，x）.
（1）若，求x的值；
（2）若，求x的值.
20．已知内角的对边分别是，若，，.
（1）求；
（2）求的面积.
21．已知公差不为的等差数列满足．若，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据不能同时发生的两个事件，叫互斥事件，依次判断．
【详解】
根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B、C、D中两事件能同时发生，故不是互斥事件；
故选A．
本题考查了互斥事件的定义．是基础题．
2、C
【解析】
预报“明天降水的概率为”，属于随机事件，可能下雨，也可能不下雨，即可得到答案.
【详解】
由题意，天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水的概率为”，
这是指明天下雨的可能性是，故选C.
本题主要考查了随机事件的概念及其概率，其中正确理解随机事件的概率的概念是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
3、B
【解析】
根据相互垂直的向量数量积为零，求出与的夹角.
【详解】
由题有，
即，
故，
因为，所以.
故选：B.
本题考查了向量的数量积运算，向量夹角的求解，属于基础题.
4、D
【解析】
由已知条件利用对立事件概率计算公式直接求解．
【详解】
由于一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为，目标未受损的概率为；
所以目标受损的概率为：；
目标受损分为击毁和未被击毁，它们是对立事件；
所以目标受损的概率目标受损被击毁的概率目标受损未被击毁的概率；
故目标受损但未被击毁的概率目标受损的概率目标受损被击毁的概率，即目标受损但未被击毁的概率；
故答案选D
本题考查概率的求法，注意对立事件概率计算公式的合理运用，属于基础题．
5、B
【解析】
以为原点，为轴为轴 为轴，建立空间直角坐标系，计算三个平面的法向量，根据夹角相等得到关系式：，再利用点到直线的距离公式得到答案.
【详解】
`以为原点，为轴为轴 为轴，建立空间直角坐标系.
则
易知：平面的法向量为
平面的法向量为
设平面的法向量为：
则，取

平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等
或
看作平面的两条平行直线，到的距离.
根据点到直线的距离公式得，点到点的最短距离都是：
故答案为B
本题考查了空间直角坐标系，二面角，最短距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
6、A
【解析】
设正方体的棱长为，则中间四棱锥的底面边长为，由已知多面体的体积求解，得到正方体外接球的半径，则外接球的表面积可求．
【详解】
设正方体的棱长为，则中间四棱锥的底面边长为，
多面体的体积为，即．
正方体的对角线长为．
则正方体的外接球的半径为．
表面积为．
故选：．
本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是基础题．
7、B
【解析】
利用直线与直线平行的性质求解．
【详解】
∵直线与平行，

解得a＝2或a＝﹣2．
∵当a＝﹣2时，两直线重合，
∴a＝2．
故选B．
本题考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要注意两直线的位置关系的合理运用．
8、D
【解析】
试题分析：将函数的图象向右平移,
可得，故选D．
考点：图象的平移．
9、C
【解析】
先求出直线方程，然后计算出圆心到直线的距离，根据面积的最大时，以及高最大的条件，可得结果.
【详解】
由，利用直线的截距式
所以直线方程为：
即
由圆，即
所以圆心为，半径为
则圆心到直线的距离为
要使面积的最大，则圆上的点到
最大距离为
所以面积的最大值为

故选：C
本题考查圆与直线的几何关系以及点到直线的距离，属基础题.
10、A
【解析】
可证得四边形为平行四边形，得到，将所求的异面直线所成角转化为；假设，根据角度关系可求得的三边长，利用余弦定理可求得余弦值.
【详解】
连接，

四边形为平行四边形
异面直线与所成角即为与所成角，即
设
， ，
，，
在中，由余弦定理得：

异面直线与所成角的余弦值为：
本题正确选项：
本题考查异面直线所成角的求解问题，关键是能够通过平行关系将问题转化为相交直线所成角，在三角形中利用余弦定理求得余弦值.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、218660
【解析】
20万存款满一年到期后利息有，本息和共，再过一年本息和， 经过5年共有本息元，计算即可求出结果.
【详解】
20万存款满一年到期后利息有，本息和共，再过一年本息和， 经过5年共有本息元,
元.
故填218660.
本题主要考查了银行存款的复利问题，由固定公式可用，本息和=本金利率，利率是一年年利率，是存款年数，代入公式计算即可求出本息和，属于中档题.
12、.
【解析】
利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围得出角的值.
【详解】
由余弦定理得，
，，故答案为.
本题考查余弦定理的应用和反三角函数，解题时要充分结合元素类型选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.
13、
【解析】
分别在和两种情况下进行讨论，当时，根据二次函数图像可得不等式组，从而求得结果.
【详解】
①当，即时，不等式为：，恒成立，则满足题意
②当，即时，不等式恒成立则需：
解得：
综上所述：
本题正确结果：
本题考查不等式恒成立问题的求解，易错点是忽略不等式是否为一元二次不等式，造成丢根；处理一元二次不等式恒成立问题的关键是结合二次函数图象来得到不等关系，属于常考题型.
14、
【解析】
用基本量法求出数列的通项公式，由通项公式可得取最小值时的值，从而得的最小值．
【详解】
设数列公差为，则由已知得，解得，
∴，，，又，、
∴的最小值为．
故答案为：．．
本题考查等差数列的前项和的最值．首项为负且递增的等差数列，满足的最大的使得最小，首项为正且递减的等差数列，满足的最大的使得最大，当然也可把表示为的二次函数，由二次函数知识求得最值．
15、
【解析】
将所有的基本事件全部列举出来，确定基本事件的总数，并确定所求事件所包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求出答案．
【详解】
所有的基本事件有：（甲、乙丙）、（乙，甲丙）、（丙、甲乙）、（甲乙、丙）、（甲丙、乙）、（乙丙、甲）（其中前面的表示派往大武口区调研的专家），共个，
因此，所求的事件的概率为，故答案为．
本题考查古典概型概率的计算，解决这类问题的关键在于确定基本事件的数目，一般利用枚举法和数状图法来列举，遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于基础题．
16、
【解析】
根据题意，由等比数列的性质可得，进而分析可得答案.
【详解】
根据题意，等比数列中，，则，
又由数列是正项的等比数列，所以.
本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，以及注意数列是正项等比数列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）见解析；
（Ⅱ）见解析；
（Ⅲ）见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；
(Ⅱ)由几何体的空间结构特征首先证得线面垂直，然后利用面面垂直的判断定理可得面面垂直；
(Ⅲ)由题意，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可找到满足题意的点.
【详解】
（Ⅰ）证明：因为平面,所以；
因为底面是菱形，所以;
因为,平面,
所以平面.
（Ⅱ）证明：因为底面是菱形且，所以为正三角形，所以,
因为,所以；
因为平面，平面,
所以；
因为
所以平面，
平面,所以平面平面.
（Ⅲ）存在点为中点时，满足平面；理由如下:

分别取的中点，连接,
在三角形中，且；
在菱形中，为中点，所以且，所以且，即四边形为平行四边形，所以;
又平面，平面，所以平面.
本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18、（1），；（2）2.
【解析】
（1）由函数的性质知，关于直线对称，又函数的周期，两个条件两个未知数，列两个方程，所以可以求出，进而得到的解析式，求出的递增区间；
（2）求出的所有解，再解不等式，即可求出的最小值．
【详解】
（1），由知，∴对称轴
∴，又，
,
由，得，
函数递增区间为；
（2）由于，在上的最小值为，
所以，即，
所以，所以.
本题主要考查三角函数解析式、单调区间以及最值的求法，特别注意用代入法求单调区间时，要考虑复合函数的单调性，以免求错．
19、（1）.
（2）1.
【解析】
（1）利用向量平行的代数形式得到x的值；（2）由数量积的坐标形式得到x的方程，解之即可.
【详解】
（1）∵∥，∴2x﹣15=0，解得x=．
（2）8﹣=（6，3），∵（8﹣）•=30，∴18+3x=30，解得x=1．
平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.
20、（1）；
（2）.
【解析】
（1）在中，由正弦定理得，再由余弦定理，列出方程，即可求解得值；
（2）由（1）求得，利用三角形的面积公式，即可求解三角形的面积．
【详解】
（1）在中，，，，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
解得或不合题意，舍去，
（2）由（1）知，所以，
所以的面积为．
本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据对比中项的性质即可得出一个式子，再带入等差数列的通项公式即可求出公差．
（2）根据（1）的结果，利用分组求和即可解决．
【详解】
（1）因为成等比数列，所以，
所以，即，
因为，所以，
所以；
（2）因为，
所以，
，
.
本题主要考查了等差数列通项式，以及等差中项的性质．数列的前的求法，求数列前项和常用的方法有错位相减、分组求和、裂项相消．