安徽合肥寿春中学2025年数学高一第二学期期末达标检测试题含解析.doc

安徽合肥寿春中学2025年数学高一第二学期期末达标检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若偶函数在上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．不能确定
2．石臼是人类以各种石材制造的，用以砸、捣、研磨药材、食品等的生产工具，是由长方体挖去半球所得几何体，若某石臼的三视图如图所示（单位：dm），则其表面积（单位：dm2）为（　 　）

A．132+8π B．168+4π C．132+12π D．168+16π
3．若，且，则xy的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知等差数列中，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．我国古代数学名著《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”（注：“均输”即按比例分配，此处是指五人所得成等差数列；“钱”是古代的一种计量单位），则分得最少的一个得到( )
A．钱 B．钱 C．钱 D．1钱
6．将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是( )

A．甲队平均得分高于乙队的平均得分中乙
B．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数
C．甲队得分的方差大于乙队得分的方差
D．甲乙两队得分的极差相等
7．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法错误的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．数列是公差为2的等差数列
8．在等差数列中，已知，，则等于（ ）
A．50 B．52 C．54 D．56
9．如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．3
10．化简的结果是( )
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若过点作圆的切线，则直线的方程为_______________.
12．若八个学生参加合唱比赛的得分为87，88，90，91，92，93，93，94，则这组数据的方差是______
13．已知数列的前4项依次为，，，，试写出数列的一个通项公式______.
14．设，，则______．
15．在等差数列中，，，则公差______.
16．把函数的图象向左平移个单位长度，所得图象正好关于原点对称，则的最小值为________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数的图象与轴正半轴的交点为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令（为正整数），问是否存在非零整数，使得对任意正整数，都有？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
18．如图所示，在平面直角坐标系中，角和的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点、两点，点的纵坐标为.

（Ⅰ)求的值；
（Ⅱ)若，求的值.
19．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．
20．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，.
（1）求：
（2）求的面积.
21．的内角，，的对边分别为，，，设.
（1）求；
（2）若，求.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
根据偶函数性质与幂函数性质可得．
【详解】
偶函数在上是增函数，则它在上是减函数，所以．
故选：B．
本题考查幂函数的性质，考查偶函数性质，属于基础题．
2、B
【解析】
利用三视图的直观图，画出几何体的直观图，然后求解表面积即可．
【详解】
几何体的直观图如图：
几何体的表面积为：6×6×2+4×6×4﹣4π+2π×22＝168+4π．
故选：B．

【点评】
本题考查三视图及求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．
3、D
【解析】
利用基本不等式可直接求得结果.
【详解】
（当且仅当时取等号） 的最大值为
故选：
本题考查利用基本不等式求解积的最大值的问题，属于基础题.
4、A
【解析】
根据已知先求出数列的首项，公差d已知，可得。
【详解】
由题得，，解得，则.
故选：A
本题考查用数列的通项公式求某一项，是基础题。
5、B
【解析】
设所成等差数列的首项为，公差为，利用等差数列前项和公式及通项公式列出方程组，求出首项和公差，进而得出答案．
【详解】
由题意五人所分钱成等差数列，设得钱最多的为，则公差.
所以，则.
又，即
则，
分得最少的一个得到.
故选：B
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6、C
【解析】
由茎叶图分别计算甲、乙的平均数，中位数，方差及极差可得答案．
【详解】
29；30，∴∴A错误；
甲的中位数是29，乙的中位数是30，29<30,∴B错误；
甲的极差为31﹣26＝5，乙的极差为32﹣28＝4，5∴D错误；
排除可得C选项正确，
故选C．
本题考查了由茎叶图求数据的平均数，极差，中位数，运用了选择题的做法即排除法的解题技巧，属于基础题.
7、D
【解析】
由等比数列的公比为整数，得到，再由等比数列的性质得出，可求出、的值，于此得出和的值，进而可对四个选项进行验证.
【详解】
由等比数列的公比为整数，得到，
由等比数列的性质得出，解得，即，解得，
，则，数列是等比数列.
，，
所以，数列是以为公差的等差数列，A、B、C选项正确，D选项错误，
故选：D.
本题考查等比数列基本性质的应用，考查等比数列求和以及等比数列的定义，充分利用等比数列下标相关的性质，将项的积进行转化，能起到简化计算的作用，考查计算能力，属于中等题。
8、C
【解析】
利用等差数列通项公式求得基本量，根据等差数列性质可得，代入求得结果.
【详解】
设等差数列公差为
则，解得：

本题正确选项：
本题考查等差数列基本量的求解问题，关键是能够根据等差数列通项公式构造方程求得公差，属于基础题.
9、A
【解析】
首先根据三视图画出几何体的直观图，进一步利用几何体的体积公式求出结果．
【详解】
解：根据几何体得三视图转换为几何体为：

故：V．
故选：A．
本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
10、D
【解析】
确定角的象限，结合三角恒等式，然后确定的符号，即可得到正确选项．
【详解】
因为为第二象限角，
所以，故选D.
本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式，象限三角函数的符号，考查计算能力，常考题型．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、或
【解析】
讨论斜率不存在时是否有切线，当斜率存在时，运用点到直线距离等于半径求出斜率
【详解】
圆即
①当斜率不存在时，为圆的切线
②当斜率存在时，设切线方程为
即
，
解得
此时切线方程为，即
综上所述，则直线的方程为或
本题主要考查了过圆外一点求切线方程，在求解过程中先讨论斜率不存在的情况，然后讨论斜率存在的情况，利用点到直线距离公式求出结果，较为基础。
12、1.1
【解析】
先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．
【详解】
八个学生参加合唱比赛的得分为87，88，90，91，92，93，93，94，
则这组数据的平均数为：（87+88+90+91+92+93+93+94）＝91，
∴这组数据的方差为：S2[（87﹣91）2+（88﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2+（92﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（94﹣91）2]＝1.1．
故答案为1.1．
本题考查方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题．
13、
【解析】
首先写出分子的通项公式，再写出分母的通项公式，合并即可.
【详解】
，，，，的通项公式为，
，，，，的通项公式为，
正负交替的通项公式为，
所以数列的通项公式.
故答案为：
本题主要考查根据数列中的项求出通项公式，找到数列中每一项的规律为解题的关键，属于简单题.
14、
【解析】
由，根据两角差的正切公式可解得．
【详解】
，故答案为
本题主要考查了两角差的正切公式的应用，属于基础知识的考查．
15、3
【解析】
根据等差数列公差性质列式得结果.
【详解】
因为，，所以.
本题考查等差数列公差，考查基本分析求解能力，属基础题.
16、
【解析】
根据条件先求出平移后的函数表达式为，令即可得解.
【详解】
由题意可得平移后的函数表达式为，
图象正好关于原点对称，
即，
又 ，的最小值为.
故答案为：.
本题考查了函数图像的平移以及三角函数的图像与性质，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）存在，.
【解析】
（1）把点A带入即可
（2）根据（1）的计算出、，再解不等式即可
【详解】
（1）设，得，．
所以 ；
（2），若存在，满足恒成立
即：，
恒成立
当为奇数时，
当为偶数时，
所以，
故： .
本题考查了数列通项的求法，以及不等式恒成立的问题，不等式恒成立是一个难点，也是高考中的常考点，本题属于较难的题。
18、（Ⅰ)；（Ⅱ)
【解析】
（Ⅰ）由题意知的值，可求得和的值，即得所求式子的值；（Ⅱ）由题意知的值，由的值求得的值．
【详解】
（Ⅰ)由题意可得，，
∴
（Ⅱ)因为即，
∵，∴，∴
∴

本题考查了平面向量的数量积计算问题，也考查了三角函数求值问题，是中档题
19、（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 .
【解析】
分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.
【详解】
详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，
所以.
（Ⅱ）由角的终边过点得，
由得.
由得，
所以或.
点睛：三角函数求值的两种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
20、（1）；（2）
【解析】
（1）由已知可先求，然后结合正弦定理可求的值；
（2）利用两角和的正弦函数公式可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】
（1），，，
，由正弦定理，可得：.
（2），
．
本题考查正弦定理，三角形的面积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
21、 (1) (2)
【解析】
（1）由正弦定理得，再利用余弦定理的到.
（2）将代入等式，化简得到答案.
【详解】
解：（1）由
结合正弦定理得；
∴
又，∴.
（2）由,∴
∴,
∴∴
又∴
解得：，.
本题考查了正弦定理，余弦定理，和差公式，意在考查学生的计算能力.