2025年江苏无锡市锡山中学高一数学第二学期期末调研试题含解析.doc

2025年江苏无锡市锡山中学高一数学第二学期期末调研试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图所示：在正方体中，设直线与平面所成角为，二面角的大小为，则为（ ）

A． B． C． D．
2．无穷数列1,3,6,10，…的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
3．若, ,则的终边所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（ ）
A． B． C． D．
5．若函数，则（ ）
A．9 B．1 C． D．0
6．已知等差数列中，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．设，则下列不等式恒成立的是
A． B．
C． D．
8．．若且，直线不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限，
9．从某健康体检中心抽取了8名成人的身高数据（单位：厘米），数据分别为172，170，172，166，168，168，172，175，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．171 172 B．170 172 C．168 172 D．170 175
10．已知a,,若关于x的不等式的解集为,则( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数的最小正周期为，且的图象过点，则方程所有解的和为________.
12．方程的解集为________.
13．记等差数列的前项和为，若，则________．
14．函数的定义域是________
15．在中，角、、所对应边分别为、、，，的平分线交于点，且，则的最小值为______
16．若当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_____.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知点，圆.
（1）求过点且与圆相切的直线方程；
（2）若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求实数的值.
18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面⊥底面，若分别为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面⊥平面．
19．某质检机构检测某产品的质量是否合格，在甲、乙两厂匀速运行的自动包装传送带上每隔10分钟抽一包产品，称其质量（单位：克），分别记录抽查数据，获得质量数据茎叶图（如图）.

（1）该质检机构采用了哪种抽样方法抽取的产品？根据样本数据，求甲、乙两厂产品质量的平均数和中位数；
（2）若从甲厂6件样品中随机抽取两件.
①列举出所有可能的抽取结果；
②记它们的质量分别是克，克，求的概率.
20．如图,在直三棱柱中,,二面角为直角,为的中点.

(1)求证:平面平面;
(2)求直线与平面所成的角.
21．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝3，Sn＝1Sn﹣1+n（n≥1）
（1）求出a1，a3的值，并证明：数列{an+1}为等比数列；
（1）设bn＝log1（a3n+1），数列{}的前n项和为Tn，求证：1≤18Tn＜1．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
连结BC1，交B1C于O，连结A1O，则∠BA1O是直线A1B与平面A1DCB1所成角θ1，由BC⊥DC，B1C⊥DC，知∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2，由此能求出结果．
【详解】
连结BC1，交B1C于O，连结A1O，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1⊥B1C，BC1⊥DC，
∴BO⊥平面A1DCB1，∴∠BA1O是直线A1B与平面A1DCB1所成角θ1，
∵BO＝A1B，∴θ1＝30°；∵BC⊥DC，B1C⊥DC，∴∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2，
∵BB1＝BC，且BB1⊥BC，∴θ2＝45°．
故选A．

本题考查线面角、二面角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．
2、C
【解析】
试题分析：由累加法得:,分别相加得,
,故选C.
考点：数列的通项公式.
3、B
【解析】由一全正二正弦三正切四余弦可得的终边所在的象限为第二象限，故选B.
考点：三角函数
4、D
【解析】
由弧长公式求出圆半径，再在直角三角形中求解．
【详解】
，如图，设是中点，则，，，∴．
故选D．

本题考查扇形弧长公式，在求弦长时，常在直角三角形中求解．
5、B
【解析】
根据的解析式即可求出，进而求出的值．
【详解】
∵，∴，
故，故选B.
本题主要考查分段函数的概念，以及已知函数求值的方法，属于基础题.
6、A
【解析】
根据已知先求出数列的首项，公差d已知，可得。
【详解】
由题得，，解得，则.
故选：A
本题考查用数列的通项公式求某一项，是基础题。
7、C
【解析】
利用不等式的性质，合理推理，即可求解，得到答案.
【详解】
因为，所以，所以A项不正确；
因为，所以，，则，所以B不正确；
因为，则，所以，
又因为，则，所以等号不成立，所以C正确；
由，所以，所以D错误.
本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中熟记不等式的性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8、D
【解析】
因为且，所以，，
又直线可化为，
斜率为，在轴截距为，
因此直线过一二三象限，不过第四象限.
故选：D.
9、A
【解析】
由中位数和众数的定义，即可得到本题答案.
【详解】
把这组数据从小到大排列为166，168，168，170，172，172，172，175，则中位数为，众数为172.
故选：A
本题主要考查中位数和众数的求法.
10、D
【解析】
由不等式的解集为R，得的图象要开口向上，且判别式，即可得到本题答案.
【详解】
由不等式的解集为R，得函数的图象要满足开口向上，且与x轴至多有一个交点，即判别式.
故选：D
本题主要考查一元二次不等式恒成立问题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由周期求出，由图象的所过点的坐标求得，
【详解】
由题意，又，且，∴，，
由得
或，又，，
∴或，或，两根之和为．
故答案为：．
本题考查求三角函数的解析式，考查解三角方程．掌握正切函数的性质是解题关键．
12、
【解析】
由诱导公式可得，由余弦函数的周期性可得：.
【详解】
因为方程，由诱导公式得，
所以，
故答案为．
本题考查解三角函数的方程，余弦函数的周期性和诱导公式的应用，属于基础题．
13、10
【解析】
由等差数列求和的性质可得，求得，再利用性质可得结果.
【详解】
因为，所以，所以，故
故答案为10
本题考查了等差数列的性质，熟悉其性质是解题的关键，属于基础题.
14、
【解析】
根据的值域为求解即可.
【详解】
由题.故定义域为.
故答案为：
本题主要考查了反三角函数的定义域,属于基础题型.
15、18
【解析】
根据三角形面积公式找到的关系，结合基本不等式即可求得最小值.
【详解】
根据题意，，
因为的平分线交于点，且，
所以

而
所以，化简得
则
当且仅当，即，时取等号，即最小值为.
故答案为：
本题考查三角形面积公式和基本不等式，考查计算能力，属于中等题型
16、
【解析】
用换元法把不等式转化为二次不等式．然后用分离参数法转化为求函数最值．
【详解】
设，是增函数，当时，，
不等式化为，即，
不等式在上恒成立，
时，显然成立，
，对上恒成立，
由对勾函数性质知在是减函数，时，，
∴，即．
综上，．
故答案为：．
本题考查不等式恒成立问题，解题方法是转化与化归，首先用换元法化指数型不等式为一元二次不等式，再用分离参数法转化为求函数最值．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或；（2）.
【解析】
（1）考虑切线的斜率是否存在，结合直线与圆相切的的条件d=r，直接求解圆的切线方程即可．
（2）利用圆的圆心距、半径及半弦长的关系，列出方程，求解a即可．
【详解】
（1）由圆的方程得到圆心，半径.
当直线斜率不存在时，直线与圆显然相切；
当直线斜率存在时，设所求直线方程为，即，
由题意得：，解得，
∴ 方程为，即.
故过点且与圆相切的直线方程为或.
（2）∵ 弦长为，半径为2.
圆心到直线的距离，
∴，
解得.
本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查切线方程的求法，考查了垂径定理的应用，考查计算能力．
18、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（Ⅰ）利用线面平行的判定定理，只需证明EF∥PA，即可；（Ⅱ）先证明线面垂直，CD⊥平面PAD，再证明面面垂直，平面PAD⊥平面PDC 即可．
【详解】

（Ⅰ）证明：连结AC，在正方形ABCD中，F为BD中点，正方形对角线互相平分，
∴F为AC中点，
又E是PC中点，
在△CPA中，EF∥PA，且PA⊆平面PAD，
EF⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（Ⅱ）∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
平面 ∴CD⊥平面PAD，
∵CD⊂平面PDC，
∴平面PAD⊥平面PDC
本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理，以及平面与平面垂直的判定定理，要求熟练掌握相关的判定定理．
19、（1）系统抽样；乙厂产品质量的平均数，乙厂质量的中位数是113；甲厂质量的平均数，甲厂质量的中位数是113（2）①详见解析②
【解析】
（1）根据抽样方式即可确定抽样方法；根据茎叶图中的数据，即可分别求得两组的平均数与中位数；
（2）由甲厂的样品数据，即可由列举法得所有可能；根据列举的数据，即可得满足的情况，即可求得复合要求的概率.
【详解】
（1）由题意该质检机构抽取产品采用的抽样方法为系统抽样，
甲厂质量的平均数，
甲厂质量的中位数是113，
乙厂产品质量的平均数，
乙厂质量的中位数是113.
（2）①从甲厂6件样品中随机抽取两件，分别为：
，
，
，共15个.
②设“”为事件，则事件共有5个结果：
.
所以的概率.
本题考查了茎叶图的简单应用，由茎叶图求平均值与中位数，列举法求古典概型概率的应用，属于基础题.
20、 (1)证明见详解；(2).
【解析】
（1）先证明平面，再推出面面垂直；
（2）由（1）可知即为所求，在三角形中求角即可.
【详解】
（1）证明：因为，所以；
又为的中点，所以.
在直三棱柱中，平面.
又因为平面中，所以，
因为，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）由（1）知为在平面内的射影，
所以为直线与平面所成的角，
设，则，
在中，，
在中，，
又，得，
因此直线与平面所成的角为.
本题第一问考查由线面垂直证明面面垂直，第二问考查线面角的求解，属综合基础题.
21、（1）见解析；（1）见解析
【解析】
（1）可令求得的值；再由数列的递推式，作差可得，可得数列为首项为1，公比为1的等比数列；
（1）由（1）求得，，再由数列的裂项相消求和，可得，再由不等式的性质即可得证．
【详解】
（1）当时，，即，∴，
当时，，即，
∴，
∵，∴，
，
∴ ，
∴，
又∵，，∴，∴，
∴数列是首项为，公比为1的等比数列.
（1）由（1）可知，所以，所以，
，
，
,所以,所以,即．
本题主要考查了数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．