2025年河北张家口市数学高一第二学期期末复习检测试题含解析.doc

2025年河北张家口市数学高一第二学期期末复习检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1． “”是“函数的图像关于直线对称”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分又非必要
2．某大学数学系共有本科生1 000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ）
A．80 B．40 C．60 D．20
3．设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是
A．
B．
C．
D．
4．已知过原点的直线与圆C：相交于不同的两点，且线段的中点坐标为，则弦长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．若α∥β,mα,nβ，则m∥n B．若α⊥β，mα,则m⊥β
C．若α⊥β,mα,nβ,则m⊥n D．若α∥β，mα，则m∥β
6．在中，内角所对的边分别是．已知，，，则
A． B． C． D．
7．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知且为常数,圆,过圆内一点的直线与圆相交于两点,当弦最短时,直线的方程为,则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．设点是函数图象上的任意一点，点满足，则的最小值为（）
A． B． C． D．
10．在中，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，，，，点在线段上，若，则的面积是_____．
12．的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.
13．函数的定义域为_____________．
14．向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则以向量为邻边的平行四边形的面积是_________.

15．已知直线l在y轴上的截距为1，且垂直于直线，则的方程是____________.
16．求374与238的最大公约数结果用5进制表示为_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．记数列的前项和为，已知点在函数的图像上.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
18．泉州与福州两地相距约200千米，一辆货车从泉州匀速行驶到福州，规定速度不得超过千米/时，已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度千米/时的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为64元.
（1）把全程运输成本元表示为速度千米/时的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？
19．已知向量．
(1)求与的夹角的余弦值；
(2)若向量与垂直，求的值．
20．已知数列为等差数列，，，数列为等比数列，，公比．
（1）求数列、的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
21．在△ABC中，D为BC边上一点， ，设，.
（1）试、用表示；
（2）若，，且与的夹角为60°，求及的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据充分必要条件的判定，即可得出结果.
【详解】
当时，是函数的对称轴，所以“”是“函数的图像关于直线对称”的充分条件，
当函数的图像关于直线对称时，,推不出，
所以“”是“函数的图像关于直线对称”的不必要条件，
综上选.
本题主要考查了充分条件、必要条件，余弦函数的对称轴，属于中档题.
2、B
【解析】
试题分析：方法一:由条件可知三年级的同学的人数为,所以应抽人数为,方法二:由条件可知样本中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1,因此应抽取三年级的学生人数为,答案选B.
考点：分层抽样
3、B
【解析】
根据对数运算的规律一一进行运算可得答案.
【详解】
解：由a, b,c≠1. 考察对数2个公式: ，,
对选项A: ,显然与第二个公式不符，所以为假.
对选项B: ,显然与第二个公式一致，所以为真.
对选项C: ,显然与第一个公式不符，所以为假.
对选项D: ,同样与第一个公式不符，所以为假.
所以选B.
本题主要考查对数运算的性质，熟练掌握对数运算的各公式是解题的关键.
4、A
【解析】
根据两直线垂直，斜率相乘等于-1，求得直线的斜率为，进而求出圆心到直线的距离，再代入弦长公式求得弦长值.
【详解】
圆的标准方程为：，设圆心，
，，
，，
直线的方程为：，
到直线的距离，
.
求直线与圆相交的弦长问题，核心是利用点到直线的距离公式，求圆心到直线的距离.
5、D
【解析】
在中，与平行或异面；在中，与相交、平行或；在中，与相交、平行或异面；在中，由线面平行的性质定理得．
【详解】
由，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，知：
在中，若，，，则与平行或异面，故错误；
在中，若，，则与相交、平行或，故错误；
在中，若，，，则与相交、平行或异面，故错误；
在中，若，，则由线面平行的性质定理得，故正确．
故选．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
6、B
【解析】
由已知三边，利用余弦定理可得，结合，为锐角，可得，利用三角形内角和定理即可求的值．
【详解】
在中，，，，
由余弦定理可得：，
，故为锐角，可得，
，故选．
本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．
7、B
【解析】
先由角的终边过点，求出，再由二倍角公式，即可得出结果.
【详解】
因为角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，
所以，
因此.
故选B
本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.
8、B
【解析】
由圆的方程求出圆心坐标与半径，结合题意，可得过圆心与点（1，2）的直线与直线2x﹣y＝0垂直，再由斜率的关系列式求解．
【详解】
圆C：化简为
圆心坐标为，半径为．
如图，

由题意可得，当弦最短时，过圆心与点（1，2）的直线与直线垂直．
则，即a＝1．
故选：B．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.
9、B
【解析】
函数表示圆位于x轴下面的部分．利用点到直线的距离公式，求出最小值．
【详解】
函数化简得．圆心坐标,半径为2.
所以
本题考查点到直线的距离公式，属于基础题．
10、B
【解析】
将,分别代入中,整理可得,即可得到,进而得到结论
【详解】
由题可得,即
在中,,
,
即

又,

是直角三角形,
故选B
本题考查三角形形状的判定,考查和角公式,考查已知三角函数值求角

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
过作于，设，运用勾股定理和三角形的面积公式，计算可得所求值．
【详解】
过作于，设，
，
，，
又，可得，
即有，
可得的面积为．
故答案为．

本题考查解三角形，考查勾股定理的运用，以及三角形的面积公式，考查化简运算能力，属于基础题．
12、
【解析】
本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．
【详解】
由余弦定理得，
所以，
即
解得（舍去）
所以，

本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．
13、
【解析】
函数的定义域为
故答案为
14、3
【解析】
将向量平移至相同的起点，写出向量对应的坐标，计算向量的夹角，从而求得面积.
【详解】
根据题意，将两个向量平移至相同的起点，以起点为原点建立坐标系如下所示：

则，
故.
又两向量的夹角为锐角，
故，
则该平行四边形的面积为.
故答案为：3.
本题考查用向量解决几何问题的能力，涉及向量坐标的求解，夹角的求解，属基础题.
15、；
【解析】
试题分析：设垂直于直线的直线为，因为直线在轴上的截距为，所以，所以直线的方程是.
考点：两直线的垂直关系.
16、
【解析】
根据最大公约数的公式可求得两个数的最大公约数，再由除取余法即可将进制进行转换.
【详解】
374与238的最大公约数求法如下：
，
，
，
，
所以两个数的最大公约数为34.
由除取余法可得：

所以将34化为5进制后为，
故答案为：.
本题考查了最大公约数的求法，除取余法进行进制转化的应用，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
(1)本题首先可根据点在函数的图像上得出，然后根据与的关系即可求得数列的通项公式；
(2)首先可根据数列的通项公式得出，然后根据裂项相消法求和即可得出结果。
【详解】
(1)由题意知.
当时，；
当时，，适合上式.
所以.
(2).
则。
本题考查根据数列的前项和为求数列的通项公式，考查裂项相消法求和，与满足以及，考查计算能力，是中档题。
18、（1）,；（2），货车应以千米/时速度行驶，货车应以千米/时速度行驶
【解析】
（1）先计算出从泉州匀速行驶到福州所用时间，然后乘以每小时的运输成本（可变部分加固定部分），由此求得全程运输成本，并根据速度限制求得定义域.
（2）由，，对进行分类讨论.当时，利用基本不等式求得行驶速度.当时，根据的单调性求得行驶速度.
【详解】
（1）依题意一辆货车从泉州匀速行驶到福州所用时间为小时，
全程运输成本为，
所求函数定义域为；
（2）当时，
故有，
当且仅当，即时，等号成立.
当时，
易证在上单调递减
故当千米/时，全程运输成本最小.
综上，为了使全程运输成本最小，，货车应以千米/时速度行驶，
货车应以千米/时速度行驶.
本小题主要考查函数模型在实际生活中的应用，考查基本不等式求最小值，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
19、（1）；（2）
【解析】
（1）分别求出，，，再代入公式求余弦值；
（2）由向量互相垂直，得到数量积为0，从而构造出关于的方程，再求的值.
【详解】
(1) ，，，
∴.
(2) ．

若，
则，
解得.
本题考查向量数量积公式的应用及两向量垂直求参数的值，考查基本的运算求解能力.
20、（1），．（2）
【解析】
（1）先求出等差数列的首项和公差，求出等比数列的首项即得数列、的通项公式；（2）利用分组求和求数列的前n项和．
【详解】
（1）由题得.
由题得.
（2）由题得，
所以数列的前n项和.
本题主要考查等差等比数列的通项的基本量的计算，考查数列通项的求法和求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21、（1）
（2），
【解析】
（1）用表示，再用，表示即可；
（2）由向量数量积运算及模的运算即可得解.
【详解】
解：（1）因为，所以，
又，，
所以；
（2），，且与的夹角为60°，
所以，
则，
，
故.
本题考查了向量的减法运算，重点考查了向量数量积运算及模的运算，属基础题.