2024-2025学年上海市五爱中学数学高一第二学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2024-2025学年上海市五爱中学数学高一第二学期期末学业质量监测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．化为弧度是
A． B． C． D．
2．在平行四边形中，，若点满足且，则

A．10 B．25 C．12 D．15
3．若，且为第四象限角，则的值等于
A． B． C． D．
4．圆与圆的位置关系为( )
A．相交 B．相离 C．相切 D．内含
5．已知关于的不等式的解集为，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
6．直线在轴上的截距为（ ）
A．2 B．﹣3 C．﹣2 D．3
7．函数的单调增区间是( )
A． B．
C． D．
8．已知a，b，c满足，那么下列选项一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知是等差数列，其中，，则公差 ( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图，在B处观测到一货船在北偏西方向上距离B点1千米的A处，码头C位于B的正东千米处，该货船先由A朝着C码头C匀速行驶了5分钟到达C，又沿着与AC垂直的方向以同样的速度匀速行驶5分钟后到达点D，此时该货船到点B的距离是________千米.

12．已知为直线，为平面，下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的序号是______．
13．下图中的几何体是由两个有共同底面的圆锥组成．已知两个圆锥的顶点分别为P、Q，高分别为2、1，底面半径为1．A为底面圆周上的定点，B为底面圆周上的动点（不与A重合）．下列四个结论：

①三棱锥体积的最大值为；
②直线PB与平面PAQ所成角的最大值为；
③当直线BQ与AP所成角最小时，其正弦值为；
④直线BQ与AP所成角的最大值为；
其中正确的结论有___________.（写出所有正确结论的编号）
14．已知数列的通项公式为是数列的前n项和，则______.
15．在三棱锥中，已知，，则三棱锥内切球的表面积为______.
16．已知向量，，则的最大值为_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，.
（1）求函数在上的单调递增区间；
（2）在中，内角、、所对边的长分别是，若，，，求的面积的值.
18．是亚太区域国家与地区加强多边经济联系、交流与合作的重要组织，其宗旨和目标是“相互依存、共同利益，坚持开放性多边贸易体制和减少区域间贸易壁垒.”2017年会议于11月10日至11日在越南岘港举行.某研究机构为了了解各年龄层对会议的关注程度，随机选取了100名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分组区间分别为，，，，）.

（1）求选取的市民年龄在内的人数；
（2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人参与会议的宣传活动，求参与宣传活动的市民中至少有一人的年龄在内的概率.
19．已知函数.
（I）当时，求不等式的解集；
（II）若关于的不等式有且仅有一个整数解，求正实数的取值范围.
20．已知．
（1）化简；
（2）若是第二象限角，且，求的值．
21．足球，有“世界第一运动的美誉，是全球体育界最具影响力的单项体育运动之一．足球传球是足球运动技术之一，是比赛中组织进攻、组织战术配合和进行射门的主要手段．足球截球也是足球运动技术的一种，是将对方控制或传出的球占为己有，或破坏对方对球的控制的技术，是比赛中由守转攻的主要手段．这两种运动技术都需要球运动员的正确判断和选择．现有甲、乙两队进行足球友谊赛，A、B两名运动员是甲队队员，C是乙队队员，B在A的正西方向，A和B相距20m，C在A的正北方向，A和C相距14m．现A沿北偏西60°方向水平传球，球速为10m/s，同时B沿北偏西30°方向以10m/s的速度前往接球，C同时也以10m/s的速度前去截球．假设球与B、C都在同一平面运动，且均保持匀速直线运动．

（1）若C沿南偏西60°方向前去截球，试判断B能否接到球？请说明理由．
（2）若C改变（1）的方向前去截球，试判断C能否球成功？请说明理由．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
由于，则.
【详解】
因为，所以，故选D.
本题考查角度制与弧度制的互化.
2、C
【解析】
先由题意，用，表示出，再由题中条件，根据向量数量积的运算，即可求出结果.
【详解】
因为点满足，
所以，
则

故选C.
本题主要考查向量数量积的运算，熟记平面向量基本定理以及数量积的运算法则即可，属于常考题型.
3、D
【解析】
试题分析：∵为第四象限角，，∴，
．故选D．
考点：同角间的三角函数关系．
【点评】同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．
4、B
【解析】
首先把两个圆的一般方程转化为标准方程，求出其圆心坐标和半径，再比较圆心距与半径的关系即可.
【详解】
有题知：圆，
即：，圆心，半径.
圆，
即：，圆心，半径.

所以两个圆的位置关系是相离.
故选：B
本题主要考查圆与圆的位置关系，比较圆心距和半径的关系是解决本题的关键，属于简单题.
5、D
【解析】
将原不等式化简后，根据不等式的解集列方程组，求得的值，进而求得的值.
【详解】
由得，依题意上述不等式的解集为，故，解得（舍去），故.
故选:D.
本小题主要考查类似：已知一元二次不等式解集求参数，考查函数与方程的思想，属于基础题.
6、B
【解析】
令,求出值则是截距。
【详解】
直线方程化为斜截式为：
，时，，
所以，在轴上的截距为－3。
轴上的截距：即令,求出值；同理轴上的截距：即令,求出值
7、D
【解析】
化简函数可得y＝2sin（2x），把“2x”作为一个整体，再根据正弦函数的单调增区间，求出x的范围，即是所求函数的增区间．
【详解】
，
由2kπ≤2x2kπ得，kπx≤kπ （k∈z），
∴函数的单调增区间是[kπ，kπ]（k∈z），
故选D．
本题考查了正弦函数的单调性应用，一般的做法是利用整体思想，根据正弦函数（余弦函数）的性质进行求解．
8、D
【解析】
c＜b＜a，且ac＜1，可得c＜1且a>1．利用不等式的基本性质即可得出．
【详解】
∵c＜b＜a，且ac＜1，
∴c＜1且a>1，b与1的大小关系不定．
∴满足bc＞ac，ac＜ab，
故选D．
本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9、B
【解析】
已知集合A,B，取交集即可得到答案.
【详解】
集合，集合，
则
故选B
本题考查集合的交集运算，属于简单题.
10、D
【解析】
根据等差数列通项公式即可构造方程求得结果.
【详解】

故选：
本题考查等差数列基本量的计算，关键是熟练应用等差数列通项公式，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、3
【解析】
先在中，由余弦定理算出和，然后在中由余弦定理即可求出.
【详解】
由题意可得，在中，
所以由余弦定理得：
即，所以
因为
所以
所以
所以在中有：

即
故答案为：3
本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，是基本知识的考查．
12、③④
【解析】
①和②均可以找到不符合题意的位置关系，则①和②错误；根据线面垂直性质定理和空间中的平行垂直关系可知③和④正确.
【详解】
若，此时或，①错误；
若，此时或异面，②错误；
由线面垂直的性质定理可知，若，则，③正确；
两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线必垂直于该平面，可知④正确
本题正确结果：③④
本题考查空间中的平行与垂直关系相关命题的判断，考查学生对于平行与垂直的判定和性质的掌握情况.
13、①③
【解析】
由①可知只需求点A到面的最大值
对于②，求直线PB与平面PAQ所成角的最大值，可转化为到轴截面距离的最大值问题进行求解
对于③④，可采用建系法进行分析
【详解】
选项①

如图所示，当时，四棱锥体积最大，
选项②中，线PB与平面PAQ所成角最大值的正弦值为，所以
选项③和④，如图所示：

以垂直于方向为x轴，方向为y轴，方向为z轴，其中设,.,
设直线BQ与AP所成角为，，当时，取到最大值，，此时，
由于，，，所以取不到
答案选①、③
几何体的旋转问题需要结合动态图形和立体几何基本知识进行求解，需找临界点是正确解题的关键，遇到难以把握的最值问题，可采用建系法进行求解.
14、
【解析】
对数列的通项公式进行整理，再求其前项和，利用对数运算规则，可得到，从而求出，得到答案.
【详解】

所以

所以.
故答案为：.
本题考查对数运算公式，由数列的通项求前项和，数列的极限，属于中档题.
15、
【解析】
先计算出三棱锥的体积，利用等体积法求出三棱锥的内切球的半径，再求出内切球的表面积。
【详解】
取CD中点为E，并连接AE、BE
在中，由等腰三角形的性质可得,同理
则在中点A到边BE的距离即为点A到平面BCD的距离h,
在中，

本题综合考查了三棱锥的体积、三棱锥内切圆的求法、球的表面积，属于中档题.
16、.
【解析】
计算出，利用辅助角公式进行化简，并求出的最大值，可得出的最大值.
【详解】
，，，
所以，，
当且仅当，即当，等号成立，
因此，的最大值为，故答案为.
本题考查平面向量模的最值的计算，涉及平面向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换思想的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2）.
【解析】
（1）首先把化成的型式，再根据三角函的单调性即可解决
（2）根据（1）结果把代入可得A的大小，从而计算出B的大小，根据正弦定理以及面积公式即可解决。
【详解】
（1）因为

，
由，，
得，，
又，所以或，
所以函数在上的递增区间为：，；
（2）因为，∴，∴，
∴，，∴，，
∵，∴．∴，
在三角形中由正弦定理得，∴，
.
本题主要考查了三角函数问题以及解三角形问题。三角函数问题常考周期、单调性最值等，在解三角形中长考的有正弦定理、余弦定理以及面积公式。
18、（1）30人；（2）.
【解析】
（1）由频率分布直方图，先求出年龄在内的频率，进而可求出人数；
（2）先由分层抽样，确定应从第3，4组中分别抽取3人，2人，记第3组的3名志愿者分别为，第4组的2名志愿者分别为，再用列举法，分别列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件个数比即为所求概率.
【详解】
（1）由题意可知，年龄在内的频率为，
故年龄在内的市民人数为.
（2）易知，第4组的人数为，故第3，4组共有50名市民，
所以用分层抽样的方法在50名志愿者中抽取5名志愿者，
每组抽取的人数分别为：第3组；第4组.
所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人.
记第3组的3名志愿者分别为，第4组的2名志愿者分别为，则从5名志愿者中选取2名志愿者的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种.
其中第4组的2名志愿者至少有一名志愿者被选中的有：，，，，，，，共有7种，
所以至少有一人的年龄在内的概率为.
本题主要考查由频率分布直方图求频数，以及古典概型的概率问题，会分析频率分布直方图，熟记古典概型的概率计算公式即可，属于常考题型.
19、（I）；（II），或
【解析】
（I）直接解不等式得解集；（II）对a分类讨论解不等式分析找到a满足的不等式，解不等式即得解.
【详解】
（I）当时，不等式为，
不等式的解集为，
所以不等式的解集为；
（II）原不等式可化为，
①当，即时，原不等式的解集为，不满足题意；
②当，即时，，此时，所以；
③当，即时，，所以只需，解得；
综上所述，，或.
本题主要考查一元二次不等式的解法和解集，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20、（1）（2）
【解析】
（1）利用三角函数的诱导公式即可求解.
（2）利用诱导公式可得，再利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
（1）由题意得．
（2）∵，∴．
又为第二象限角，
∴，∴．
本题考查了三角函数的诱导公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题.
21、（1）能接到；（2）不能接到
【解析】
（1）在中由条件可得，，进一步可得为等边三角形，然后计算运动到点所需时间即可判断；
（2）建立平面直角坐标系，作于，求出直线的方程，然后计算到直线的距离即可判断．
【详解】
（1）如图所示，在中，，，
, ,，
由题意可知，如果不运动，经过，可以接到球，
在上取点，使得,,
为等边三角形，,，队员运动到点要，此时球运动了.
所以能接到球．

（2）建立如图所示的平面直角坐标系，作于，
所以直线的方程为：，经过，运动了．
点到直线的距离，
所以以为圆心，半径长为的圆与直线相离．
故改变（1）的方向前去截球，不能截到球．

本题主要考查了三角形的实际应用，以及点到直线的距离的应用，考查了推理与运算能力，属中档题．