2025年山东省济南市长清区数学高一下期末监测试题含解析.doc

2025年山东省济南市长清区数学高一下期末监测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．两数1，25的等差中项为（ ）
A．1 B．13 C．5 D．
3．下列函数中最小值为4的是( )
A． B．
C． D．
4．如图所示四棱锥的底面为正方形，平面则下列结论中不正确的是（ ）

A． B．平面
C．直线与平面所成的角等于30° D．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
5．设是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线和的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线和的两个平行平面；③经过直线有且只有一个平面垂直于直线；④经过直线有且只有一个平面平行于直线，其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．英国数学家布鲁克泰勒（Taylor Brook，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（   ）

其中，，例如：．试用上述公式估计的近似值为（精确到0.01）
A．0.99 B．0.98 C．0.97  D．0.96
7．在中，，是边上的一点，，若为锐角，的面积为20，则（ ）
A． B． C． D．
8．函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为（ ）
A．12 B．22 C．23 D．32
9．已知，且，则下列不等式正确的是（）
A． B． C． D．
10．已知的内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．________
12．已知均为正数，则的最大值为______________.
13．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式为_____．

14．在三棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，其中，则该三棱锥外接球的表面积为_____．
15．_________________．
16．某公司当月购进、、三种产品，数量分别为、、，现用分层抽样的方法从、、三种产品中抽出样本容量为的样本，若样本中型产品有件，则的值为_______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．若函数满足且，则称函数为“函数”．
（1）试判断是否为“函数”，并说明理由；
（2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调递增区间；
（3）在(2)的条件下，当时，关于的方程为常数有解，记该方程所有解的和为，求．
18．已知数列的前项和为，且满足，（）．
（Ⅰ）求的值，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：（）．
19．在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
20．已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）当时，证明不等式：.
21．等差数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.
【详解】
解：因为，
，
所以，，的大小关系为.
故选：D.
本题考查三个数的大小比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，属于基础题.
2、B
【解析】
直接利用等差中项的公式求解.
【详解】
由题得两数1，25的等差中项为.
故选：B
本题主要考查等差中项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
3、C
【解析】
对于A和D选项不能保证基本不等式中的“正数”要求，对于B选项不能保证基本不等式中的“相等”要求，即可选出答案.
【详解】
对于A，当时，显然不满足题意，故A错误.
对于B，，，.
当且仅当，即时，取得最小值.
但无解，故B错误.
对于D，当时，显然不满足题意，故D错误.
对于C，，，.
当且仅当，即时，取得最小值，故C正确.
故选：C
本题主要考查基本不等式，熟练掌握基本不等式的步骤为解题的关键，属于中档题.
4、C
【解析】
根据空间中垂直关系的判定和性质，平行关系的判定和性质，以及线面角的相关知识，对选项进行逐一判断即可.
【详解】
对A：因为底面ABCD为正方形，故ACBD，
又SD底面ABCD，AC平面ABCD，故SDAC，
又BD平面SBD，SD平面SBD，故AC平面SBD，
又SB平面SBD，故AC.
故A正确；
对B：因为底面ABCD为正方形，故AB//CD，
又CD平面SCD，故AB//平面SCD.
故B正确.
对C：由A中推导可知AC平面SBD，故取AC与BD交点为O，连接SO，如图所示：

则即为所求线面角，但该三角形中边长关系不确定，
故线面角的大小不定，
故C错误；
对D：由AC平面SBD，故取AC与BD交点为O，连接SO，
则即为SA和SC与平面SBD所成的角，
因为，故，
故D正确.
综上所述，不正确的是C.
故选：C.
本题综合考查线面垂直的性质和判定，线面平行的判定，线面角的求解，属综合基础题.
5、C
【解析】
对于①：可以在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断①正确
对于②：可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断②正确
对于③：当这两条直线不是异面垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断③错误
对于④：假设过直线a有两个平面α、β与直线b平行，则面α、β相交于直线a，过直线b做一平面γ与面α、β相交于两条直线m、n，则直线m、n相交于一点，且都与直线b平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，所以假设不成立，所以④正确
故选：C．
6、B
【解析】
利用题设中给出的公式进行化简，即可估算，得到答案．
【详解】
由题设中的余弦公式得
，
故答案为B
本题主要考查了新信息试题的应用，其中解答中理解题意，利用题设中的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
7、C
【解析】
先利用面积公式计算出，计算出，运用余弦定理计算出，利用正弦定理计算出，在中运用正弦定理求解出．
【详解】
解：由的面积公式可知，，
可得，为锐角，可得
在中，，即有，
由可得，
由可知．
故选．
本题考查正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，考查方程思想，属于中档题．
8、B
【解析】
由题得，
构造，分析得到，即得解.
【详解】
由得，
令，
，，得.
的最大值为22.
故选：B．
本题考查函数的最值的求法，注意运用转化思想，以及二次函数在闭区间上的最值求法，考查运算能力，属于中档题．
9、B
【解析】
通过反例可排除；根据的单调性可知正确.
【详解】
当，时，，，则错误；
当，时，，则错误；
由单调递增可知，当时，，则正确
本题正确选项：
本题考查不等关系的判断，解决此类问题常采用排除法，属于基础题.
10、B
【解析】
已知两角及一对边，求另一边，我们只需利用正弦定理.
【详解】
在三角形中由正弦定理公式: ，所以选择B
本题直接属于正弦定理的直接考查，代入公式就能求解.属于简单题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据极限的运算法则，合理化简、运算，即可求解.
【详解】
由极限的运算，可得.
故答案为：
本题主要考查了极限的运算法则的应用，其中解答熟记极限的运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12、
【解析】
根据分子和分母的特点把变形为，运用重要不等式，可以求出的最大值.
【详解】
（当且仅当
且时取等号）,
（当且仅当且时取等号），因此的最大值为.
本题考查了重要不等式，把变形为是解题的关键.
13、
【解析】
由图可知，由勾股定理可得,利用等差数列的通项公式求解即可.
【详解】
根据图形，
因为都是直角三角形，
,
是以1为首项，以1为公差的等差数列，
，
，故答案为.
本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.
14、
【解析】
本题首先可以通过题意画出图像，然后通过三棱锥的图像性质以及三棱锥的外接球的相关性质来确定圆心的位置，最后根据各边所满足的几何关系列出算式，即可得出结果。
【详解】

如图所示，作中点，连接、，在上作三角形的中心，过点作平面的垂线，在垂线上取一点，使得。
因为三棱锥底面是一个边长为的等边三角形，为三角形的中心，
所以三棱锥的外接球的球心在过点的平面的垂线上，
因为，、两点在三棱锥的外接球的球面上，所以点即为球心，
因为平面平面，，为中点，所以平面
，，，
，
设球的半径为，则有，，
，即，解得，
故表面积为。
本题考查三棱锥的相关性质，主要考查三棱锥的外接球的相关性质，考查如何通过三棱锥的几何特征来确定三棱锥的外接球与半径，考查推理能力，考查化归与转化思想，是难题。
15、3
【解析】
分式上下为的二次多项式,故上下同除以进行分析.
【详解】
由题,,又,
故.
故答案为：3.
本题考查了分式型多项式的极限问题，注意：当时,
16、.
【解析】
利用分层抽样每层抽样比和总体的抽样比相等，列等式求出的值.
【详解】
在分层抽样中，每层抽样比和总体的抽样比相等，则有，
解得，故答案为：.
本题考查分层抽样中的相关计算，解题时要充分利用各层抽样比与总体抽样比相等这一条件列等式求解，考查运算求解能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）不是“M函数”；（2），；（3）.
【解析】
由不满足，得不是“M函数”，
可得函数的周期，，
当时，
当时，
在上的单调递增区间：，
由可得函数在上的图象，根据图象可得：
当或1时，为常数有2个解，其和为
当时，为常数有3个解，其和为．
当时，为常数有4个解，其和为
即可得当时，记关于x的方程为常数所有解的和为，
【详解】
不是“M函数”．
，
，
不是“M函数”．
函数满足，函数的周期
，，
当时，
当时，
，
在上的单调递增区间：，；
由可得函数在上的图象为：

当或1时，为常数有2个解，其和为.
当时，为常数有3个解，其和为．
当时，为常数有4个解，其和为
当时，记关于x的方程为常数所有解的和为，
则．
本题考查了三角函数的图象、性质，考查了三角恒等变形，及三角函数型方程问题，属于难题．
18、（Ⅰ），，（Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）根据和项与通项关系得 ，利用等比数列定义求得结果
（Ⅱ）利用放缩法以及等比数列求和公式证得结果
【详解】
（Ⅰ），
由得，
两式相减得
故，又
所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列，
因此，即.
（Ⅱ）当时，，
所以
.
当时，
故

又当时，，.
因此对一切成立.
本题主要考查了利用和的关系以及构造法求数列的通项公式，同时考查利用放缩法证明数列不等式，解题难点是如何放缩，意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力。
19、（1）；（2）.
【解析】
(1)先根据已知求出公差d,即得的通项公式；（2）先证明数列是等比数列，再利用等比数列的前n项和公式求．
【详解】
（1）设等差数列的公差为，由已知得，
则，
将代入并化简得，解得，（舍去）．
所以．
（2）由（1）知，所以，
所以，
所以数列是首项为2，公比为4的等比数列．
所以．
本题主要考查等差数列通项的求法，考查等比数列性质的证明和前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
20、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）分和两种情况讨论，利用，可得出数列的通项公式；
（2）由得，从而可得，即可证明出结论.
【详解】
（1），，.
①当时，数列是各项均为的常数列，则；
②当时，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，.
当时，也适合.
综上所述，；
（2）由，得，
，，
，
因此，.
本题考查数列的通项，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21、（1）（2）
【解析】
(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.
因为所以.
解得a1＝1，d＝.所以{an}的通项公式为an＝.
(2)bn＝＝，
所以Sn＝