2025年浙江省杭州第二中学等五校数学高一下期末联考试题含解析.doc

2025年浙江省杭州第二中学等五校数学高一下期末联考试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知各个顶点都在同一球面上的正方体的棱长为2，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
3．书架上有2本数学书和2本语文书，从这4本书中任取2本，那么互斥但不对立的两个事件是（ ）
A．“至少有1本数学书”和“都是语文书”
B．“至少有1本数学书”和“至多有1本语文书”
C．“恰有1本数学书”和“恰有2本数学书”
D．“至多有1本数学书”和“都是语文书”
4．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
5．设全集，集合，则（　　）
A． B． C． D．
6．某学校高一、高二年级共有1800人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查.若样本中高一年级学生有42人，则该校高一年级学生共有（ ）
A．420人 B．480人 C．840人 D．960人
7．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，若，则的形状是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
9．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．等比数列中，，，则的值为（ ）
A． B．
C．128 D．或
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，的最小正周期是___________.
12．设扇形的半径长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是
13．如图，在正方体中，点是线段上的动点，则直线与平面所成的最大角的余弦值为________.

14．若函数的图像与直线有且仅有四个不同的交点，则的取值范围是______
15．设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为 ．
16．函数的最小正周期___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设为正项数列的前项和，且满足．
（1）求证：为等差数列；
（2）令，，若恒成立，求实数的取值范围．
18．已知方程，.
（1）若是它的一个根，求的值；
（2）若，求满足方程的所有虚数的和.
19．如图，平行四边形中，是的中点，交于点.设，.

(1)分别用，表示向量，；
(2)若，，求.
20．已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：
，．
其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．
若对于任意的，总有，则称集合具有性质．
（Ⅰ）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和．
（Ⅱ）对任何具有性质的集合，证明．
（Ⅲ）判断和的大小关系，并证明你的结论．
21．已知函数，
（1）求函数的最小正周期；
（2）设的内角的对边分别为，且，，，求的面积．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
先求出外接球的半径，再求球的表面积得解.
【详解】
由题得正方体的对角线长为，
所以.
故选A
本题主要考查多面体的外接球问题和球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2、C
【解析】
根据正弦型函数的周期性可求得最小正周期，从而可知代入即可求得所有函数值.
【详解】
由题意得，最小正周期：
；；；
；；
且
值域为：
本题正确选项：
本题考查正弦型函数值域问题的求解，关键是能够确定函数的最小正周期，从而计算出一个周期内的函数值.
3、C
【解析】
两个事件互斥但不对立指的是这两个事件不能同时发生，也可以都不发生，逐一判断即可
【详解】
对于A：“至少有1本数学书”和“都是语文书”是对立事件，故不满足题意
对于B：“至少有1本数学书”和“至多有1本语文书”可以同时发生，故不满足题意
对于C：“恰有1本数学书”和“恰有2本数学书” 互斥但不对立，满足题意
对于D：“至多有1本数学书”和“都是语文书”可以同时发生，故不满足题意
故选：C
本题考查互斥而不对立的两个事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，是基础题．
4、B
【解析】
先计算向量夹角，再利用投影定义计算即可.
【详解】
由向量，，
则，，
向量在向量方向上的投影为.
故选：B
本题考查了向量数量积的坐标表示以及向量数量积的几何意义，属于基础题.
5、B
【解析】
先求出，由此能求出．
【详解】
∵全集，集合，
∴，∴．
故选B．
本题主要考查集合、并集、补集的运算等基本知识，体现运算能力、逻辑推理等数学核心素养．
6、C
【解析】
先由样本容量和总体容量确定抽样比，用高一年级抽取的人数除以抽样比即可求出结果.
【详解】
由题意需要从1800人中抽取90人，所以抽样比为，
又样本中高一年级学生有42人，所以该校高一年级学生共有人.故选C
本题主要考查分层抽样，先确定抽样比，即可确定每层的个体数，属于基础题型.
7、B
【解析】
试题分析：因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B.
【考点】几何概型
【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．
8、D
【解析】
，两种情况对应求解.
【详解】

所以或
故答案选D
本题考查了诱导公式，漏解是容易发生的错误.
9、D
【解析】
根据不等式的性质,一一分析选择正误即可.
【详解】
根据不等式的性质,当时,
对于A,若,则,故A错误;
对于B,若,则,故B错误;
对于C,若,则,故C错误;
对于D, 当时,总有成立,故D正确;
故选:D.
本题考查不等式的基本性质,属于基础题.
10、D
【解析】
根据等比数列的通项公式得到公比，进而得到通项.
【详解】
设公比为，则，∴，
∴或，∴或，
即或.
故选D.
本题考查了等比数列通项公式的应用，属于简单题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
先化简函数f(x)，再利用三角函数的周期公式求解.
【详解】
由题得，
所以函数的最小正周期为.
故答案为
本题主要考查和角的正切和正切函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
12、2
【解析】
试题分析：设扇形圆心角的弧度数为α，
则扇形面积为S=αr2=α×22=4
解得：α=2
考点：扇形面积公式．
13、
【解析】
作的中心，可知平面，所以直线与平面所成角为，当在中点时，最大，求出即可。
【详解】
设正方体的边长为1，
连接，由于为正方体，所以为正四面体，棱长为，为等边三角形，作的中心，连接，，

由于为正四面体，为的中心，所以平面，
所以为直线与平面所成角，则当在中点时，最大，
当在中点时， 由于为正四面体，棱长为，等边三角形，为的中心，所以，，所以直线与平面所成的最大角的余弦值为
故直线与平面所成的最大角的余弦值为
故答案为
本题考查线面所成角，解题的关键是确定当在中点时，最大，考查学生的空间想象能力以及计算能力。
14、
【解析】
将函数写成分段函数的形式，再画出函数的图象，则直线与函数图象有四个交点，从而得到的取值范围.
【详解】
因为
因为
所以，所以图象关于对称，其图象如图所示：

因为直线与函数图象有四个交点，
所以.
故答案为：.
本题考查利用三角函数图象研究与直线交点个数，考查数形结合思想的应用，作图时发现图象关于对称，是快速画出图象的关键.
15、
【解析】
试题分析：设等比数列的公比为，由得，，解得.所以，于是当或时，取得最大值.
考点：等比数列及其应用
16、
【解析】
利用两角和的正弦公式化简函数表达式，由此求得函数的最小正周期.
【详解】
依题意，故函数的周期.
故填：.
本小题主要考查两角和的正弦公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2）
【解析】
（1）根据与的关系，再结合等差数列的定义，即可证明；
（2）由（1）可求出，采用裂项相消法求出，要恒成立，只需即可求出．
【详解】
（1）由题知：，
当得：，解得：
当，
①②得：
，即．
是以为首项，为公差的等差数列．
（2）由（1）知：
所以
即．
本题主要考查与的关系，等差数列的定义，裂项相消法以及恒成立问题的解法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
18、（1）；（2）190.
【解析】
（1）先设出的代数形式，把代入所给的方程，化简后由实部和虚部对应相等进行求值；
（2）由方程由虚根的条件，求出的所有的取值，再由方程虚根成对出现的特点，求出所有虚根之和．
【详解】
解：（1）设，是的一个根，
，，
，解得，，，
（2）方程有虚根，，解得，
，，2，，
又虚根是成对出现的，所有的虚根之和为．
本题是复数的综合题，考查了复数相等条件的应用，方程有虚根的等价条件，以及方程中虚根的特点，属于中档题．
19、（1）， （2） 2
【解析】
（1）由平面的加法可得，又根据三角形相似得到，再根据向量的减法可得的不等式.
（2）由平面向量数量积运算得，然后再将条件代入可得答案.
【详解】
（1）.
由∽,又
所以,即

（2）由，

本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积运算，属中档题．
20、（Ⅰ）集合不具有性质，集合具有性质，相应集合，，集合，（Ⅱ）见解析（Ⅲ）
【解析】
解：集合不具有性质．
集合具有性质，其相应的集合和是，
．
（II）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．
因为，所以；
又因为当时，时，，所以当时，．
从而，集合中元素的个数最多为，
即．
（III）解：，证明如下：
（1）对于，根据定义，，，且，从而．
如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．
故与也是的不同元素．
可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，
（2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，
故与也是的不同元素．
可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，
由（1）（2）可知，．
21、（1）；（2）．
【解析】
（1）利用二倍角和辅助角公式可将函数整理为，利用求得结果；（2）由，结合的范围可求得；利用两角和差正弦公式和二倍角公式化简已知等式，可求得；分别在和两种情况下求解出各边长，从而求得三角形面积.
【详解】
（1）
的最小正周期：
（2）由得：，即：
，，解得：，

由得：

即：
若，即时，
则：
若，则
由正弦定理可得：
由余弦定理得：
解得：

综上所述，的面积为：
本题考查正弦型函数的最小正周期、三角形面积的求解，涉及到正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、两角和差正弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用，考查学生对于三角函数、三角恒等变换和解三角形知识的掌握.