云南省澄江县第二中学2024-2025学年数学高一第二学期期末质量检测试题含解析.doc

云南省澄江县第二中学2024-2025学年数学高一第二学期期末质量检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．为了从甲、乙两组中选一组参加“喜迎国庆共建小康”知识竞赛活动.班主任老师将两组最近的次测试的成绩进行统计，得到如图所示的茎叶图.若甲、乙两组的平均成绩分别是.则下列说法正确的是（ ）

A．，乙组比甲组成绩稳定,应选乙组参加比赛
B．，甲组比乙组成绩稳定.应选甲组参加比赛
C．，甲组比乙组成绩稳定.应选甲组参加比赛
D．，乙组比甲组成绩稳定,应选乙组参加比赛
2．设，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
3．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为( )

A． B． C． D．
4．不等式的解集为，则实数的值为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，取值如下表：

0
1
4
5
6

1.3
m
3m
5.6
7.4
画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则m的值(精确到0.1)为()
A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8
6．已知都是正数,且，则的最小值等于
A． B．
C． D．
7．若直线：与直线：平行 ，则的值为（ ）
A．1 B．1或2 C．-2 D．1或-2
8．用区间 表示不超过的最大整数，如，设，若方程 有且只有3个实数根，则正实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．为了了解运动员对志愿者服务质量的意见，打算从1200名运动员中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段间隔为
A．40 B．20 C．30 D．12
10．已知平面向量，，，，且，则向量与向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知不等式的解集为或，则实数__________.
12．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.
13．若6是-2和k的等比中项，则______.
14．不等式的解集为______.
15．若在等比数列中，，则__________．
16．若、、这三个的数字可适当排序后成为等差数列，也可适当排序后成等比数列，则________________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．
（1）求圆的方程；
（2）若圆与直线交于，两点，且，求的值．
18．在边长为2的菱形中，，为的中点.

（1）用和表示；
（2）求的值.
19．如图，平行四边形中，是的中点，交于点.设，.

(1)分别用，表示向量，；
(2)若，，求.
20．已知中，角的对边分别为.已知，.
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ)设点满足，求线段长度的取值范围.
21．已知函数，作如下变换：.
（1）分别求出函数的对称中心和单调增区间；
（2）写出函数的解析式、值域和最小正周期.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
由茎叶图数据分别计算两组的平均数；根据数据分布特点可知乙组成绩更稳定；由平均数和稳定性可知应选乙组参赛.
【详解】
；

乙组的数据集中在平均数附近 乙组成绩更稳定
应选乙组参加比赛
本题正确选项：
本题考查茎叶图的相关知识，涉及到平均数的计算、数据稳定性的估计等知识，属于基础题.
2、D
【解析】
由题意可得恒成立，讨论，，运用基本不等式，可得最值，进而得到所求范围．
【详解】
恒成立，
即为恒成立，
当时，可得的最小值，
由，
当且仅当取得最小值8，即有，则；
当时，可得的最大值，
由，
当且仅当取得最大值，即有，则，
综上可得．故选．
本题主要考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和分类讨论思想，以及基本不等式的应用，意在考查学生的转化思想、分类讨论思想和运算能力．
3、C
【解析】
根据三视图还原出几何体，得到是在正方体中，截去四面体，利用体积公式，求出其体积，然后得到答案.
【详解】
根据三视图还原出几何体，如图所述，
得到是在正方体中，截去四面体
设正方体的棱长为，
则，
故剩余几何体的体积为，
所以截去部分的体积与剩余部分的体积的比值为.
故选：C.

本题考查了几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还有几何体，利用体积公式解答，属于简单题.
4、C
【解析】
不等式的解集为，
为方程的两根，
则根据根与系数关系可得，
.
故选C.
考点：一元二次不等式；根与系数关系.
5、C
【解析】
根据表格中的数据，求得样本中心为，代入回归直线方程，即可求解.
【详解】
由题意，根据表格中的数据，可得，
，即样本中心为，
代入回归直线方程，即，解得，故选C.
本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的基本特征是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6、C
【解析】
,故选C.
7、A
【解析】
试题分析：因为直线：与直线：平行 ，所以或-2，又时两直线重合，所以．
考点：两条直线平行的条件．
点评：此题是易错题，容易选C，其原因是忽略了两条直线重合的验证．
8、A
【解析】
由方程的根与函数交点的个数问题，结合数形结合的数学思想方法，作图观察y＝{x}的图象与y＝﹣kx+1的图象有且只有3个交点时k的取值范围，即可得解.
【详解】
方程{x}+kx﹣1＝0有且只有3个实数根等价于y＝{x}的图象与y＝﹣kx+1的图象
有且只有3个交点，
当0≤x＜1时，{x}＝x，当1≤x＜2时，
{x}＝x﹣1，当2≤x＜3时，{x}＝x﹣2，
当3≤x＜4时，{x}＝x﹣3，以此类推
如上图所示，实数k的取值范围为：
k，
即实数k的取值范围为：（，]，
故选A．

本题考查了方程的根与函数交点的个数问题，数形结合的数学思想方法，属中档题．
9、C
【解析】
根据系统抽样的定义和方法，结合题意可分段的间隔等于个体总数除以样本容量，即可求解.
【详解】
根据系统抽样的定义和方法，结合题意可分段的间隔，故选C.
本题主要考查了系统抽样的定义和方法，其中解答中熟记系统抽样的定义和方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10、B
【解析】
根据可得到：，由此求得；利用向量夹角的求解方法可求得结果.
【详解】
由题意知： ，则

设向量与向量的夹角为
则
本题正确选项：
本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过平方运算将模长转变为向量的数量积，从而得到向量的位置关系.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、6
【解析】
由题意可知，3为方程的两根，利用韦达定理即可求出a的值.
【详解】
由题意可知，3为方程的两根，则，即.
故答案为：6
本题主要考查一元二次不等式的解，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
12、.
【解析】
由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.
【详解】
由题意，该组数据的平均数为，
所以该组数据的方差是.
本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.
13、-18
【解析】
根据等比中项的性质，列出等式可求得结果.
【详解】
由等比中项的性质可得，，得.
故答案为：-18
本题主要考查等比中项的性质，属于基础题.
14、
【解析】
根据一元二次不等式的解法直接求解可得结果.
【详解】
由得：
即不等式的解集为
故答案为：
本题考查一元二次不等式的求解问题，属于基础题.
15、
【解析】
根据等比中项的性质，将等式化成即可求得答案．
【详解】
是等比数列，若，则．
因为，所以，
．
故答案为：1．
本题考查等比中项的性质，考查基本运算求解能力，属于容易题.
16、
【解析】
由，，可知，、、成等比数列，可得出，由、、或、、成等差数列，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可计算出的值.
【详解】
由于，，若不是等比中项，则有或，两个等式左边均为正数，右边均为负数，不合题意，则必为等比中项，所以，
将三个数由大到小依次排列，则有、、成等差数列或、、成等差数列.
①若、、成等差数列，则，联立，解得，
此时，；
②若、、成等差数列，则，联立，解得，
此时，.
综上所述，.
故答案为：.
本题考查等比数列和等差数列定义的应用，根据题意列出方程组是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
分析：（1）因为曲线与坐标轴的交点都在圆上，所以要求圆的方程应求曲线与坐标轴的三个交点．曲线与轴的交点为，与轴的交点为 ．由与轴的交点为 关于点(3,0)对称，故可设圆的圆心为，由两点间距离公式可得，解得．进而可求得圆的半径为，然后可求圆的方程为．（2）设，，由可得，进而可得，减少变量个数．因为，，所以．要求值，故将直线与圆的方程联立可得，消去，得方程．因为直线与圆有两个交点，故判别式，由根与系数的关系可得，．代入，化简可求得，满足，故．
详解：（1）曲线与轴的交点为，与轴的交点为
．故可设的圆心为，则有，解得．则圆的半径为，所以圆的方程为．
（2）设，，其坐标满足方程组
消去，得方程．
由已知可得，判别式，且，． 
由于，可得．
又，
所以． ‚
由‚得，满足，故．
点睛：⑴求圆的方程一般有两种方法：
① 待定系数法：如条件和圆心或半径有关，可设圆的方程为标准方程，再代入条件可求方程；如已知圆过两点或三点，可设圆的方程为一般方程，再根据条件求方程；
②几何方法：利用圆的性质，如圆的弦的垂直平分线经过圆心，最长的弦为直径，圆心到切线的距离等于半径．
（2）直线与圆或圆锥曲线交于，两点，若，应设，，可得．可将直线与圆或圆锥曲线的方程联立消去，得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得两根和与两根积，代入，化简求值．
18、 (1) ； (2)-1
【解析】
（1）由平面向量基本定理可得：.
（2）由数量积运算可得：，运算可得解.
【详解】
解：（1）.
（2）.
本题考查了平面向量基本定理及数量积运算，属基础题.
19、（1）， （2） 2
【解析】
（1）由平面的加法可得，又根据三角形相似得到，再根据向量的减法可得的不等式.
（2）由平面向量数量积运算得，然后再将条件代入可得答案.
【详解】
（1）.
由∽,又
所以,即

（2）由，

本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积运算，属中档题．
20、 (Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】
（I）利用数量积的定义和三角形面积公式可求得，从而得角；
（II）由得，平方后可求得，即中线长，结合可得最小值，从而得取值范围．
【详解】
(Ⅰ)因为，所以
因为，所以得以
两式相除得
所以
(Ⅱ)因为，所以
因为，
所以
所以
所以．
当且仅当时取得等号
所以线段长度的取值范围时.
本题考查平面向量的数量积，考查平面向量的线性运算、三角形面积公式，解题关键是把中线向量表示为，这样把线段长度（向量模）转化为向量的数量积．
21、（1），；（2），，.
【解析】
（1）由，直接利用对称中心和增区间公式得到答案.
（2）根据变换得到函数的解析式为，再求值域和最小正周期.
【详解】
由题意知：（1）
由得对称中心，
由，得：
单调增区间为，
（2）所求解析式为：0
值域：
最小正周期：.
本题考查了三角函数的对称中心，单调区间，函数变换，周期，值域，综合性强，意在考查学生对于三角函数公式和性质的灵活运用.