安徽省池州市2025年数学高一下期末质量检测试题含解析.doc

安徽省池州市2025年数学高一下期末质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“至少有1个白球”和“都是红球”
B．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”
C．“恰有1个白球” 和“恰有2个白球”
D．“至多有1个白球”和“都是红球”
2．如图，在四边形ABCD中，，，，，.则（ ）

A． B． C．4 D．3
3．在平行四边形中，,,则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则n的值为(　　)
A．－12 B．－14 C．10 D．8
5．在中，已知a，b，c分别为，，所对的边，且a，b，c成等差数列，，,则（ ）
A． B． C． D．
6．已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
7．在中，，为边上的一点，且，若为的角平分线，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn＝an+1﹣1（n∈N*），则首项a1为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．若a，b是方程的两个根，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值为( )
A．-4 B．-3 C．-2 D．-1
10．已知点A(－1,1)和圆C：（x﹣5）2+（y﹣7）2=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是
A．6－2 B．8 C．4 D．10
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．读程序，完成下列题目：程序如图：

（1）若执行程序时，没有执行语句，则输入的的范围是_______；
（2）若执行结果，输入的的值可能是___．
12．若为锐角，，则__________．
13．数列中，为的前项和，若，则____．
14．直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为 ．
15．已知平面向量，，满足：，且，则的最小值为____.
16．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若不等式对恒成立,求m的取值范围.
18．已知：，，，，求的值.
19．设等差数列的前项和为，且.
（I）求数列的通项公式；
（II）设为数列的前项和，求.
20．如图，四面体中，分别是的中点，，.

（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
21．如图，矩形所在平面与以为直径的圆所在平面垂直，为中点，是圆周上一点，且，，．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）设点是线段上的点，且满足，若直线平面，求实数的值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
结合互斥事件与对立事件的概念,对选项逐个分析可选出答案.
【详解】
对于选项A, “至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件,不符合题意;
对于选项B, “至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的,而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球,或者2个都是白球,二者不是互斥事件,不符合题意;
对于选项C, “恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球, 与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件,符合题意;
对于选项D, “至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球,或者2个都是红球,与“都是红球”不是互斥事件,不符合题意.
故选C.
本题考查了互斥事件和对立事件的定义的运用,考查了学生对知识的理解和掌握,属于基础题.
2、D
【解析】
在中，由正弦定理得到的长，在中，先得到的值，再利用余弦定理，求出的长.
【详解】
在中，由正弦定理，
得，
因为，，
所以，
在中，由余弦定理得

所以.
故选：D.
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于简单题.
3、A
【解析】
先求,再求,即可求D坐标
【详解】
，∴，则D(6,1)
故选A
本题考查向量的坐标运算，熟记运算法则，准确计算是关键，是基础题
4、A
【解析】
由直线mx+4y﹣2=0与直线2x﹣5y+n=0垂直，求出m=10，把（1，p）代入10x+4y﹣2=0，
求出p=﹣2，把（1，﹣2）代入2x﹣5y+n=0，能求出n．
【详解】
∵直线mx+4y﹣2=0与直线2x﹣5y+n=0垂直，垂足为（1，p），
∴2m﹣4×5=0，
解得m=10，
把（1，p）代入10x+4y﹣2=0，得10+4p﹣2=0，解得p=﹣2，
把（1，﹣2）代入2x﹣5y+n=0，得2+10+n=0，
解得n=﹣1．
故答案为：A
本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查
函数与方程思想，是基础题．
5、B
【解析】
利用成等差数列可得,再利用余弦定理构造的结构再代入求得即可.
【详解】
由成等差数列可得,由余弦定理有,
即,解得,即.
故选：B
本题主要考查了等差中项与余弦定理的运算,需要根据题意构造与的结构代入求解.属于中档题.
6、D
【解析】
作出示意图，再结合两点间的斜率公式，即可求得答案.
【详解】
，，
又直线过点且与线段相交，作图如下：

则由图可知，直线的斜率的取值范围是：或．
故选：D
本题借直线与线段的交点问题，考查两点间的斜率公式，考查理解辨析能力，属于中档题.
7、A
【解析】
先根据正弦定理用角A,C表示，再根据三角形内角关系化基本三角函数形状，最后根据正弦函数性质得结果.
【详解】
因为，为的角平分线，所以，
在中，，因为，所以，
在中，，因为，所以，所以，
则
,
因为，所以,
所以，则 ，
即的取值范围为.选A.
本题考查函数正弦定理、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.
8、A
【解析】
等比数列的公比设为，分别令，结合等比数列的定义和通项公式，解方程可得所求首项.
【详解】
等比数列的公比设为，由，
令，可得，，
两式相减可得，即，又
所以.
故选：A.
本题考查数列的递推式的运用，等比数列的定义和通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
9、D
【解析】
由韦达定理确定 ，，利用已知条件讨论成等差数列和等比数列的位置，从而确定的值．
【详解】
由韦达定理得： ， ，所以 ，
由题意 这三个数可适当排序后成等比数列，且，则2一定在中间
所以，即
因为 这三个数可适当排序后成等差数列，且，则2一定不在 的中间
假设 ，则
即

故选D
本题考查了等差数列和等比数列的基本性质，解决本题的关键是要掌握三个数成等差数列和等比数列的性质，如成等比数列，且 ，，则2必为等比中项，有．
10、B
【解析】
点A（﹣1，1）关于x轴的对称点B（﹣1，﹣1）在反射光线上，当反射光线过圆心时，光线从点A经x轴反射到圆周C的路程最短，最短为|BC|﹣R．
【详解】
由反射定律得 点A（﹣1，1）关于x轴的对称点B（﹣1，﹣1）在反射光线上，当反射光线过圆心时，

最短距离为|BC|﹣R=﹣2=10﹣2=1，
故光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程为 1．
故选B．
本题考查光线的反射定律的应用，以及两点间的距离公式的应用．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 2
【解析】
（1）不执行语句，说明不满足条件，，从而得；
（2）执行程序，有当时，，只有，．
【详解】
（1）不执行语句，
说明不满足条件，，故有.
（2）当时，，
只有，．
故答案为：（1）　（2）；
本题主要考察程序语言，考查对简单程序语言的阅读理解，属于基础题．
12、
【解析】
因为为锐角，，所以，
.
13、
【解析】
由，结合等比数列的定义可知数列是以为首项，为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解．
【详解】
因为，所以，又因为
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以由等比数列的求和公式得，解得
本题考查利用等比数列的定义求通项公式以及等比数列的求和公式，属于简单题．
14、
【解析】
试题分析：画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．
解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，
M，N分别是A1B1，A1C1的中点，
如图：BC的中点为O，连结ON，MN，OB，
∴MNOB，∴MN0B是平行四边形，∴BM与AN所成角就是∠ANO，
∵BC=CA=CC1，
设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，
MB==，
在△ANO中，由余弦定理得：cos∠ANO=
==．
故答案为．

考点：异面直线及其所成的角．
15、-1
【解析】
，，，
由经过向量运算得，知点在以为圆心，1为半径的圆上，这样，只要最小，就可化简．
【详解】
如图，，则，设是中点，则，
∵，
∴，即，
，记，则点在以为圆心，1为半径的圆上，记，
，注意到，因此当与反向时，最小，
∴．
∴最小值为-1．
故答案为-1．

本题考查平面向量的数量积，解题关键是由已知得出点轨迹(让表示的有向线段的起点都是原点)是圆，然后分析出只有最小时，才可能最小．从而得到解题方法．
16、.
【解析】
分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得题中的概率值.
详解：由题意可知了，比赛可能的方法有种，
其中田忌可获胜的比赛方法有三种：田忌的中等马对齐王的下等马，
田忌的上等马对齐王的下等马，田忌的上等马对齐王的中等马，
结合古典概型公式可得，田忌的马获胜的概率为.
点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) 见解析；(2)
【解析】
（1）当m＞﹣2时，f（x）≥m；即（m+1）x2﹣mx+m﹣1≥m，因式分解，对m进行讨论，可得解集；（2）转化为x∈[﹣1，1]恒成立，分离参数，利用基本不等式求最值求解m的取值范围．
【详解】
（1）当时，；即．
可得：．∵
①当时，即．不等式的解集为
②当时，．∵，
∴不等式的解集为
③当时，．∵，
∴不等式的解集为
综上：，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
（2）由题对任意，不等式恒成立．
即．∵时，恒成立．
可得：．设，．则．
可得：
∵，当且仅当是取等号．
∴，当且仅当是取等号．
故得m的取值范围．
本题主要考查了一元二次不等式的解法和讨论思想的应用，同时考查了分析求解的能力和计算能力，恒成立问题的转化，属于中档题．
18、
【解析】
先由同角三角函数的平方关系求出，，然后结合两角和的余弦公式求解即可.
【详解】
解：由，，，，
所以，，
则
.
本题考查了同角三角函数的平方关系，重点考查了两角和的余弦公式，属基础题.
19、（I）；（II）.
【解析】
（I）根据已知的两个条件求出公差d,即得数列的通项公式；（II）先求出，再利用裂项相消法求和得解.
【详解】
（I）由题得，
所以等差数列的通项为；
（II）因为，
所以.
本题主要考查等差数列的通项的求法，考查等差数列前n项和基本量的计算，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）连接，由等腰三角形三线合一，可得，，再勾股定理可得，进而根据线面垂直的判定定理得到平面；（2）根据等积法可得，结合（1）中结论，可得即为棱锥的高，代入棱锥的体积公式，可得答案．
【详解】
证明：（1）连接

．
，，
．
，为中点，
，
，为中点，

，
,
在中， ，，，
，
，
即．
又，，平面
平面.
（2）
等边的面积为,
为中点

而，
.
本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积公式，熟练掌握空间直线与直线垂直、直线与平面垂直之间的转化关系是解答的关键，属于中档题.
21、（1）；（2）1
【解析】
（1）取中点，连接，即为所求角。在中，易得MC，NC的长，MN可在直角三角形中求得。再用余弦定理易求得夹角。（2）连接，连接和交于点，连接
，易得，所以为的中位线，所以为中点，所以的值为1。
【详解】
（1）取中点，连接
因为为矩形，分别为中点，所以
所以异面直线与所成角就是与所成的锐角或直角
因为平面平面，平面平面
矩形中，，平面
所以平面
又平面，所以
中，，所以
又是圆周上点，且，所以
中，，由余弦定理可求得
所以异面直线与所成角的余弦值为
（2）连接，连接和交于点，连接
因为直线平面，直线平面，平面平面
所以
矩形的对角线交点为中点
所以为的中位线，所以为中点
又，所以的值为1
（1）异面直线所成夹角一般是要平移到一个平面。（2）通过几何关系确定未知点的位置，再求解线段长即可。