2025年广东省广州市真光中学数学高一第二学期期末调研试题含解析.doc

2025年广东省广州市真光中学数学高一第二学期期末调研试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．过点的圆的切线方程是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
3．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．2 C． D．
4．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
5．已知向量是单位向量，＝(3，4)，且在方向上的投影为，則
A．36 B．21 C．9 D．6
6．在中，已知角的对边分别为，若，，，，且，则的最小角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
8．设的内角所对边分别为．则该三角形（ ）
A．无解 B．有一解 C．有两解 D．不能确定
9．对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．若，则函数的单调递增区间为（ )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．数列满足：，，的前项和记为，若，则实数的取值范围是________
12．已知a，b，x均为正数，且a＞b，则____（填“＞”、“＜”或“＝”）．
13．空间一点到坐标原点的距离是_______.
14．已知数列满足，，，记数列的前项和为，则________.
15．已知正方体中,，分别为,的中点,那么异面直线与所成角的余弦值为______.
16．已知函数y=sin（x+）（>0, -<）的图象如图所示，则=________________ .
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知都是第二象限的角，求的值。
18．已知{an}是等差数列，设数列{bn}的前n项和为Sn，且2bn＝b1（1+Sn），bn≠0，又a2b2＝4，a7+b3＝1．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）令cn＝anbn（n∈N*），求{cn}的前n项和Tn
19．在等差数列中，，且前7项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
20．已知余切函数.
（1）请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；（不必证明）
（2）求证：余切函数在区间上单调递减.
21．设二次函数.
（1）若对任意实数，恒成立，求实数x的取值范围；
（2）若存在，使得成立，求实数m的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
若函数有意义,则需满足,进而求解即可
【详解】
由题,则,解得,
故选:A
本题考查具体函数的定义域,属于基础题
2、D
【解析】
先由题意得到圆的圆心坐标，与半径，设所求直线方程为，根据直线与圆相切，结合点到直线距离公式，即可求出结果.
【详解】
因为圆的圆心为，半径为1，
由题意，易知所求切线斜率存在，
设过点与圆相切的直线方程为，
即，
所以有，整理得，解得，或；
因此，所求直线方程分别为：或，
整理得或.
故选D
本题主要考查求过圆外一点的切线方程，根据直线与圆相切，结合点到直线距离公式即可求解，属于常考题型.
3、C
【解析】
根据等比数列前项和为带入即可。
【详解】
当时，不成立。当时
，
则,选择C
本题主要考查了等比数列的前项和，，属于基础题。
4、D
【解析】
试题分析：，,故选D.
考点：点线面的位置关系.
5、D
【解析】
根据公式把模转化为数量积，展开后再根据和已知条件计算.
【详解】
因为在方向上的投影为，
所以，

.
故选D.
本题主要考查向量模有关的计算，常用公式有，.
6、D
【解析】
利用余弦定理求出和的表达式，由，结合正弦定理
得出的表达式，利用余弦定理得出的表达式，可解出的值，
于此确定三边长，再利用大边对大角定理得出为最小角，从而求出．
【详解】
，由正弦定理，即，
，
，，
解得，由大边对大角定理可知角是最小角，所以，，故选D．
本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查大边对大角定理，在解题时，要充分结合题中的已知条件选择正弦定理和余弦定理进行求解，考查计算能力，属于中等题．
7、C
【解析】
，且是纯虚数，，故选C.
8、C
【解析】
利用正弦定理以及大边对大角定理求出角，从而判断出该三角形解的个数．
【详解】
由正弦定理得，所以，，，，
或，因此，该三角形有两解，故选C.
本题考查三角形解的个数的判断，解题时可以充分利用解的个数的等价条件来进行判断，具体来讲，在中，给定、、，该三角形解的个数判断如下：
（1）为直角或钝角，，一解；，无解；
（2）为锐角，或，一解；，两解；，无解.
9、B
【解析】
分析：由题意首先求得的通项公式，然后结合等差数列的性质得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.
详解：由题意,，
则，很明显
n⩾2时,，
两式作差可得：，
则an=2(n+1),对a1也成立，故an=2(n+1)，
则an−kn=(2−k)n+2，
则数列{an−kn}为等差数列，
故Sn⩽S6对任意的恒成立可化为：
a6−6k⩾0,a7−7k⩽0；
即，解得：.
实数的取值范围为.
本题选择B选项.
点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
10、B
【解析】
由题意利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，得出结论．
【详解】
函数，
令，求得，
可得函数的增区间为，，．
再根据，，可得增区间为，，
故选．
本题主要考查两角和的余弦公式的应用，考查余弦函数的单调性，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
因为数列有极限,故考虑的情况.又数列分两组,故分组求和求极限即可.
【详解】
因为,故,
且
,故,又,
即.
综上有.
故答案为：
本题主要考查了数列求和的极限,需要根据题意分组求得等比数列的极限,再利用不等式找出参数的关系,属于中等题型.
12、<
【解析】
直接利用作差比较法解答.
【详解】
由题得，
因为a>0,x+a>0,b-a<0,x>0,
所以
所以.
故答案为＜
本题主要考查作差比较法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
13、
【解析】
直接运用空间两点间距离公式求解即可.
【详解】
由空间两点距离公式可得：.
本题考查了空间两点间距离公式，考查了数学运算能力.
14、7500
【解析】
讨论的奇偶性，分别化简递推公式，根据等差数列的定义得的通项公式，进而可求.
【详解】
当是奇数时，＝﹣1，由，得，
所以，，，…，…是以为首项，以2为公差的等差数列，
当为偶数时，＝1，由，得，
所以，，，…，…是首项为，以4为公差的等差数列，
则 ，
所以.
故答案为：7500
本题考查数列递推公式的化简，等差数列的通项公式，以及等差数列前n项和公式的应用，也考查了分类讨论思想，属于中档题．
15、
【解析】
异面直线所成角，一般平移到同一个平面求解．
【详解】
连接DF，
异面直线与所成角等于

异面直线所成角，一般平移到同一个平面求解．不能平移时通常考虑建系，利用向量解决问题．
16、
【解析】
由图可知，

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、；
【解析】
根据所处象限可确定的符号，利用同角三角函数关系可求得的值；代入两角和差正弦和余弦公式可求得结果.
【详解】
都是第二象限的角 ，
，

本题考查利用两角和差正弦和余弦公式求值的问题；关键是能够根据角所处的范围和同角三角函数关系求得三角函数值.
18、（2）an＝n；bn＝2n﹣2（2）Tn＝（n﹣2）•2n+2
【解析】
（2）运用数列的递推式，以及等比数列的通项公式可得bn，{an}是公差为的等差数列，运用等差数列的通项公式可得首项和公差，可得所求通项公式；
（2）求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．
【详解】
（2）2bn＝b2（2+Sn），bn≠0，
n＝2时，2b2＝b2（2+S2）＝b2（2+b2），解得b2＝2，
n≥2时，2bn﹣2＝2+Sn﹣2，且2bn＝2+Sn，
相减可得2bn﹣2bn﹣2＝Sn﹣Sn﹣2＝bn，
即bn＝2bn﹣2，
可得bn＝2n﹣2，
设{an}是公差为d的等差数列，
a2b2＝4，a7+b3＝2即为a2+d＝2，a2+6d＝7，
解得a2＝d＝2，可得an＝n；
（2）cn＝anbn＝n•2n﹣2，
前n项和，
，
两式相减可得﹣Tn＝2+2+4+…+2n﹣2﹣n2n
n2n，
化简可得Tn＝（n﹣2）2n+2．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的递推式和数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．
19、（1）；（2）Sn＝•3n+1+
【解析】
（1）等差数列{an}的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，计算可得所求通项公式；
（2）求得bn＝2n•3n，由数列的错位相减法求和即可．
【详解】
（1）等差数列{an}的公差设为d，a3＝6，且前7项和T7＝1．
可得a1+2d＝6，7a1+21d＝1，解得a1＝2，d＝2，则an＝2n；
（2）bn＝an•3n＝2n•3n，
前n项和Sn＝2（1•3+2•32+3•33+…+n•3n），
3Sn＝2（1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1），
相减可得﹣2Sn＝2（3+32+33+…+3n﹣n•3n+1）＝2•（﹣n•3n+1），
化简可得Sn＝•3n+1+．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及化简运算能力，属于中档题．
20、（1）奇函数；周期为，单调递减速区间： （2）证明见解析
【解析】
（1）直接利用函数的性质写出结果．
（2）利用单调性的定义和三角函数关系式的变换求出结果．
【详解】
（1）奇函数；周期为，单调递减区间：
（2）任取，，，有

因为，所以，
于是，，
从而，.
因此余切函数在区间上单调递减.
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
21、（1）（2）
【解析】
（1）是关于m的一次函数，计算得到答案.
（2）易知，讨论和两种情况计算得到答案.
【详解】
（1）对任意实数，恒成立，
即对任意实数恒成立，
是关于m的一次函数， ，
解得或，所以实数x的取值范围是.
（2）存在，使得成立，即，显然.
（i）当时，要使成立，即需成立，
即需成立. ，
(当且仅当时等号成立) ，
，.
（ii）当时，要使成立，即需成立，
即需成立，，
（当且仅当时等号成立）
，.
综上得实数m的取值范围是.
本题考查了恒成立问题和存在性问题，意在考查学生的综合应用能力.