吉林省白山一中2024-2025学年高一下数学期末学业质量监测试题含解析.doc

吉林省白山一中2024-2025学年高一下数学期末学业质量监测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数的值域为，且图象在同一周期内过两点，则的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
2．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为：V＝×（底面的圆周长的平方×高）．则由此可推得圆周率的取值为（ ）
A．3 B．3.14 C．3.2 D．3.3
3．在△ABC中，已知tan＝sinC，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．函数，当上恰好取得5个最大值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，为的中点，，则（ ）
A． B． C．3 D．-3
6．某种产品的广告费用支出与销售额之间具有线性相关关系，根据下表数据（单位：百万元)，由最小二乘法求得回归直线方程为.现发现表中有个数据看不清，请你推断该数据值为（ )

3
4
5
5
8

28
34
★
56
72
A．65 B．60 C．55 D．50
7．点到直线（R）的距离的最大值为
A． B． C．2 D．
8．向量，则（ ）
A． B．
C．与的夹角为60° D．与的夹角为30°
9．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为多少石？
A．180 B．160 C．90 D．360
10．如图，若长方体的六个面中存在三个面的面积分别是2,3,6，则该长方体中线段的长是（ ）

A． B． C．28 D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．一艘海轮从出发，沿北偏东方向航行后到达海岛，然后从出发沿北偏东方向航行后到达海岛，如果下次直接从沿北偏东方向到达，则______.
12．在中，角所对的边分别为.若,，则角的大小为____________________.
13．方程组对应的增广矩阵为__________.
14．化简：______.（要求将结果写成最简形式）
15．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为___.
16．设，则等于________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．计算：（1）
（2）
（3）
18．已知等比数列为递增数列，，，数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
19．在中，，.
（1）求角B的大小；
（2）的面积，求的边BC的长.
20．如图，已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的动直线与圆A相交于M，N两点，Q是的中点，直线与相交于点P．

（1）求圆A的方程；
（2）当时，求直线的方程．
21．求经过直线：与直线：的交点，且分别满足下列条件的直线方程.
（Ⅰ）与直线平行；
（Ⅱ）与直线垂直.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据值域先求，再代入数据得到最大值和最小值对应相差得到答案.
【详解】
函数的值域为
即
，图象在同一周期内过两点

故答案选C
本题考查了三角函数的最大值最小值，周期，意在考查学生对于三角函数公式和性质的灵活运用和计算能力.
2、A
【解析】
试题分析：由题意知圆柱体积×（底面的圆周长的平方×高）,化简得：，故选A．
考点：圆柱的体积公式．
3、C
【解析】
解：因为

选C
4、C
【解析】
先求出取最大值时的所有的解，再解不等式，由解的个数决定出的取值范围．
【详解】
设，所以，解得 ，
所以满足的值恰好只有5个，

所以的取值可能为0,1,2,3,4，由
，故选C．
本题主要考查正弦函数的最值以及不等式的解法，意在考查学生的数学运算能力．
5、A
【解析】
本题中、长度已知，故可以将、作为基底，将向量用基底表示，从而解决问题．
【详解】
解：在中，因为为的中点，
所以，

故选A
向量数量积问题常见解题方法有1.基底法，2.坐标法．基底法首先要选择两个不共线向量作为基向量，然后将其余向量向基向量转化，然后根据数量积公式进行计算；坐标法则要建立直角坐标系，然后将向量用坐标表示，进而运用向量坐标的运算规则进行计算．
6、B
【解析】
求出样本中心点的坐标，代入线性回归方程求解．
【详解】
设表中看不清的数据为，
则，，
代入，得，解得．
故选：．
本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
7、A
【解析】
把直线方程化为，得到直线恒过定点，由此可得点P到直线的距离的最大值就是点P到定点的距离，得到答案．
【详解】
由题意，直线可化为，
令，解得，即直线恒过定点，
则点P到直线的距离的最大值就是点P到定点的距离为：
，故选A．
本题主要考查了直线方程的应用，其中解答中把直线方程化为，得出直线恒过定点是解答本题的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．
8、B
【解析】
试题分析：由，可得，所以，故选B．
考点：向量的运算．
9、A
【解析】
根据数得250粒内夹谷30粒，根据比例，即可求得结论。
【详解】
设批米内夹谷约为x石，则
，
解得：
选A。
此题考查简单随机抽样，根据部分的比重计算整体值。
10、A
【解析】
由长方体的三个面对面积先求出同一点出发的三条棱长，即可求出结果.
【详解】
设长方体从一个顶点出发的三条棱的长分别为，且，，，则，，，所以长方体中线段的长等于.
本题主要考查简单几何体的结构特征，属于基础题型.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
首先根据余弦定理求出，在根据正弦定理求出，即可求出
【详解】
有题知

.
所以.
在中，，
即，解得.
所以，
故答案为：
本题主要考查正弦定理和余弦定理的实际应用，熟练掌握公式为解题的关键，属于中档题.
12、
【解析】
本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力．由得，所以
由正弦定理得，所以A=或（舍去）、
13、
【解析】
根据增广矩阵的概念求解即可.
【详解】
方程组对应的增广矩阵为,
故答案为：.
本题考查增广矩阵的概念，是基础题.
14、
【解析】
结合诱导公式化简，再结合两角差正弦公式分析即可
【详解】

故答案为：
本题考查三角函数的化简，诱导公式的使用，属于基础题
15、
【解析】
设此等差数列为{an}，公差为d，则
（a3+a4+a5）×=a1+a2，即，解得a1=，d=．最小一份为a1，
故答案为．
16、
【解析】
首先根据题中求出的周期，然后利用周期性即可求出答案.
【详解】
由题知，
有，故的周期为，
故
，
又因为，
有.
故答案为：.
本题考查了三角函数的周期性，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）；（3）.
【解析】
利用诱导公式，对每一道题目进行化简求值.
【详解】
（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
在使用诱导公式时，注意“奇变偶不变，符号看象限”法则的应用，即辅助角为的奇数倍，函数名要改变；若为的偶数倍，函数名不改变.
18、（1）（2）
【解析】
（1）利用等比数列的下标性质，可以由，得到，通过解方程组，结合已知可以求出的值，这样可以求出公比，最后可以求出等比数列的通项公式，最后利用对数的运算性质可以求出数列的通项公式；
（2）利用错位相消法可以求出数列的前项和．
【详解】
解（1）∵是等比数列
∴
又∵
由是递增数列解得，
且公比
∴

（2）

，两式相减得：

∴
本题考查了等比数列下标的性质，考查了求等比数列通项公式，考查了对数运算的性质，考查了错位相消法，考查了数学运算能力.
19、（1）；（2）
【解析】
（1）由条件可，展开计算代入，即可得；
（2）先利用正弦定理求出，再利用面积可得，解方程可得，再利用余弦定理可求得边BC的长.
【详解】
解：（1）在中，，
则，
即，
整理得，又，
，
（2）由正弦定理得，
又，即，
所以，
，
解得，即.
本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查了面积公式，是基础题.
20、 (1) .(2) 或
【解析】
（1）圆心到切线的距离等于圆的半径，从而易得圆标准方程；
（2）考虑直线斜率不存在时是否符合题意，在斜率存在时，设直线方程为，根据垂径定理由弦长得出圆心到直线的距离，现由点（圆心）到直线的距离公式可求得．
【详解】
（1）由于圆A与直线相切，∴，
∴圆A的方程为．
（2）①当直线与x轴垂直时，易知与题意相符，使．
②当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为即，连接，
则，∵，∴，由，得．
∴直线，故直线的方程为或．
本题考查直线与圆的位置关系，解题关键是垂径定理的应用，在圆中与弦长有关的问题通常都是用垂径定理解决．
21、（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）先求得直线与直线的交点坐标.根据平行直线的斜率关系得与平行直线的斜率,再由点斜式即可求得直线方程.
（Ⅱ）根据垂直直线的斜率关系得与垂直的直线斜率,再由点斜式即可求得直线方程.
【详解】
解方程组
得,
所以直线与直线的交点是
（Ⅰ）直线,可化为
由题意知与直线平行
则直线的斜率为
又因为过
所以由点斜式方程可得
化简得
所以与直线平行且过的直线方程为.
（Ⅱ）直线的斜率为
则由垂直时直线的斜率乘积为
可知直线的斜率为
由题意知该直线经过点,
所以由点斜式方程可知
化简可得
所以与直线垂直且过的直线方程为.
本题考查了直线平行与垂直时的斜率关系,由点斜式求方程的用法,属于基础题.