2024-2025学年闽粤赣三省十二校高一下数学期末经典模拟试题含解析.doc

2024-2025学年闽粤赣三省十二校高一下数学期末经典模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，则下列4个角中与角终边相同的是（ ）
A． B． C． D．
2．不等式的解集为，则实数的值为（ ）
A． B．
C． D．
3．有一个内角为120°的三角形的三边长分别是m，m+1，m+2，则实数m的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．在△ABC中角ABC的对边分别为A．B．c，cosC＝，且acosB+bcosA＝2，则△ABC面积的最大值为（）
A． B． C． D．
5．某学校礼堂有30排座位，每排有20个座位，一次心理讲座时礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的30名学生，这里运用的抽样方法是（ ）
A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样 D．分层抽样
6．用数学归纳法证明这一不等式时，应注意必须为（ ）
A． B．， C．， D．，
7．若数列对任意满足，下面给出关于数列的四个命题：①可以是等差数列，②可以是等比数列；③可以既是等差又是等比数列；④可以既不是等差又不是等比数列；则上述命题中，正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知数列的前项和为，满足，则通项公式等于( )．
A． B． C． D．
9．下列函数中，在上存在最小值的是( )
A． B． C． D．
10．为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）
A．向右平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍；
B．向左平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍；
C．向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的倍；
D．向左平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的倍
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若是等比数列，，，且公比为整数，则______.
12．设等比数列的前项和为，若，,则的值为______．
13．已知，，，则的最小值为______．
14．已知，向量的夹角为，则的最大值为_____.　
15．函数的值域是______．
16．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若，，求面积.
18．如图，在平面直角坐标系中，已知圆：，点，过点的直线与圆交于不同的两点（不在y轴上)．

（1）若直线的斜率为3，求的长度；
（2）设直线的斜率分别为，求证：为定值，并求出该定值；
（3）设的中点为，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
19．如图，是正方形，是正方形的中心，底面是的中点.

（1）求证：平面；
（2）若,求三棱锥的体积.
20．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.

（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
21．数列中，，.前项和满足.
（1）求（用表示）；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）若，现按如下方法构造项数为的有穷数列，当时，；当时，.记数列的前项和，试问：是否能取整数？若能，请求出的取值集合：若不能，请说明理由.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
先写出与角终边相同的角的集合，再给k取值得解.
【详解】
由题得与角终边相同的集合为,
当k=6时，.
所以与角终边相同的角为.
故选C
本题主要考查终边相同的角的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
2、C
【解析】
不等式的解集为，
为方程的两根，
则根据根与系数关系可得，
.
故选C.
考点：一元二次不等式；根与系数关系.
3、B
【解析】
由已知利用余弦定理可得，解方程可得的值.
【详解】
在三角形中，由余弦定理得：，
化简可得：，解得或（舍）.
故选：B.
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题.
4、D
【解析】
首先利用同角三角函数的关系式求出sinC的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式及基本不等式的应用求出结果．
【详解】
△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cosC，
利用同角三角函数的关系式sin1C+cos1C＝1，
解得sinC，
由于acosB+bcosA＝1，
利用余弦定理，
解得c＝1．
所以c1＝a1+b1﹣1abcosC，
整理得4，
由于a1+b1≥1ab，
故，
所以．
则，
△ABC面积的最大值为，
故选D．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．
5、C
【解析】
抽名学生分了组（每排为一组），每组抽一个，符合系统抽样的定义
故选
6、D
【解析】
根据题意验证，，时，不等式不成立，当时，不等式成立，即可得出答案.
【详解】
解：当，，时，显然不等式不成立，
当时，不等式成立，
故用数学归纳法证明这一不等式时，应注意必须为，
故选：.
本题考查数学归纳法的应用，属于基础题．
7、C
【解析】
由已知可得an﹣an﹣1＝2，或an＝2an﹣1，结合等差数列和等比数列的定义，可得答案．
【详解】
∵数列{an}对任意n≥2（n∈N）满足（an﹣an﹣1﹣2）（an﹣2an﹣1）＝0，∴an﹣an﹣1＝2，或an＝2an﹣1，
∴①{an}可以是公差为2的等差数列，正确；
②{an}可以是公比为2的等比数列，正确；
③若{an}既是等差又是等比数列，即此时公差为0，公比为1，由①②得，③错误；
④由 （an﹣an﹣1﹣2）（an﹣2an﹣1）＝0， an﹣an﹣1＝2或an＝2an﹣1，
当数列为：1，3，6，8，16……
得{an}既不是等差也不是等比数列，故④正确；
故选C．
本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了等差，等比数列的相关内容，属于中档题.
8、C
【解析】
代入求得；根据可证得数列为等比数列，从而利用等比数列通项公式求得结果.
【详解】
当时，
当且时，
则，即
数列是以为首项，为公比的等比数列
本题正确选项：
本题考查数列通项公式的求解，关键是能够利用得到数列为等比数列，属于常规题型.
9、A
【解析】
结合初等函数的单调性，逐项判定，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，函数，当时，取得最小值，满足题意；
函数在为单调递增函数，所以函数在区间无最小值，
所以B不正确；
函数在为单调递增函数，所以函数在区间无最小值，
所以C不正确；
函数在为单调递增函数，所以函数在区间无最小值，
所以D不正确.
故选：A.
本题主要考查了函数的最值问题，其中解答中熟记基本初等函数的单调性，合理判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10、B
【解析】
根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【详解】
把函数y＝2sinx，x∈R的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得函数y＝2sin（x）的图象，
再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），可得函数y＝2sin（），x∈R的图象，
故选：B．
本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、512
【解析】
由题设条件知和是方程的两个实数根，解方程并由公比q为整数，知，，由此能够求出公比，从而得到.
【详解】
是等比数列，
，，
，，
和是方程的两个实数根，
解方程，
得，，
公比q为整数，
，，
，解得，
.故答案为：512
本题考查等比数列的通项公式的求法，利用了等比数列下标和的性质，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.
12、16
【解析】
利用及可计算，从而可计算的值.
【详解】
因为，故，
因为，故，故，
故填16.
等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．
13、
【解析】
将所求的式子变形为，展开后可利用基本不等式求得最小值.
【详解】
解：，，，
，当且仅当时取等号．故答案为1．
本题考查了“乘1法”和基本不等式，属于基础题．由于已知条件和所求的式子都是和的形式，不能直接用基本不等式求得最值，使用 “乘1法”之后，就可以利用基本不等式来求得最小值了.
14、
【解析】
将两边平方，化简后利用基本不等式求得的最大值.
【详解】
将两边平方并化简得，由基本不等式得，故，即，即，所以的最大值为.
本小题主要考查平面向量模的运算，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
15、
【解析】
将函数化为 的形式，再计算值域。
【详解】
因为
所以
本题考查三角函数的值域，属于基础题。
16、
【解析】
2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有（数学1，数学2，语文），（数学1，语文，数学2），（数学2，数学1，语文），（数学2，语文，数学1），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共6个，其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故2本数学书相邻的概率 ．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），（2）
【解析】
（1）利用三角函数的和差公式化简已知等式可得，结合为锐角可得的值．
（2）由余弦定理可得，解得的值，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】
（1）∵，
∴
∵
∴
可得：
∵A，C为锐角，
∴，可得：
（2）∵
∴由余弦定理，可得：，
即，解得：或3，
因为为锐角三角形，所以需满足
所以
所以的面积为
本题主要考查了三角函数恒等变换及余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18、（1）；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
（1）求出圆心O到直线的距离，已知半径通过勾股定理即可算出弦长的一半，即可算出弦长。（2）设，直线的方程为，联立圆的方程通过韦达定理化简即可。（3）设点，根据，得，表示出，的关系，再联立直线和圆的方程得到，与k的关系，代入可解出k，最后再通过有两个交点判断即可求出k值。
【详解】
（1）由直线的斜率为3，可得直线的方程为
所以圆心到直线的距离为
所以
（2）直线的方程为，
代入圆可得方程
设，则

所以为定值，定值为0
（3）设点，由，可得：，即
，化得：
由（*）及直线的方程可得：，代入上式可得：
，可化为：
求得：
又由（*）解得：
所以不符合题意，所以不存在符合条件的直线.
此题考查圆锥曲线，一般采用设而不求通过韦达定理表示，将需要求解的量用斜率k表示，起到消元的作用，计算相对复杂，属于较难题目。
19、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由平面得出，由底面为正方形得出，再利用直线与平面垂直的判定定理可证明平面；
（2）由勾股定理计算出，由点为线段的中点得知点到平面的距离等于，并计算出的面积，最后利用锥体的体积公式可计算出三棱锥的体积．
【详解】
（1）平面，平面，，
又为正方形，，
又平面，平面，，平面；
（2）由题意知：，又，，
，
点到面的距离为，.
本题考查直线与平面垂直的判定，考查三棱锥体积的计算，在计算三棱锥的体积时，充分利用题中的线面垂直关系和平面与平面垂直的关系，寻找合适的底面和高来进行计算，考查计算能力与推理能力，属于中等题．
20、（1）见解析；（2）见解析；
【解析】
（1）要证BD⊥平面PAC，只需在平面PAC上找到两条直线跟BD垂直即证，显然，从平面中可证，即证.
(2)要证明平面PAB⊥平面PAE,可证平面即可.
【详解】
（1）证明：因为平面,所以；
因为底面是菱形，所以;
因为,平面,
所以平面.
（2）证明：因为底面是菱形且，所以为正三角形，所以,
因为,所以；
因为平面，平面,
所以；
因为
所以平面，
平面,所以平面平面.
本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21、（1）
（2）证明见详解.
（3）能取整数,此时的取值集合为.
【解析】
（1）利用递推关系式,令,通过,求出即可.
（2）递推关系式转化为：,化简推出数列是等比数列.
（3）由,求出,求出,得到通项公式,然后求解的分母与分子,讨论要使取整数,需为整数,推出的取值集合为时,取整数
【详解】
解：（1）令,则,
将,代入,有.
解得：.
（2）由
得,
化简得,又,
是等比数列.
（3）由,,
又是等比数列,
,
,
①当时,
依次为,
.
②当时,
,
,
,
要使取整数,需为整数,
令,,
,要么都为整数,要么都不是整数,
又
所以当且仅当为奇数时,为整数,
即的取值集合为时,取整数.
本题主要考查利用递推公式结合,为判断等比数列,考查数列前项和的比的问题的转化与化归思想的综合性解题能力.