2025年福建省南安市侨光中学数学高一下期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

2025年福建省南安市侨光中学数学高一下期末教学质量检测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图为某班35名学生的投篮成绩（每人投一次）的条形统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完全。已知该班学生投篮成绩的中位数是5，则根据统计图，则下列说法错误的是（ ）

A．3球以下（含3球）的人数为10
B．4球以下（含4球）的人数为17
C．5球以下（含5球）的人数无法确定
D．5球的人数和6球的人数一样多
2．已知角的终边过点，则的值为
A． B． C． D．
3．在等差数列中，若，，则（ ）
A． B．1 C． D．
4．已知直线是平面的斜线，则内不存在与（   ）
A．相交的直线 B．平行的直线
C．异面的直线 D．垂直的直线
5．如图，在中，若，，，用表示为（　　）

A． B．
C． D．
6．下面结论中，正确结论的是（ ）
A．存在两个不等实数，使得等式成立
B． (0< x < π)的最小值为4
C．若是等比数列的前项的和，则成等比数列
D．已知的三个内角所对的边分别为，若，则一定是锐角三角形
7．将函数的图象向右平移个单位长度得到图像，则下列判断错误的是（ ）
A．函数的最小正周期是 B．图像关于直线对称
C．函数在区间上单调递减 D．图像关于点对称
8．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P﹣ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E为棱PA的中点，则异面直线AB与CE所成角的正弦值为（　　）

A． B． C． D．
9．椭圆中以点M(1，2)为中点的弦所在直线斜率为（ ）
A． B． C． D．
10．设，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．据两个变量、之间的观测数据画成散点图如图，这两个变量是否具有线性相关关系_____（答是与否）.

12．已知两个正实数x，y满足＝2，且恒有x+2y﹣m＞0，则实数m的取值范围是______________
13．已知为的三个内角A，B，C的对边，向量，．若，且，则B=
14．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取_____人．
15．设，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中正确的是______．
(1)若，，，则；
(2)若，，，则；
(3)若，，，，则；
(4)若，，,则．
16．已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知， 为正三角形．

（1）证明．
（2）若，，求二面角的大小的余弦值．
18．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.

（1）求图中x的值；
（2）求这组数据的平均数和中位数；
（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数3:2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.
19．已知等比数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列为递增数列，数列满足，求数列的前n项和.
（3）在条件（2）下，若不等式对任意正整数n都成立，求的取值范围.
20．如图，在正三棱柱中，边的中点为，．

⑴求三棱锥的体积；
⑵点在线段上，且平面，求的值．
21．已知函数.求：
（1）函数的最大值、最小值及最小正周期；
（2）函数的单调递增区间.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
据投篮成绩的条形统计图，结合中位数的定义，对选项中的命题分析、判断即可．
【详解】
根据投篮成绩的条形统计图，3球以下（含3球）的人数为，6球以下（含6球）的人数为，
结合中位数是5知4球以下（含4球）的人数为不多于17，
而由条形统计图得4球以下（含4球）的人数不少于，因此4球以下（含4球）的人数为17
所以5球的人数和6球的人数一共是17，显然5球的人数和6球的人数不一样多，故选D.
本题考查命题真假的判断，考查条形统计图、中位数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2、B
【解析】
由三角函数的广义定义可得的值.
【详解】
因为，故选B.
本题考查三角函数的概念及定义，考查基本运算能力.
3、C
【解析】
运用等差数列的性质求得公差d，再运用通项公式解得首项即可．
【详解】
由题意知，所以.
故选C.
本题考查等差数列的通项公式的运用，等差数列的性质，考查运算能力，属于基础题．
4、B
【解析】
根据平面的斜线的定义，即可作出判定，得到答案．
【详解】
由题意，直线是平面的斜线，由斜线的定义可知与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线，所以在平面内肯定不存在与直线平行的直线．
故答案为：B
本题主要考查了直线与平面的位置关系的判定及应用，其中解答中熟记平面斜线的定义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
5、C
【解析】
根据向量的加减法运算和数乘运算来表示即可得到结果.
【详解】

本题正确选项：
本题考查根据向量的线性运算，来利用已知向量表示所求向量；关键是能够熟练应用向量的加减法运算和数乘运算法则.
6、A
【解析】
对各个选项逐一判断，对于选项A，由，代入计算，即可判断是否正确；对于选项B，设，结合函数的单调性，即可判断是否正确；对于选项C，由公比为为偶数，即可判断是否正确；对于选项D，由余弦定理，即可判断是否正确．
【详解】
对于选项A，两个不等实数，使得等式成立，故A正确；
对于选项B，若设设，可得在递减，即函数的最小值为，故B错误；
对于选项C，是等比数列的前项的和，当公比，为偶数时， 则，均为，不能够成等比数列，故C错误；
对于选项D，中，若，可得，即为锐角，不能判断一定是锐角三角形，故D错误．
故选：A．
本题考查两角和的正弦公式、基本不等式和等比数列的性质，以及余弦定理的应用，属于基础题．
7、C
【解析】
根据三角函数的图象平移关系求出的解析式，结合函数的单调性，对称性分别进行判断即可．
【详解】
由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，
可得，
对于,函数的最小正周期为，所以该选项是正确的；
对于，令，则为最大值，
函数图象关于直线，对称是正确的；
对于中，，则，，
则函数在区间上先减后增，不正确；
对于中，令，则，
图象关于点对称是正确的，
故选．
本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的单调性，对称性，求出解析式是解决本题的关键．
8、B
【解析】
由异面直线所成角的定义及求法，得到为所求，连接，由为直角三角形，即可求解．
【详解】
在四棱锥中，，可得即为异面直线与所成角，
连接，则为直角三角形，
不妨设，则，所以,
故选B．

本题主要考查了异面直线所成角的作法及求法，其中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
9、A
【解析】
先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率．
【详解】
设弦的两端点为，，代入椭圆得，
两式相减得，
即，
即，即，
即，∴弦所在的直线的斜率为，故选A.
本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系．在解决弦长的中点问题，涉及到“中点与斜率”时常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的，属于中档题.
10、B
【解析】
利用不等式的性质，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意知，根据不等式的性质，两边同乘，可得成立.
故选：B.
本题主要考查了不等式的性质及其应用，其中解答中熟记不等式的基本性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、否
【解析】
根据散点图的分布来判断出两个变量是否具有线性相关关系.
【详解】
由散点图可知，散点图分布无任何规律，不在一条直线附近，
所以，这两个变量没有线性相关关系，故答案为否.
本题考查利用散点图判断两变量之间的线性相关关系，考查对散点图概念的理解，属于基础题.
12、 (-∞,1)
【解析】
由x+2y（x+2y）（）（1），运用基本不等式可得x+2y的最小值，由题意可得m＜x+2y的最小值．
【详解】
两个正实数x，y满足2，
则x+2y（x+2y）（）（1）
（1+2）＝1，
当且仅当x＝2y＝2时，上式取得等号，
x+2y﹣m＞0，即为m＜x+2y，
由题意可得m＜1．
故答案为：（﹣∞，1）．
本题考查基本不等式的运用：“乘1法”求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，属于中档题．
13、
【解析】
根据得，再利用正弦定理得，化简得出角的大小。再根据三角形内角和即可得B.
【详解】
根据题意,
由正弦定理可得

则
所以答案为。
本题主要考查向量与三角形正余弦定理的综合应用,属于基础题。
14、1．
【解析】
先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，即可求解.
【详解】
由题意，高三学生占的比例为，
所以应从高三年级学生中抽取的人数为.
本题主要考查了分层抽样的定义和方法，其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
15、 (1)
【解析】
利用线线平行的传递性、线面垂直的判定定理判定．
【详解】
(1) ， ，，则，正确
(2)若，，，则，错误
(3)若，则不成立，错误
(4)若，，,则，错误
本题主要考查线面垂直的判定定理判定，考查了空间想象能力，属于中档题.
16、
【解析】
试题分析：设三角形的三边长为a-4,b=a,c=a+4,(a<b<c),根据题意可知三边长构成公差为4的等差数列，可知a+c=2b ,C=120,，则由余弦定理，c= a+ b-2abcosC，,
三边长为6,10,14，,b= a+ c-2accosB,即（a+c）=a+c-2accosB, cosB=，sinB=可知S==.
考点：本试题主要考查了等差数列与解三角形的面积的求解的综合运用．
点评：解决该试题的关键是利用余弦定理来求解，以及边角关系的运用，正弦面积公式来求解．巧设变量a-4,a,a+4会简化运算．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析．（2）二面角的余弦值为．
【解析】
（1）作于点，连接，根据面面垂直性质可得底面ABCD，由三角形全等性质可得，进而根据线面垂直判定定理证明平面，即可证明.
（2）根据所给角度和线段关系，可证明以均为等边三角形，从而取中点，连接，即可由线段长结合余弦定理求得二面角的大小.
【详解】
（1）证明：作于点，连接，如下图所示：

因为侧面底面ABCD，
则底面ABCD，
因为 为正三角形，则,
所以，即，
又因为，
所以，而,
所以平面，
所以.
（2）由（1）可知，，，
所以，
又因为，所以，即为中点.
由等腰三角形三线合一可知，
在中，由等腰三角形三线合一可得，
所以均为边长为2的等边三角形，
取中点，连接，如下图所示：

由题意可知，即为二面角的平面角，
所以在中由余弦定理可得
，
即二面角的余弦值为．
本题考查了线面垂直的判定定理，面面垂直的性质应用，二面角夹角的去找法及由余弦定理求二面角夹角的余弦值，属于中档题.
18、（1）0.02（2）平均数77，中位数（3）.
【解析】
（1）由频率分布直方图的性质列方程能求出x．
（2）由频率分布直方图能求出这组数据的平均数和中位数．
（3）满意度评分值在[50，60）内有5人，其中男生3人，女生2人，记“满意度评分值为[50，60）的人中随机抽取2人进行座谈，2人均为男生”为事件A，利用古典概型能求出2人均为男生的概率．
【详解】
（1）由，解得.
（2）这组数据的平均数为.中位数设为m，则，解得.
（3）满意度评分值在内有人，
其中男生3人，女生2人.记为
记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，2人均为男生”为事件A
则总基本事件个数为 10个，A包含的基本事件个数为 3个，
利用古典概型概率公式可知.
本题考查频率平均数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19、（1）当时： ；当时：
（2）（3）
【解析】
（1）直接利用等比数列公式得到答案.
（2）利用错位相减法得到答案.
（3）将不等式转化为，根据双勾函数求数列的最大值得到答案.
【详解】
（1）
当时：
当时：
（2）数列为递增数列，，

两式相加，化简得到

（3）

设
原式 （为奇数）
根据双勾函数知：或时有最大值.
时，原式 时，原式
故
本题考查了等比数列的通项公式，错位相减法求前N项和，恒成立问题，将恒成立问题转化为利用双勾函数求数列的最大值是解题的关键，此题综合性强，计算量大，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
20、 (1) (2)
【解析】
（1）由题可得平面，故，从而求得三棱锥的体积；
（2）连接交于，连接交于，连结，由平面可得，由正三棱柱的性质可得，从而得到的值．
【详解】
⑴因为为正三棱柱
所以平面

⑵连接交于，连接交于，连结

因为//平面，平面，平面平面，
所以，
因为为正三棱柱，
所以侧面和侧面为平行四边形，
从而有为的中点，于是为的中点
所以，
因为为边的中点，
所以也为边中点，从而
本题考查三棱锥的体积，线面垂直的性质，正三棱柱的性质等知识，属于中档题．
21、（1）最大值，最小值为，最小正周期；（2）
【解析】
（1）根据即可求出最值，利用即可求出最小正周期；
（2）根据复合函数的单调性，令即可得解.
【详解】
（1），
函数的最大值为，最小值为；
函数的最小正周期为.
（2）令，得：，
故函数的增区间为.
本题考查了三角函数的性质以及单调区间的求解，属于基础题.