2025届黑龙江省黑河市数学高一第二学期期末复习检测模拟试题含解析.doc

2025届黑龙江省黑河市数学高一第二学期期末复习检测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数，若方程有5个解，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
2．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔m，速度为km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过80s后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为（ ）

A． B．
C． D．
3．函数的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
4．设函数的图象分别向左平移m(m>0)个单位，向右平移n(n>0>个单位，所得到的两个图象都与函数的图象重合的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方体，点在线段上运动，则下列判断正确的是（ ）

①平面平面
②平面
③异面直线与所成角的取值范围是
④三棱锥的体积不变
A．①② B．①②④ C．③④ D．①④
6．已知函数（其中为自然对数的底数），则的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
7．过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
8．在中，角所对的边分别为，已知，则最大角的余弦值是( )
A． B． C． D．
9．已知两个正数a，b满足，则的最小值是(    )
A．2 B．3 C．4 D．5
10．在长方体中，,,则异面直线与所成角的余弦值为( )

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知向量，满足，且在方向上的投影是，则实数_______.
12．将无限循环小数化为分数，则所得最简分数为______；
13．设满足不等式组，则的最小值为_____.
14．设y＝f（x）是定义域为R的偶函数，且它的图象关于点（2，0）对称，若当x∈（0，2）时，f（x）＝x2，则f（19）＝_____
15．函数的最小正周期为 .
16．化简：________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，分别为内角的对边，且
（1）求的大小：
（2）若，求的面积.
18．数列的前项和.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和，并求使成立的实数最小值.
19．已知，函数，，
（1）证明：是奇函数；
（2）如果方程只有一个实数解，求a的值.
20．已知圆：．
（Ⅰ）求过点的圆的切线方程；
（Ⅱ）设圆与轴相交于，两点，点为圆上异于，的任意一点，直线，分别与直线交于，两点．
（ⅰ）当点的坐标为时，求以为直径的圆的圆心坐标及半径；
（ⅱ）当点在圆上运动时，以为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值？请说明理由．
21．已知圆，点，直线.

（1）求与直线l垂直，且与圆C相切的直线方程；
（2）在x轴上是否存在定点B（不同于点A），使得对于圆C上任一点P，为常数？若存在，试求这个常数值及所有满足条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
利用因式分解法，求出方程的解，结合函数的性质，根据题意可以求出的取值范围.
【详解】
，
，或，由题意可知：，由题可知：当时，有2个解且有2个解且 ，
当时，，因为，所以函数是偶函数，当时，函数是减函数，故有，函数是偶函数，所以图象关于纵轴对称，即当时有，，所以，综上所述；
的取值范围是，故本题选D.
本题考查了已知方程解的情况求参数取值问题，正确分析函数的性质，是解题的关键.
2、C
【解析】
分析：先求AB的长，在 中，可求BC的长，进而由于CD⊥AD，所以CD=BCsin∠CBD，故可得山顶的海拔高度．
详解：如图，，，

∴在 中，

山顶的海拔高度
故选C．
点睛：本题以实际问题为载体，考查正弦定理的运用，关键是理解俯角的概念，属于基础题．
3、A
【解析】
先判断函数为偶函数排除；再根据当时， ，排除得到答案.
【详解】
，偶函数，排除；
当时， ，排除
故选：
本题考查了函数图像的识别，通过函数的奇偶性和特殊函数点可以排除选项快速得到答案.
4、C
【解析】
求出函数的图象分别向左平移个单位，向右平移个单位后的函数解析式，再根据其图象与函数的图象重合，可分别得关于，的方程，解之即可．
【详解】
解：将函数的图象向左平移个单位，得函数，
其图象与的图象重合，
，，，故，，，
当时，取得最小值为．
将函数的图象向右平移个单位，得到函数，
其图象与的图象重合，
，，，
故，，当时，取得最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
本题主要考查诱导公式，函数的图象变换规律，属于基础题．
5、B
【解析】
①连接DB1，容易证明DB1⊥面ACD1 ，从而可以证明面面垂直；
②连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得；
③分析出A1P与AD1所成角的范围，从而可以判断真假；
④=，C到面 AD1P的距离不变，且三角形AD1P的面积不变；
【详解】
对于①，连接DB1，根据正方体的性质，有DB1⊥面ACD1 ，DB1⊂平面PB1D，从而可以证明平面PB1D⊥平面ACD1，正确．
②连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得 A1P∥平面ACD1，正确．
③当P与线段BC1的两端点重合时，A1P与AD1所成角取最小值，
当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成角取最大值，
故A1P与AD1所成角的范围是，错误；
④=，C到面AD1P的距离不变，且三角形AD1P的面积不变．
∴三棱锥A﹣D1PC的体积不变，正确；
正确的命题为①②④．
故选B．

本题考查空间点、线、面的位置关系，空间想象能力，中档题．
6、D
【解析】
令，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又令，所以有两个零点，因为，，所以，且当时，，
，当时，，，当时，，，选项C满足条件.故选C.
点睛：本题考查函数的解析式和图象的关系、利用导数研究函数的单调性；已知函数的解析式识别函数图象是高考常见题型，往往从定义域、奇偶性（对称性）、单调性、最值及特殊点的符号进行验证，逐一验证进行排除.
7、D
【解析】
由已知直线方程求得直线的斜率，再根据两直线垂直，得到所求直线的斜率，最后用点斜式写出所求直线的方程.
【详解】
已知直线的斜率为：
因为两直线垂直
所以所求直线的斜率为
又所求直线过点
所以所求直线方程为：
即：
故选：D
本题主要考查了直线与直线的位置关系及直线方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
8、B
【解析】
由边之间的比例关系，设出三边长，利用余弦定理可求.
【详解】
因为，所以c边所对角最大，设，由余弦定理得，故选B.
本题考查余弦定理，计算求解能力，属于基本题.
9、D
【解析】
根据题意，分析可得，对其变形可得，由基本不等式分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，正数，满足，
则；
即的最小值是；
故选：．
本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式应用的条件．
10、C
【解析】
连接，交于，取的中点，连接、 ，可以证明是异面直线与所成角，利用余弦定理可求其余弦值.
【详解】
连接，交于，取的中点，连接.
由长方体可得四边形为矩形，所以为的中点，
因为为的中点，所以，
所以或其补角是异面直线与所成角.
在直角三角形中，则，，所以.
在直角三角形中，，
在中，，
故选C.

空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】
在方向上的投影为，把向量坐标代入公式，构造出关于的方程，求得.
【详解】
因为，所以，
解得：，故填：.
本题考查向量的数量积定义中投影的概念、及向量数量积的坐标运算，考查基本运算能力.
12、
【解析】
将设为，考虑即为，两式相减构造方程即可求解出的值，即可得到对应的最简分数.
【详解】
设，则，
由可知，解得.
故答案为：.
本题考查将无限循环小数化为最简分数，主要采用方程的思想去计算，难度较易.
13、-6
【解析】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，当向下平移时， 减小，因此当过点时， 为最小值．

14、﹣1.
【解析】
根据题意，由函数的奇偶性与对称性分析可得，即函数是周期为的周期函数，据此可得，再由函数的解析式计算即可.
【详解】
根据题意，是定义域为的偶函数，则，
又由得图象关于点对称，则，
所以，即函数是周期为的周期函数，
所以，
又当时，，则，
所以.
故答案为：.
本题考查函数的奇偶性与周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期性，属于基础题.
15、
【解析】
试题分析：，所以函数的周期等于
考点：1.二倍角降幂公式；2.三角函数的周期.
16、
【解析】
根据三角函数的诱导公式，准确运算，即可求解.
【详解】
由题意，可得.
故答案为：.
本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）根据正弦定理将，角化为边得，即，再由余弦定理求解
（2）根据，由正弦定理，求边b，又，然后代入公式求解.
【详解】
（1）因为，
由正弦定理得：，
即，
，
又，
.
（2）因为
由正弦定理得，
又，
所以.
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18、（1）；（2），.
【解析】
（1）由已知可先求得首项，然后由，得，两式相减后可得数列的递推式，结合得数列是等比数列，从而易得通项公式；
（2）对数列可用错位相减法求其和．不等式恒成立，可转化为先求的最大值．
【详解】
（1）由得.
由，可知，
可得，即.
因为，所以，故
因此是首项为，公比为的等比数列，
故.
（2）由（1）知.
所以①
两边同乘以得
②
①②相减得

从而
于是，
当是奇数时，，
因为，
所以.
当是偶数时，
因此.
因为，
所以，的最小值为.
本题考查等比数列的通项公式，前项和公式，考查错位相减法求和．适用错位相减法求和的数列一般是，其中是等差数列，是等比数列．
19、（1）证明见解析（1）1
【解析】
（1）运用函数的奇偶性的定义即可得证（1）由题意可得有且只有两个相等的实根，可得判别式为0，解方程可得所求值．
【详解】
（1）证明：由函数，，可得定义域为，
且，可得为奇函数；
（1）方程只有一个实数解，
即为，
即△，
解得舍去），
则的值为1．
本题考查函数的奇偶性的判断和二次方程有解的条件，考查方程思想和定义法，属于基础题．
20、（Ⅰ）或；（Ⅱ）（ⅰ）圆心为，半径；（ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）先判断在圆外， 所以圆过点的切线有两条．再由斜率是否存在分别讨论．（Ⅱ）（ⅰ）设直线PA和PB把其与直线交于，两点表示出来，写出圆的方程化简即可．（ⅱ）先求出以为直径的圆被轴截得的弦长，在设出PA和PB的直线方程，分别求出与直线的交点，求出圆心，再根据勾股定理易求解．
【详解】
（Ⅰ）因为点在圆外， 所以圆过点的切线有两条．
当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足条件．
当直线的斜率存在时，可设为，即．
由圆心到切线的距离，解得． 此时切线方程为．
综上，圆的切线方程为或．
（Ⅱ）因为圆与轴相交于，两点，所以，．
（ⅰ）当点坐标为时，直线的斜率为，直线的方程为．
直线与直线的交点坐标为 ，
同理直线的斜率为，直线的方程为．
直线与直线的交点坐标为． 所以以为直径的圆的圆心为，半径．
（ⅱ）以为直径的圆被轴截得的弦长为定值．
设点，则．
直线的斜率为，直线的方程为．
直线与直线的交点坐标为．
同理直线的斜率为，直线的方程为．
直线与直线的交点坐标为．
所以圆的圆心，半径为．
方法一：圆被轴截得的弦长为
．
所以以为直径的圆被轴截得的弦长为定值．
方法二：圆的方程为．
令，解得．
所以．
所以圆与轴的交点坐标分别为，．
所以以为直径的圆被轴截得的弦长为定值．
此题考查解析几何中关于圆的题目，一般做法是设而不求，将需要的信息表示出来再化简求值，属于一般性题目．
21、（1）或
（2）存在，，
【解析】
（1）先设与直线l垂直的直线方程为，再结合点到直线的距离公式求解即可；
（2）先设存在，利用都有为常数及在圆上，列出等式，然后利用恒成立求解即可.
【详解】
解：（1）由直线.
则可设与直线l垂直的直线方程为，
又该直线与圆相切，
则，则，
故所求直线方程为或；
（2）假设存在定点使得对于圆C上任一点P，为常数，
则,
所以，
将代入上式化简整理得：
对恒成立，
所以 ，
解得或，
又，
即，
所以存在定点使得对于圆C上任一点P，为常数.
本题考查了点到直线的距离公式，重点考查了点与圆的位置关系，属中档题.