山西省长治县第一中学2025届高一下数学期末调研模拟试题含解析.doc

山西省长治县第一中学2025届高一下数学期末调研模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在等差数列中，若，，则（ ）
A．8 B．16 C．20 D．28
3．已知数列中，，，则等于( )
A． B． C． D．
4．已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列满足，则（ ）
A．10 B．20 C．100 D．200
6．在的二面角内，放置一个半径为3的球，该球切二面角的两个半平面于A，B两点，那么这两个切点在球面上的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
7．若向量，，则在方向上的投影为（ ）
A．-2 B．2 C． D．
8．甲、乙、丙三人随意坐下，乙不坐中间的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段绳有一段长度不小于的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．从某健康体检中心抽取了8名成人的身高数据（单位：厘米），数据分别为172，170，172，166，168，168，172，175，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．171 172 B．170 172 C．168 172 D．170 175
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如果数据的平均数是，则的平均数是________.
12．在中，比长4，比长2，且最大角的余弦值是，则的面积等于______________．
13．求的值为________．
14．函数的最大值是__________．
15．某班级有50名学生，现用系统抽样的方法从这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为号，并按编号顺序平均分成10组（号，号，…，号），若在第三组抽到的编号是13，则在第七组抽到的编号是______．
16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，则的最大值为________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
18．在区间内随机取两个数，则关于的一元二次方程有实数根的概率为__________．
19．东莞市公交公司为了方便广大市民出行，科学规划公交车辆的投放，计划在某个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车的间隔时间与乘客等候人数之间的关系，选取一天中的六个不同的时段进行抽样调查，经过统计得到如下数据：
间隔时间（分钟）
8
10
12
14
16
18
等候人数（人）
16
19
23
26
29
33
调查小组先从这6组数据中选取其中的4组数据求得线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验，检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数的差，若两组差值的绝对值均不超过1，则称所求的回归方程是“理想回归方程”.
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：，
（1）若选取的是前4组数据，求关于的线性回归方程；
（2）判断（1）中的方程是否是“理想回归方程”：
（3）为了使等候的乘客不超过38人，试用（1）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少分钟？
20．已知的顶点，边上的高所在直线为，为中点，且所在直线方程为.
（1）求顶点的坐标；
（2）求边所在的直线方程。
21．已知数列满足且,令．
（1）求证:数列是等比数列；
（2）求数列的前项和为．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
取特殊值检验，利用排除法得答案。
【详解】
因为，则当时，故A错；当时，故B错；
当时，，故C错；因为且，所以
故选D.
本题考查不等式的基本性质，属于简单题。
2、C
【解析】
因为为等差数列，
则也成等差数列,公差为12-4=8
所以,
故选C.
3、A
【解析】
变形为，利用累加法和裂项求和计算得到答案.
【详解】

故选：A
本题考查了累加法和裂项求和，意在考查学生对于数列方法的灵活应用.
4、A
【解析】
首先设，将题意转化为，即可，再分类讨论求出，解不等式组即可.
【详解】
，恒成立，
等价于，恒成立.
令，对称轴为.
即等价于，即可.
当时，
得到，解得：.
当时，
得到，解得：.
当时，
得到，解得：.
综上所述：.
故选：A
本题主要考查二次不等式的恒成立问题，同时考查了二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键，属于中档题.
5、C
【解析】
由题可得数列是以为首相，为公差的等差数列，求出数列的通项公式，进而求出
【详解】
因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列
，所以，则
本题考查由递推公式证明数列是等差数列以及等差数列的通项公式，属于一般题．
6、A
【解析】
根据题意，作出截面图，计算弧长即可.
【详解】
根据题意，作出该球过球心且经过A、B的截面图如下所示：

由题可知：
则，
故满足题意的最短距离为弧长BA，
在该弧所在的扇形中，弧长.
故选：A.
本题考查弧长的计算公式，二面角的定义，属综合基础题.
7、A
【解析】
向量，，所以，||=5，所以在方向上的投影为 =-2
故选A
8、A
【解析】
甲、乙、丙三人随意坐下有种结果，
乙坐中间则有，乙不坐中间有种情况，
概率为，故选A.
点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．
(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
9、A
【解析】
设其中一段的长度为，可得出另一段长度为，根据题意得出的取值范围，再利用几何概型的概率公式可得出所求事件的概率.
【详解】
设其中一段的长度为，可得出另一段长度为，
由于剪得两段绳有一段长度不小于，则或，可得或.
由于，所以，或.
由几何概型的概率公式可知，事件“剪得两段绳有一段长度不小于”的概率为，
故选：A.
本题考查长度型几何概型概率公式的应用，解题时要将问题转化为区间型的几何概型来计算概率，考查分析问题以及运算求解能力，属于中等题.
10、A
【解析】
由中位数和众数的定义，即可得到本题答案.
【详解】
把这组数据从小到大排列为166，168，168，170，172，172，172，175，则中位数为，众数为172.
故选：A
本题主要考查中位数和众数的求法.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、5
【解析】
根据平均数的定义计算．
【详解】
由题意，
故答案为：5.
本题考查求新数据的均值．掌握均值定义是解题关键．实际上如果数据的平均数是，则新数据的平均数是．
12、
【解析】
由a比c长4，b比c长2，用c表示出a与b，可得出a为最大边，即A为最大角，可得出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，同时利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a与b代入，并根据最大角的余弦值，得到关于c的方程，求出方程的解得到c的值，然后由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【详解】
根据题意得：a=c+4，b=c+2，则a为最长边，
∴A为最大角，又cosA=，且A为三角形的内角，
，

整理得：，即(c−3)(c+2)=0，
解得：c=3或c=−2(舍去)，
∴a=3+4=7，b=3+2=5，
则△ABC的面积S=bcsinA=.
故答案为：.
余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
13、44.5
【解析】
通过诱导公式，得出，依此类推，得出原式的值．
【详解】
，
，
同理，
，故答案为44.5.
本题主要考查了三角函数中的诱导公式的运用，得出是解题的关键，属于基础题．
14、
【解析】
分析：利用两角和正弦公式简化为y=，从而得到函数的最大值.
详解：y=sinx+cosx==．
∴函数的最大值是
故答案为
点睛：本题考查了两角和正弦公式，考查了正弦函数的图象与性质，属于基础题.
15、33
【解析】
试题分析：因为是从50名学生中抽出10名学生，组距是5，
∵第三组抽取的是13号，
∴第七组抽取的为．
考点：系统抽样
16、
【解析】
先求得的值，再利用两角和差的三角公式和正弦函数的最大值，求得的最大值．
【详解】
中，若的面积为，，．
，
当且仅当时，取等号，故 的最大值为，
故答案为：．
本题主要两角和差的三角公式的应用和正弦函数的最大值，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（3）；（3）3．
【解析】
试题分析：（3）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．
（3）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+3，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解
试题解析：（3）由题意可得，直线l的斜率存在，
设过点A（2，3）的直线方程：y=kx+3，即：kx-y+3=2．
由已知可得圆C的圆心C的坐标（3，3），半径R=3．
故由，解得：．
故当，过点A（2，3）的直线与圆C：相交于M，N两点．
（3）设M；N，
由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+3，代入圆C的方程，
可得，
∴，
∴，
由，解得 k=3，
故直线l的方程为 y=x+3，即 x-y+3=2．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=3
考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算
18、
【解析】
试题分析：解：在平面直角坐标系中，以轴和轴分别表示的值，
因为m、n是中任意取的两个数，所以点与右图中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域．设事件表示方程有实根，
则事件，
所对应的区域为图中的阴影部分，

且阴影部分的面积为．故由几何概型公式得
，即关于的一元二次方程有实根的概率为．
考点：本题主要考查几何概型概率的计算．
点评：几何概型概率的计算，关键是明确基本事件空间及发生事件的几何度量，有面积、体积、角度数、线段长度等．本题涉及到了线性规划问题中平面区域．
19、（1）（2）是“理想回归方程”（3）估计间隔时间最多可以设置为21分钟
【解析】
（1）根据所给公式计算可得回归方程；
（2）由理想回归方程的定义验证；
（3）直接解不等式即可．
【详解】
（1），

（2）
当时，
当时，
，
所以判断（1）中的方程是“理想回归方程”
（3）由，得
估计间隔时间最多可以设置为21分钟
本题考查回归直线方程，解题时直接根据所给公式计算，考查了学生的运算求解能力．
20、 (1) (2)
【解析】
（1）联立直线的方程，求出点坐标；（2）求出点，利用坐标求直线的斜率，再用点斜式求直线方程.
【详解】
由及边上的高所在直线为，
得所在直线方程为
又所在直线方程为
由，得.
（2）设，又，为中点，则，
由已知得，得，
又得直线的方程为.
考查直线的垂直关系、直线的交点坐标、直线方程的求法等，考查运算求解能力.
21、 (1)证明见解析；(2)
【解析】
（1）计算得到，得证数列是等比数列.
（2）根据（1）知，直接利用分组求和法得到答案.
【详解】
(1)因为，又
所以数列是以4首项，2为公比的等比数列
(2)因为，所以
.
本题考查了等比数列的证明，分组求和，意在考查学生的计算能力和对于数列方法的灵活运用.