2025届重庆綦江中学七校联考数学高一第二学期期末教学质量检测试题含解析.doc

2025届重庆綦江中学七校联考数学高一第二学期期末教学质量检测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若向量＝，||＝2，若·(－)＝2，则向量与的夹角( )
A． B． C． D．
2．在区间上随机地取一个数.则的值介于0到之间的概率为（ ）.
A． B． C． D．
3．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列互斥但不对立的两个事件是（ ）
A．“至少1名男生”与“全是女生”
B．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”
C．“至少1名男生”与“全是男生”
D．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”
4．函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象　　

A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
5．记为实数中的最大数.若实数满足则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
6．底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥称为正四棱锥．如图，在正四棱锥中，底面边长为1．侧棱长为2，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
7．已知空间中两点,则长为( )
A． B． C． D．
8．已知角、是的内角，则“”是“”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．在中，已知角的对边分别为，若，，，，且，则的最小角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
10．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入分别为14,18，则输出的（ ）

A．0 B．2 C．4 D．14
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若关于x的不等式的解集是，则_________.
12．方程的解为_________.
13．若函数图象各点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位，得到的函数图象离原点最近的的对称中心是______．
14．已知，且，则的值是_______.
15．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．
在上面结论中，正确结论的编号是________．(写出所有正确结论的编号)
16．已知数列满足，若，则的所有可能值的和为______；
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在△ABC中，AC=6，cosB=，C=.
(1)求AB的长；
(2)求△ABC的面积.
18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面⊥底面，若分别为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面⊥平面．
19．已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.
20．已知向量，，且.
（1）求向量在上的投影；
（2）求.
21．已知函数.
（1）若，求函数有零点的概率；
（2）若，求成立的概率.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据向量的数量积运算，向量的夹角公式可以求得.
【详解】
由已知可得： ，得 ，
设向量与的夹角为 ，则
所以向量与的夹角为
故选A.
本题考查向量的数量积运算和夹角公式，属于基础题.
2、D
【解析】
由，得.
由函数的图像知，使的值介于0到之间的落在和之内.
于是，所求概率为.
故答案为D
3、D
【解析】
从3名男生和2名女生中任选2名学生的所有结果有“2名男生”、“2名女生”、“1名男生和1名女生”．
选项A中的两个事件为对立事件，故不正确；
选项B中的两个事件不是互斥事件，故不正确；
选项C中的两个事件不是互斥事件，故不正确；
选项D中的两个事件为互斥但不对立事件，故正确．选D．
4、B
【解析】
试题分析：由图象知，，，，，得，所以，为了得到的图象，所以只需将的图象向右平移个长度单位即可，故选D．
考点：三角函数图象.
5、B
【解析】
先利用判别式法求出|x|,|y|,|z|的取值范围，再判断得解.
【详解】
因为，所以，
整理得：，
解得，
所以，
同理，.
故选B
本题主要考查新定义和判别式法求范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6、B
【解析】
可采用建立空间直角坐标系的方法来求两条异面直线所成的夹角，
【详解】
如图所示，以正方形ABCD的中心为坐标原点，DA方向为x轴，AB方向为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系

，，，由几何关系可求得，，
，，为中点，,
，，
答案选B.
解决异面直线问题常用两种基本方法：异面直线转化成共面直线、空间向量建系法
7、C
【解析】
根据空间中的距离公式，准确计算，即可求解，得到答案．
【详解】
由空间中的距离公式，可得，故选C．
本题主要考查了空间中的距离公式，其中解答中熟记空间中的距离公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8、C
【解析】
结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断
【详解】
在三角形中，根据大边对大角原则，若，则，由正弦定理得，充分条件成立；
若，由可得，根据大边对大角原则，则，必要条件成立；
故在三角形中，“”是“”的充要条件
故选：C
本题考查充分条件与必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，三角形大边对大角原则应谨记，属于基础题
9、D
【解析】
根据大角对大边判断最小角为，利用正弦定理得到，代入余弦定理计算得到，最后得到.
【详解】
根据大角对大边判断最小角为
根据正弦定理知：
根据余弦定理：
化简得：

故答案选D
本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的计算能力.
10、B
【解析】
由a=14，b=18，a＜b，
则b变为18﹣14=4，
由a＞b，则a变为14﹣4=10，
由a＞b，则a变为10﹣4=6，
由a＞b，则a变为6﹣4=1，
由a＜b，则b变为4﹣1=1，
由a=b=1，
则输出的a=1．
故选B．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、－14
【解析】
由不等式的解集求出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出的值，从而可得结果.
【详解】
不等式的解集是，
所以对应方程的实数根为和，且，
由根与系数的关系得，解得，
，故答案为.
本题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次不等式的根之间的关系，以及韦达定理的应用，属于简单题.
12、
【解析】
根据特殊角的三角函数及正切函数的周期为kπ，即可得到原方程的解．
【详解】
则
故答案为：
此题考查学生掌握正切函数的图象及周期性，是一道基础题．
13、
【解析】
由二倍角公式化简函数式，然后由三角函数图象变换得新解析式，结合正弦函数性质得对称中心．
【详解】
由题意，经过图象变换后新函数解析式为，由，，，绝对值最小的是，因此所求对称中心为．
故答案为：．
本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数的性质，考查二倍角公式，掌握正弦函数性质是解题关键．
14、
【解析】
计算出的值，然后利用诱导公式可求得的值.
【详解】
，，则，
因此，.
故答案为：.
本题考查利用诱导公式求值，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于基础题.
15、①②④
【解析】
用正方体ABCD-A1B1C1D1实例说明A1D1与BC1在平面ABCD上的投影互相平行，AB1与BC1在平面ABCD上的投影互相垂直，BC1与DD1在平面ABCD上的投影是一条直线及其外一点．故①②④正确．

16、36
【解析】
根据条件得到的递推关系，从而判断出的类型求解出可能的通项公式，即可计算出的所有可能值，并完成求和.
【详解】
因为，所以或，
当时，是等差数列，，所以；
当时，是等比数列，，所以，
所以的所有可能值之和为：.
故答案为：.
本题考查等差和等比数列的判断以及求数列中项的值，难度一般.已知数列满足(为常数)，则是公差为的等差数列；已知数列满足，则是公比为的等比数列.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）21
【解析】
（1）由，求得，再由正弦定理，即可求解.
(2)由（1）和，求得，再由三角形的面积公式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，因为，且为三角形的内角，所以，
由正弦定理，可得，即，解得.
(2)由（1）和，
则，
由三角形的面积公式，可得.
本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
18、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（Ⅰ）利用线面平行的判定定理，只需证明EF∥PA，即可；（Ⅱ）先证明线面垂直，CD⊥平面PAD，再证明面面垂直，平面PAD⊥平面PDC 即可．
【详解】

（Ⅰ）证明：连结AC，在正方形ABCD中，F为BD中点，正方形对角线互相平分，
∴F为AC中点，
又E是PC中点，
在△CPA中，EF∥PA，且PA⊆平面PAD，
EF⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（Ⅱ）∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
平面 ∴CD⊥平面PAD，
∵CD⊂平面PDC，
∴平面PAD⊥平面PDC
本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理，以及平面与平面垂直的判定定理，要求熟练掌握相关的判定定理．
19、 (1)证明见解析；(2) ， 或， .
【解析】
（1）设，.
由 可得，则.
又，故.
因此的斜率与的斜率之积为，所以.
故坐标原点在圆上.
（2）由（1）可得.
故圆心的坐标为，圆的半径.
由于圆过点，因此，故，
即，
由（1）可得.
所以，解得或.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆 的方程为.
直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证或说明中点在曲线内部.
20、（1）（2）40
【解析】
（1）根据垂直得到，再计算投影得到答案.
（2）展开直接计算得到答案.
【详解】
（1）因为，由得.，.
在上的投影为.
（2）.
本题考查了向量的投影和数量积，意在考查学生的计算能力.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）求得有零点的条件，运用古典概率的公式，计算可得所求；
（2）若， 即，画出不等式组表示的区域，计算面积可得所求．
【详解】
解：（1）函数有零点的条件为，即，
，可得事件的总数为，
而有零点的个数为，，，，，，共7个，
则函数有零点的概率为；
（2）若，即，
画出的区域，可得成立的概率为．

本题考查古典概率和几何概率的求法，考查运算能力，属于基础题．