太原师院附中师苑中学2024-2025学年高一下数学期末综合测试试题含解析.doc

太原师院附中师苑中学2024-2025学年高一下数学期末综合测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数f（x），则f[f（2）]＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的(　　)
A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍
3．在中，角所对的边分别为，已知，则最大角的余弦值是( )
A． B． C． D．
4．若平面∥平面，直线∥平面,则直线与平面的关系为( )
A．∥ B． C．∥或 D．
5．已知变量，满足约束条件则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．在中，设角，，的对边分别是，，，且，则一定是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
7．若，，且与夹角为，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
8．从1，2，3，…，9这个9个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是5的概率等于（ ）
A． B． C． D．
9．在投资生产产品时，每生产需要资金200万，需场地，可获得300万；投资生产产品时，每生产需要资金300万，需场地，可获得200万，现某单位可使用资金1400万，场地，则投资这两种产品，最大可获利( )
A．1350万 B．1475万 C．1800万 D．2100万
10．直线与直线平行，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．6
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．________
12．如图所示，梯形中，，于，，分别是，的中点，将四边形沿折起（不与平面重合），以下结论①面；②；③．则不论折至何位置都有_______．

13．已知常数，若函数在上恒有，且
，则函数在区间上零点的个数
是________.
14．函数的最大值为，最小值为，则的最小正周期为______．
15．在锐角中，则的值等于 ．
16．将边长为2的正沿边上的高折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，D是线段AB上靠近B的一个三等分点，E是线段AC上靠近A的一个四等分点，，设，.
（1）用，表示；
（2）设G是线段BC上一点，且使，求的值.
18．已知直线和．
（1）若与互相垂直，求实数的值；
（2）若与互相平行，求与与间的距离，
19．设a为实数，函数，
（1）若，求不等式的解集；
（2）是否存在实数a，使得函数在区间上既有最大值又有最小值？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）写出函数在R上的零点个数（不必写出过程）．
20．某公司为了提高工效，需分析该公司的产量台与所用时间小时之间的关系，为此做了四次统计，所得数据如下：
产品台数台
2
3
4
5
所用时间小时

3
4

求出y关于x的线性回归方程 ；
预测生产10台产品需要多少小时？
21．已知数列中，，．
（1）证明数列为等比数列，并求的通项公式；
（2）数列满足，数列的前项和为，求证．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
根据分段函数的表达式求解即可.
【详解】
由题.
故选：B
本题主要考查了分段函数的求值,属于基础题型.
2、C
【解析】
以三角形的一边为x轴，高所在的直线为y轴，由斜二测画法看三角形底边长和高的变化即可．
【详解】
以三角形的一边为x轴，高所在的直线为y轴，由斜二测画法知，三角形的底长度不变，高所在的直线为y′轴，长度减半，故三家性的高变为原来的sin45°=，
故直观图中三角形面积是原三角形面积的．
故选C．
本题重点考查了斜二侧画法、平面图形的面积的求解方法等知识，属于中档题．解题关键是准确理解斜二侧画法的内涵，与x轴平行的线段长度保持不变，与y轴平行的线段的长度减少为原来的一半．
3、B
【解析】
由边之间的比例关系，设出三边长，利用余弦定理可求.
【详解】
因为，所以c边所对角最大，设，由余弦定理得，故选B.
本题考查余弦定理，计算求解能力，属于基本题.
4、C
【解析】
利用空间几何体，发挥直观想象，易得直线与平面的位置关系.
【详解】
设平面为长方体的上底面，平面为长方体的下底面，
因为直线∥平面，所以直线通过平移后，可能与平面平行，也可能平移到平面内，所以∥或.
空间中点、线、面位置关系问题，常可以借助长方体进行研究，考查直观想象能力.
5、D
【解析】
试题分析：把函数转化为表示斜率为截距为平行直线系，当截距最大时，
最大，由题意知当直线过和两条直线交点时
考点：线性规划的应用.
【详解】
请在此输入详解！
6、C
【解析】
利用二倍角公式化简已知表达式，利用余弦定理化角为边的关系，即可推出三角形的形状．
【详解】
解：因为，所以，
即，由余弦定理可知：，
所以．
所以三角形是直角三角形．
故选：．
本题考查三角形的形状的判断，余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．
7、B
【解析】
由题意利用两个向量数量积的定义，求得的值，再根据，计算求得结果．
【详解】
由题意若，，且与夹角为，可得，
.
故选：B．
本题考查向量数量积的定义、向量的模的方法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不要错选成A答案.
8、C
【解析】
试题分析： 设事件为“从1，2，3，…，9这9个数中5个数的中位数是5”，则基本事件总数为种，事件所包含的基本事件的总数为：，所以由古典概型的计算公式知，，故应选.
考点：1.古典概型；
9、B
【解析】
设生产产品x百吨，生产产品百吨，利润为百万元，先分析题意，找出相关量之间的不等关系，即满足的约束条件，由约束条件画出可行域；要求应作怎样的组合投资，可使获利最大，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数与直线截距的关系，进而求出最优解．
【详解】
设生产产品百吨，生产产品百吨，利润为百万元
则约束条件为：，作出不等式组所表示的平面区域：

目标函数为.
由解得.
使目标函数为化为
要使得最大，即需要直线在轴的截距最大即可.
由图可知当直线过点时截距最大.
此时
应作生产产品3.25百吨，生产产品2.5百吨的组合投资，可使获利最大．
故选：B．
在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．属于中档题.
10、A
【解析】
直接利用斜率相等列方程求解即可.
【详解】
因为直线与直线平行，
所以，
故选：A.
本题主要考查两直线平行的性质：斜率相等，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据极限的运算法则，合理化简、运算，即可求解.
【详解】
由极限的运算，可得.
故答案为：
本题主要考查了极限的运算法则的应用，其中解答熟记极限的运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12、①②
【解析】
根据题意作出折起后的几何图形，再根据线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，异面直线的判定定理等知识即可判断各选项的真假．
【详解】
作出折起后的几何图形，如图所示：．
因为，分别是，的中点，所以是的中位线，所以．
而面，所以面，①正确；无论怎样折起，始终有，所以面，即有，而，所以，②正确；折起后，面，面，且，故与是异面直线，③错误．
故答案为：①②．
本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，异面直线的判定定理等知识的应用，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于基础题．
13、15
【解析】
根据可得函数周期，作出函数一个周期上的图象，利用数形结合即可求解.
【详解】
函数在上恒有,
,
函数周期为4.
常数,
,
函数在区间上零点,即函数与直线及直线之间的直线的交点个数.
由，可得函数 一个周期内的图象，做草图如下：

由图可知，在一个周期内，函数有3个零点，
故函数在区间上有15个零点.
故填15.
本题主要考查了函数零点的个数判断，涉及数形结合思想在解题中的运用，属于难题.
14、
【解析】
先换元，令，所以，利用一次函数的单调性，列出等式，求出，然后利用正切型函数的周期公式求出即可．
【详解】
令，所以，由于，所以在上单调递减，即有，解得，
，故最小正周期为．
本题主要考查三角函数的性质的应用，正切型函数周期公式的应用，以及换元法的应用．
15、2
【解析】
设由正弦定理得
16、
【解析】
解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直，
所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，
∵长方体的对角线的长为：，
∴球的直径是，半径为，
∴三棱锥B﹣ACD的外接球的表面积为：4π5π．
故答案为5π
考点：外接球.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）依题意可得、，再根据，计算可得；
（2）设存在实数，使得，由因为，所以存在实数，
使，再根据向量相等的充要条件得到方程组，解得即可；
【详解】
解：（1）因为D是线段AB上靠近B的一个三等分点，所以.
因为E是线段AC上靠近A的一个四等分点，所以，
所以.
因为，所以，
则
.
又，.
所以.
（2）因为G是线段BC上一点，所以存在实数，使得，
则

因为，所以存在实数，
使，即，
整理得解得，
故.
本题考查平面向量的线性运算及平面向量共线定理的应用，属于中档题.
18、（1）（2）
【解析】
(1)根据直线垂直的公式求解即可.
(2)根据直线平行的公式求解,再利用平行线间的距离公式求解即可.
【详解】
解（1）∵与互相垂直,∴,解得．
（2）由与互相平行,∴,解得．
直线化为：,
∴与间的距离．
本题主要考查了直线平行与垂直以及平行线间的距离公式.属于基础题.
19、（1）（2）不存在这样的实数,理由见解析（3）见解析
【解析】
（1）代入的值,通过讨论的范围,求出不等式的解集即可；
（2）通过讨论的范围,求出函数的单调区间,再求出函数的最值,得到关于的不等式组,解出并判断即可；
（3）通过讨论的范围,判断函数的零点个数即可
【详解】
（1）当时,,
则当时,,解得或,故；
当时,,解集为,
综上,的解集为
（2）,显然,,
①当时,则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
因为函数在上既有最大值又有最小值,
所以,,
则,即,解得,
故不存在这样的实数；
②当时,则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
因为函数在上既有最大值又有最小值,
故,,
则,即,解得,
故不存在这样的实数；
③当时,则为上的递增函数,
故函数在上不存在最大值和最小值,
综上,不存在这样的实数
（3）当或时,函数的零点个数为1；
当或时,函数的零点个数为2；
当时,函数的零点个数为3
本题考查分段函数的应用,考查利用函数的单调性求最值,考查函数的零点个数,着重考查分类讨论思想
20、（1）（2）小时
【解析】
求出出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，求出对应的横标和纵标的积的和，求出横标的平方和，做出系数和的值，写出线性回归方程．
将代入回归直线方程，可得结论．
【详解】
解：由题意，，
，
于是回归方程；
由题意，时，

答：根据回归方程，加工能力10个零件，大约需要小时．
本题考查线性回归方程的求法和应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
21、（1）证明见解析；；（2）
【解析】
（1）先证明数列是以3为公比，以为首项的等比数列，从而，由此能求出的通项公式；（2）由（1）推导出，从而，利用错位相减法求和，利用放缩法证明．
【详解】
由，，
得，
，
数列是以3为公比，以为首项的等比数列，
从而，

数列满足，
，
，
，
两式相减得：
，

，，
本题主要考查等比数列的定义、通项公式与求和公式，以及错位相减法的应用，是中档题．一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.