2024-2025学年云南省昭通市实验中学数学高一第二学期期末教学质量检测试题含解析.doc

2024-2025学年云南省昭通市实验中学数学高一第二学期期末教学质量检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知单位向量，，满足.若点在内，且，，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．设变量想x、y满足约束条件为则目标函数的最大值为( )
A．0 B．-3 C．18 D．21
3．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差
4．数列中，若，，则（ ）
A．29 B．2563 C．2569 D．2557
5．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推，记此数列为，则( )
A．1 B．2 C．4 D．8
7．已知向量，满足且，若向量在向量方向上的投影为，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知则（ ）
A． B． C． D．
9．在数列中，若，，，设数列满足，则的前项和为（ ）
A． B． C． D．
10．已知下列各命题：
①两两相交且不共点的三条直线确定一个平面：
②若真线不平行于平面，则直线与平面有公共点：
③若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线：
④若两个二面角的两个面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补.
则其中正确的命题共有（ ）个
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，，则的最大值是__________．
12．已知腰长为的等腰直角△中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值 ________．
13．函数的最小正周期是________．
14．已知圆C的方程为，一定点为A(1,2)，要使过A点作圆的切线有两条，则a的取值范围是____________
15．在上定义运算，则不等式的解集为_____．
16．函数且的图象恒过定点A，若点A在直线上（其中m，n＞0），则的最小值等于__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求sin（B–C）的值．
18．已知平面向量，=(2x+3，-x)，(x∈R).
(1)若向量与向量垂直，求；
(2)若与夹角为锐角，求的取值范围.
19．已知的顶点，边上的高所在直线为，为中点，且所在直线方程为.
（1）求顶点的坐标；
（2）求边所在的直线方程。
20．已知函数.
（1）用五点法作出函数在区间上的大致图象（列表、描点、连线）；
（2）若，，求的值.

21．爱心超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温单位：有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份每天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温

天数
2
16
36
25
7
4
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的频率；
（2）当六月份有一天这种酸奶的进货量为450瓶时，求这一天销售这种酸奶的平均利润（单位：元）
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
设，对比得到答案.
【详解】
设 ，则

故答案为D
本题考查了向量的计算，意在考查学生的计算能力.
2、C
【解析】
画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.故选C.

本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.
3、A
【解析】
可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．
【详解】
设9位评委评分按从小到大排列为．
则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，
中位数仍为，A正确．
②原始平均数，后来平均数
平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确
③
由②易知，C不正确．
④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．
本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.
4、D
【解析】
利用递推关系，构造等比数列，进而求得的表达式，即可求出，也就可以得到的值。
【详解】
数列中，若，，
可得，所以是等比数列，公比为2，首项为5，
所以，．
本题主要考查数列的通项公式的求法——构造法。利用递推关系，选择合适的求解方法是解决问题的关键，常见的数列的通项公式的求法有：公式法，累加法，累乘法，构造法，取倒数法等。
5、C
【解析】
试题分析：若，那么，A错；，B错；是单调递减函数当时，所以，C.正确；是减函数，所以，故选C.
考点：不等式
6、C
【解析】
将数列分组：第1组为，第2组为，第3组为，，根据，进而得到数列的2017项为，数列的第2018项为，数列的第2019项为，即可求解.
【详解】
将所给的数列分组：第1组为，第2组为，第3组为，，
则数列的前n组共有项，
又由，所以数列的前63组共有2016项，
所以数列的2017项为，数列的第2018项为，数列的第2019项为，
所以
故选：C.
本题主要考查了等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中根据所给数列合理分组，结合等差数列的前n项和求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
7、A
【解析】
由，即，
所以，
由向量在向量方向上的投影为，则，
即，所以，故选A．
8、B
【解析】
根据条件式,判断出,,且.由不等式性质、基本不等式性质或特殊值即可判断选项.
【详解】
因为
所以可得,,且
对于A,由对数函数的图像与性质可知,,所以A错误;
对于B,由基本不等式可知,即
由于,则,所以B正确;
对于C,由条件可得,所以C错误;
对于D,当时满足条件,但,所以D错误.
综上可知,B为正确选项
故选:B
本题考查了不等式性质的综合应用,根据基本不等式求最值,属于基础题.
9、D
【解析】
利用等差中项法得知数列为等差数列，根据已知条件可求出等差数列的首项与公差，由此可得出数列的通项公式，利用对数与指数的互化可得出数列的通项公式，并得知数列为等比数列，利用等比数列前项和公式可求出.
【详解】
由可得，
可知是首项为，公差为的等差数列，
所以，即．由，可得，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
因此，数列的前项和为，故选D.
本题考查利用等差中项法判断等差数列，同时也考查了对数与指数的互化以及等比数列的求和公式，解题的关键在于结合已知条件确定数列的类型，并求出数列的通项公式，考查运算求解能力，属于中等题.
10、B
【解析】
①利用平面的基本性质判断.②利用直线与平面的位置关系判断.③由面面垂直的性质定理判断.④通过举反例来判断.
【详解】
①两两相交且不共点，形成三个不共线的点，确定一个平面，故正确.
②若真线不平行于平面，则直线与平面相交或在平面内，所以有公共点，故正确.
③若两个平面垂直，则一个平面内，若垂直交线的直线则垂直另一个平面，垂直另一平面内所有直线，若不垂直与交线，也与另一平面内垂直交线的直线及其平行线垂直，也有无数条，故正确.
④若两个二面角的两个面分别对应垂直，则这两个二面角关系不确定，如图：

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角D-AA1-F与二面角D1-DC-A的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补．故错误..
故选：B
本题主要考查了点、线、面的位置关系，还考查了推理论证和理解辨析的能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、3
【解析】
函数在上为减函数，故最大值为.
12、
【解析】

如图建立平面直角坐标系，
∴
，
当sin时，得到最小值为，故选．
13、
【解析】
根据周期公式即可求解.
【详解】
函数的最小正周期
故答案为：
本题主要考查了正弦型函数的周期，属于基础题.
14、
【解析】
使过A点作圆的切线有两条，定点在圆外，代入圆方程计算得到答案.
【详解】
已知圆C的方程为，

要使过A点作圆的切线有两条
即点A(1,2)在圆C外：恒成立.
综上所述：
故答案为：
本题考查了点和圆的位置关系，通过切线数量判断位置关系是解题的关键.
15、
【解析】
根据定义运算，把化简得，求出其解集即可．
【详解】
因为，所以，
即，得，解得：
故答案为：．
本题考查新定义，以及解一元二次不等式，考查运算的能力，属于基础题．
16、1
【解析】
由题意可得定点，，把要求的式子化为，利用基本不等式求得结果．
【详解】
解：且
令解得，则
即函数过定点，又点在直线上，，
则，当且仅当 时，
等号成立，
故答案为：1．
本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为，是解题的关键，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
【解析】
(Ⅰ)由题意列出关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定b,c的值；
(Ⅱ)由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得的值.
【详解】
(Ⅰ)由题意可得：，解得：.
(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得：，
结合正弦定理可得：，
很明显角C为锐角，故，
故.
本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18、（1）10或2； （2）.
【解析】
(1)由向量与向量垂直，求得或，进而求得的坐标，利用模的计算公式，即可求解；
(2)因为与夹角为锐角，所以，且与不共线，列出不等关系式，即可求解.
【详解】
(1)由题意，平面向量，，
由向量与向量垂直，则，解得或，
当时，，则，所；
当时，，则，所，
(2)因为与夹角为锐角，所以，且与不共线，
即且，
解得，且，
即的取值范围为.
本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的垂直条件，以及向量的数量积的应用，着重考查了推理运算能力，属于基础题.
19、 (1) (2)
【解析】
（1）联立直线的方程，求出点坐标；（2）求出点，利用坐标求直线的斜率，再用点斜式求直线方程.
【详解】
由及边上的高所在直线为，
得所在直线方程为
又所在直线方程为
由，得.
（2）设，又，为中点，则，
由已知得，得，
又得直线的方程为.
考查直线的垂直关系、直线的交点坐标、直线方程的求法等，考查运算求解能力.
20、（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）将分别取、、、、，求出对应的值和的值，并列出表格，利用五点法可作出函数在区间上的大致图象；
（2）利用同角三角函数的基本关系求出、、的值，代入计算即可.
【详解】
（1）列表如下：

作图如下：

（2）因为，，
所以，，.
所以.
本题考查正弦型函数“五点法”作图，同时也考查了利用同角三角函数的基本关系求值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
21、（1）；
（2）460元.
【解析】
（1）根据表中的数据，求得最高气温位于区间和最高气温低于20的天数，利用古典概型的概率计算公式，即可求得相应的概率；
（2）分别求出温度不低于、温度在，以及温度低于时的利润及相应的概率，即可求解这一天销售这种酸奶的平均利润，得到答案．
【详解】
（1）根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．
如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，
如果最高气温位于区间，需求量为300瓶，
如果最高气温低于20，需求量为200瓶，
得到最高气温位于区间和最高气温低于20的天数为，
所以六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的频率．
（2）当温度大于等于时，需求量为500瓶，利润为：元，
当温度在时，需求量为300瓶，
利润为：元，
当温度低于时，需求量为200瓶，
利润为：元，
平均利润为

本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及概率的实际应用，其中解答中认真审题，熟练应用古典概型及其概率的计算公式，以及平均利润的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．