2025年江西省鹰潭市第一中学高一数学第二学期期末调研试题含解析.doc

2025年江西省鹰潭市第一中学高一数学第二学期期末调研试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知点在直线上，若存在满足该条件的使得不等式成立，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
2．在中，内角所对的边分别为.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．0
3．已知圆与圆有3条公切线，则（ ）
A． B．或 C． D．或
4．在中, ,是的内心,若,其中,动点的轨迹所覆盖的面积为(   )
A． B． C． D．
5．在中，若，，，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．若对任意，不等式恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
9．若，，且与夹角为，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
10．下列结论正确的是（ ）
A．若则； B．若，则
C．若，则 D．若，则；
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．给出下列四个命题：
①正切函数 在定义域内是增函数；
②若函数，则对任意的实数都有；
③函数的最小正周期是；
④与的图象相同.
以上四个命题中正确的有_________（填写所有正确命题的序号）
12．若关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是{x|x<－2或x>－1}，则关于x的不等式cx2＋bx＋a>0的解集是____________．
13．下列命题中：
①若，则的最大值为；
②当时，；
③的最小值为； ④当且仅当均为正数时，恒成立.
其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号)
14．已知等差数列的前n项和为，若，，，则________
15．已知等比数列的前项和为，，则的值是__________.
16．函数单调递减区间是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在 中，内角 的对边分别为，已知 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求 边上的高.
18．已知函数，且的解集为.
（1）求函数的解析式；
（2）解关于的不等式，；
（3）设，若对于任意的都有，求的最小值.
19．已知集合，，求.
20．如图，四棱锥中，菱形所在的平面，是的中点，是的中点.

（1）求证：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
21．已知从甲地到乙地的公路里程约为240（单位：km）.某汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度x（单位：）（）的关系近似符合以下两种函数模型中的一种（假定速度大小恒定）：①，②，经多次检验得到以下一组数据：
x
0
40
60
120
Q
0

20
（1）你认为哪一个是符合实际的函数模型，请说明理由；
（2）从甲地到乙地，这辆车应以多少速度行驶才能使总耗油量最少？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
根据题干得到，存在满足该条件的使得不等式成立，即，再根据均值不等式得到最小值为9，再由二次不等式的解法得到结果.
【详解】
点在直线上,故得到，
存在满足该条件的使得不等式成立，即

故原题转化为
故答案为：B
本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.
2、D
【解析】
设利用余弦定理求cosC的值.
【详解】
设
所以.
故选D
本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3、B
【解析】
由两圆有3条公切线，可知两圆外切，则圆心距等于两圆半径之和，求解即可.
【详解】
由题意，圆与圆外切，所以，即，解得或.
本题考查了两圆外切的性质，考查了计算能力，属于基础题.
4、A
【解析】
画出图形，由已知条件便知P点在以BD， BP为邻边的平行四边形内，从而所求面积为2
倍的△AOB的面积，从而需求S△AOB：由余弦定理可以求出AB的长为5，根据O为△ABC
的内心，从而O到△ABC三边的距离相等，从而，由面积公式可以求
出△ABC的面积，从而求出△AOB的面积，这样2S△AOB便是所求的面积．
【详解】
如图，根据题意知，P点在以BP，BD为邻边的平行四边形内部，
∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△AOB；
在△ABC中，cos，AC=6，BC=7；
∴由余弦定理得，；
解得：AB=5，或AB=（舍去）；
又O为△ABC的内心；
所以内切圆半径r=,
所以
∴==；
∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为．
故答案为：A．

本题主要考查考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，余弦定理，以及三角形内心的定义，三角形的面积公式．意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的解题关键是找到P点所覆盖的区域.
5、D
【解析】
直接运用正弦定理求解即可.
【详解】
由正弦定理可知中：，故本题选D.
本题考查了正弦定理的应用，考查了数学运算能力.
6、D
【解析】
对任意，不等式恒成立，即恒成立，代入计算得到答案.
【详解】
对任意，不等式恒成立
即恒成立

故答案为D
本题考查了不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.
7、B
【解析】
，则，
所以，则，
易知，，则在单调递减，单调递增，
所以，故选B。
点睛：本题考查导数的综合应用。利用导数求函数的极值和最值是导数综合应用题型中的常见考法。通过求导，首先观察得到导函数的极值点，利用图象判断出单调增减区间，得到最值。
8、D
【解析】
四个交点中的任何一个到焦点的距离和都是，然后分析正六边形中的长度和焦距的关系，从而建立等式求解.
【详解】
设椭圆的焦点是，圆与椭圆的四个交点是,
设，，，
，
.
故选D.
本题考查了椭圆的定义和椭圆的性质，属于基础题型
9、B
【解析】
由题意利用两个向量数量积的定义，求得的值，再根据，计算求得结果．
【详解】
由题意若，，且与夹角为，可得，
.
故选：B．
本题考查向量数量积的定义、向量的模的方法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不要错选成A答案.
10、D
【解析】
根据不等式的性质，结合选项，进行逐一判断即可.
【详解】
因，则当时，；当时，，故A错误；
因，则或，故B错误；
因，才有，条件不足，故C错误；
因，则，则只能是，故D正确.
故选：D.
本题考查不等式的基本性质，需要对不等式的性质非常熟练，属基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、②③④
【解析】
①利用反例证明命题错误；②先判断为其中一条对称轴；③通过恒等变换化成；④对两个解析式进行变形，得到定义域和对应关系均一样.
【详解】
对①，当，显然，但，所以，不符合增函数的定义，故①错；
对②，当时，，所以为的一条对称轴，当取，取时，显然两个数关于直线对称，所以，即成立，故②对；
对③，，，故③对；
对④，因为，，两个函数的定义域都是，解析式均为，所以函数图象相同，故④对.
综上所述，故填：②③④.
本题对三角函数的定义域、值域、单调性、对称性、周期性等知识进行综合考查，求解过程中要注意数形结合思想的应用.
12、{x|－1<x<－}
【解析】
观察两个不等式的系数间的关系，得出其根的关系，
再由 和 的正负可得解.
【详解】
由已知可得：
的两个根是 和，且
将 方程两边同时除以 ，
得，
所以的两个根是 和 ，且
解集是
故得解.
本题考查一元二次方程和一元二次不等式间的关系，属于中档题.
13、①②
【解析】
根据均值不等式依次判断每个选项的正误，得到答案.
【详解】
①若，则的最大值为
，正确
②当时，
，时等号成立，正确
③的最小值为，
取 错误
④当且仅当均为正数时，恒成立
均为负数时也成立.
故答案为① ②
本题考查了均值不等式，掌握一正二定三相等的具体含义是解题的关键.
14、1
【解析】
由题意首先求得数列的公差，然后结合通项公式确定m的值即可.
【详解】
根据题意，设等差数列公差为d，
则，
又由，，则，，
则，解可得；
故答案为1．
本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的通项公式，属于中等题．
15、1
【解析】
根据等比数列前项和公式，由可得，通过化简可得，代入的值即可得结果.
【详解】
∵，∴，显然，
∴，∴，
∴，∴，故答案为1．
本题主要考查等比数列的前项和公式，本题解题的关键是看出数列的公比的值，属于基础题．
16、
【解析】
先求出函数的定义域，找出内外函数，根据同增异减即可求出.
【详解】
由，解得或，所以函数的定义域为.令，则函数在上单调递减，在上单调递增，又为增函数，则根据同增异减得，函数单调递减区间为.
复合函数法：复合函数的单调性规律是“同则增，异则减”，即与若具有相同的单调性，则为增函数，若具有不同的单调性，则必为减函数．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2）
【解析】
分析：(1)由，结合正弦定理可得，即；
（2）由，结合余弦定理可得，从而可求得 边上的高.
详解：（1）证明：因为，
所以 ，
所以 ，
故.
(2)解：因为，
所以.
又，所以，解得，
所以，
所以边上的高为.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
18、（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）1
【解析】
（1）根据韦达定理即可。
（2）分别对三种情况进行讨论。
（3）带入，分别对时三种情况讨论。
【详解】
（1）的解集为可得1，2是方程的两根，
则，
（2）
时，
时，
时，
（3），为上的奇函数

当时，
当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，且时，，在时，取得最大值，即；
当时，，则函数在上单调递减，在上单调递减，且时，，在时，取得最小值，即；
对于任意的都有则等价于
或（）
则的最小值为1
本题主要考查了含参数的一元二次不等式，以及绝对值不等式，在解决含参数的不等式时首先要对参数进行讨论。本题属于难题。
19、
【解析】
根据集合A，B的意义，求出集合A，B，再根据交集的运算求得结果即可．
【详解】
对于集合A， ，
对于集合B，当x<1时，故B＝；
故A∩B＝
故答案为
本题考查了交集的运算，准确计算集合A,B是关键，是基础题．
20、 (1)见证明；(2)
【解析】
(1)本题首先可以通过菱形的相关性质证明出，然后通过菱形所在的平面证明出，最后通过线面垂直的相关性质即可得出结果；
(2)可以将三角形当成三棱锥的底面，将当成三棱锥的高，最后通过三棱锥的体积计算公式即可得出结果．
【详解】
（1）证明：连接，
因为底面为菱形，，所以为正三角形，
因为是的中点，所以，
因为，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为，所以平面．
（2）,则，，
所以．
本题考查立体几何的相关性质，主要考查线面垂直的证明以及三棱锥体积的求法，可以通过证明平面外一条直线垂直平面内的两条相交直线来证明线面垂直，考查推理能力，是中档题．
21、（1）选择模型①，见解析；（2）80.
【解析】
（1）由题意可知所选函数模型应为单调递增函数，即可判断选择；
（2）将，代入函数型①，可得出的值，进而可得出总耗油量关于速度的函数关系式，进而得解.
【详解】
（1）选择模型①理由：由题意可知所选函数模型应为单调递增函数，而函数模型②为一个单调递减函数，故选择模型①.
（2）将，代入函数型①，可得：
，则，
总耗油量：，
当时，W有最小值30.甲地到乙地，这辆车以80 km/h的速度行驶才能使总耗油量最少.
本题考查函数模型的实际应用，考查逻辑思维能力，考查实际应用能力，属于常考题.