2025届重庆市七校联盟高一下数学期末检测试题含解析.doc

2025届重庆市七校联盟高一下数学期末检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图所示，向量，则（ ）

A． B． C． D．
2．如图，为正方体，下面结论错误的是（ ）

A．异面直线与所成的角为45° B．平面
C．平面平面 D．异面直线与所成的角为45°
3．已知关于的不等式的解集是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，是半圆的直径，垂直于半圆所在的平面，点是圆周上不同于的任意一点，分别为的中点，则下列结论正确的是( 　)

A． B．平面平面
C．与所成的角为45° D．平面
5．如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）

A． B． C． D．
6．已知是圆的一条弦，，则( )
A． B． C． D．与圆的半径有关
7．已知公式为正数的等比数列满足：，，则前5项和( )
A．31 B．21 C．15 D．11
8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．若，且满足，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90，89，90，95，93，94，93，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．92，2 B．92，2.8 C．93，2 D．93，2.8
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．将角度化为弧度：________.
12．四名学生按任意次序站成一排，则和都在边上的概率是___________.
13．在等腰中，为底边的中点，为的中点，直线与边交于点，若，则___________．
14．已知数列中，，，，则的值为 _____．
15．已知，则的值为__________．
16．已知向量，，若，则实数__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：
组号
分组
频数
频率
第1组
[50，60)
5
0.05
第2组
[60，70)

0.35
第3组
[70，80)
30

第4组
[80，90)
20
0.20
第5组
[90，100]
10
0.10
合计

100
1.00
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加市汉字听写比赛，并从中选出2人做种子选手，求2人中至少有1人是第4组的概率．
18．在中，角的对边分别是，已知，，.
(1)求的值；
(2)若角为锐角，求的值及的面积.
19．对于函数和实数，若存在，使成立，则称为函数关于的一个“生长点”.若为函数关于的一个“生长点”，则______.
20．已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.
（1）求与的值；
（2）若，求的值.
21．已知，其中，，．
（1）求的单调递增区间；
（2）在中，角，，所对的边分别为，，，，，且向量与共线，求边长和的值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据平面向量的加法的几何意义、平面向量的基本定理、平面向量数乘运算的性质，结合
进行求解即可.
【详解】
.
故选：A
本题考查了平面向量基本定理及加法运算的几何意义，考查了平面向量数乘运算的性质，属于基础题.
2、A
【解析】
根据正方体性质，依次证明线面平行和面面平行，根据直线的平行关系求异面直线的夹角.
【详解】
根据正方体性质，，所以异面直线与所成的角等于，，，所以不等于45°，所以A选项说法不正确；
，四边形为平行四边形，，平面，平面，所以平面，所以B选项说法正确；
同理可证：平面，是平面内两条相交直线，所以平面平面，所以C选项说法正确；
，异面直线与所成的角等于，所以D选项说法正确.
故选：A
此题考查线面平行和面面平行的判定，根据平行关系求异面直线的夹角，考查空间线线平行和线面平行关系的掌握
3、A
【解析】
先利用韦达定理得到关于a,b的方程组，解方程组即得a,b的值，即得解.
【详解】
由题得，
所以a+b=7.
故选：A
本题主要考查一元二次不等式的解集，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4、B
【解析】
对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
A.，分别为，的中点，
，又，与所成的角为，故不正确；
，，不成立，故A不正确．
B. 是的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，
，
垂直所在的平面，所在的平面，
，
又，平面，
又平面，平面平面，故B正确；
C. 是的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，
，又、、、共面，与不垂直，
平面不成立，故不正确；
，分别为，的中点，
，又，与所成的角为，故不正确；
D. 是的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，
，又、、、共面，与不垂直，
平面不成立，故D不正确.
故选B.
本题主要考查空间位置关系的证明，考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
5、D
【解析】

连结，∵，
∴是异面直线与所成角（或所成角的补角），
∵在直三棱柱中，，，，
∴，，，，
∴，
∴异面直线与所成角的余弦值为，故选D.
6、C
【解析】
由数量积的几何意义，利用外心的几何特征计算即可得解.
【详解】
是圆的一条弦,易知在方向上的投影恰好为，
所以=||||==2.故选C.
本题考查了数量积的运算，利用定义求解要确定模长及夹角，属于基础题.
7、A
【解析】
由条件求出数列的公比．再利用等比数列的前项求和公式即可得出．
【详解】
公比为正数的等比数列满足：，
则，即.
所以,所以.
故选：A
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8、C
【解析】
根据正弦定理，得到的值，然后判断出，从而得到.
【详解】
在中，由正弦定理
得，所以，
因为，，
所以，所以为锐角，
所以.
故选：C.
本题考查余弦定理解三角形，属于简单题.
9、C
【解析】
通过反例可依次排除选项；根据不等式的性质可判断出正确.
【详解】
选项：若，，则，可知错误；
选项：若，，则，可知错误；
选项：
又 ，可知正确；
选项：当时，，可知错误.
本题正确选项：
本题考查不等式性质的应用，解决此类问题通常采用排除法，利用反例来排除错误选项即可，属于基础题.
10、B
【解析】
由平均数与方差的计算公式，计算90，90， 93，94，93五个数的平均数和方差即可.
【详解】
90，89，90，95，93，94，93，去掉一个最高分和一个最低分后是90，90， 93，94，93，
所以其平均数为，
因此方差为.
故选B
本题主要考查平均数与方差的计算，熟记公式即可，属于基础题型.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据角度和弧度的互化公式求解即可.
【详解】
.
故答案为：.
本题考查角度和弧度的互化公式，属于基础题.
12、
【解析】
写出四名学生站成一排的所有可能情况，得出和都在边上的情况即可求得概率.
【详解】
四名学生按任意次序站成一排，所有可能的情况为：
，
，
，
，共24种情况，
其中和都在边上共有，4种情况，
所以和都在边上的概率是.
故答案为：
此题考查古典概型，根据古典概型求概率，关键在于准确求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.
13、；
【解析】
题中已知等腰中，为底边的中点，不妨于为轴，垂直平分线为轴建立直角坐标系，这样，我们能求出点坐标，根据直线与求出交点，求向量的数量积即可.
【详解】

如上图，建立直角坐标系，我们可以得出
直线，联立方程求出,
,即
填写
本题中因为已知底边及高的长度，所有我们建立直角坐标系，求出相应点坐标，而作为F点的坐标我们可以通过直线交点求出，把向量数量积通过向量坐标运算来的更加直观.
14、1275
【解析】
根据递推关系式可求得，从而利用并项求和的方法将所求的和转化为，利用等差数列求和公式求得结果.
【详解】
由得：
则，即

本题正确结果：
本题考查并项求和法、等差数列求和公式的应用，关键是能够利用递推关系式得到数列相邻两项之间的关系，从而采用并项的方式来进行求解.
15、
【解析】
利用诱导公式将等式化简，可求出的值.
【详解】
由诱导公式可得，故答案为.
本题考查利用诱导公式化简求值，在利用诱导公式处理化简求值的问题时，要充分理解“奇变偶不变，符号看象限”这个规律，考查运算求解能力，属于基础题.
16、
【解析】
根据平面向量时，列方程求出的值．
【详解】
解：向量，，
若，则，
即，
解得．
故答案为：．
本题考查了平面向量的坐标运算应用问题，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) 35，0.30;(2).
【解析】
试题分析：（Ⅰ）直接利用频率和等于1求出b，用样本容量乘以频率求a的值；
（Ⅱ）由分层抽样方法求出所抽取的6人中第三、第四、第五组的学生数，利用列举法写出从中任意抽取2人的所有方法种数，查出2人至少1人来自第四组的事件个数，然后利用古典概型的概率计算公式求解．
试题解析：
（Ⅰ）a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30
（Ⅱ ）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，
每组分别为，第3组：×30＝3人，第4组：×20＝2人，第5组：×10＝1人，
所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人
设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．其中第4组被入选的有9种，
所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为＝
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
18、 (1)；(2)，.
【解析】
试题分析：（1）根据题意和正弦定理求出a的值；
（2）由二倍角的余弦公式变形求出，由的范围和平方关系求出，由余弦定理列出方程求出的值，代入三角形的面积公式求出的面积．
试题解析：(1)因为，，
由正弦定理，得.
(2)因为，且，
所以，.
由余弦定理，得，
解得或(舍)，所以.
19、
【解析】
由为函数关于的一个“生长点”，得到
由诱导公式可得答案.
【详解】
解：为函数关于的一个“生长点”，

，
故答案为：.
本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，及函数的创新题型，属于中档题.
20、（1），；（2）
【解析】
（1）根据最高顶点间的距离求出周期得，根据对称轴求出；
（2）根据题意求出，结合诱导公式及和差公式求解.
【详解】
解：（1）因的图象上相邻两个最高点的距离为，
∴的最小正周期，从而.
又因的图象关于直线对称，
∴.
∵，
∴，此时.
（2）由（1）得，
∴，
由得，
∴，
∴
.
此题考查根据三角函数图像性质求参数的值，结合诱导公式和差公式处理三角求值的问题.
21、（1）;（2）．
【解析】
试题分析：（1）化简得，代入，求得增区间为；（2）由求得，余弦定理得.因为向量与共线,所以,由正弦定理得，解得.
试题解析：
（1）由题意知,,
在上单调递增,令,得,的单调递增区间.
（2）,又,
即.,由余弦定理得.因为向量与共线,所以,由正弦定理得.
考点：三角函数恒等变形、解三角形．