2024-2025学年上海市嘉定、长宁区数学高一第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

2024-2025学年上海市嘉定、长宁区数学高一第二学期期末学业水平测试模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，为的面积，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．某学校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，若女学生一共抽取了80人，则n的值为（ ）
A．193 B．192 C．191 D．190
3．用表示不超过的最大整数（如，）.数列满足，若，则的所有可能值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，若成等比数列，则
A． B．
C． D．
5．的斜二测直观图如图所示，则原的面积为（ ）

A． B．1 C． D．2
6．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于(　　)
A．π B．π
C．16π D．32π
7．已知两个正数a，b满足，则的最小值是(    )
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知函数，且此函数的图象如图所示，由点的坐标是（　　）

A． B． C． D．
9．．在各项均为正数的等比数列中，若，则…等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．已知等差数列的前项和，若，则（ ）
A．25 B．39 C．45 D．54
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设函数是定义在上的偶函数，且对称轴为，已知当时，，则有下列结论：①2是函数的周期；②函数在上递减，在上递增；③函数的最小值是0，最大值是1；④当时，.其中所有正确结论的序号是_________.
12．已知是等比数列，，，则公比______.
13．计算：________.
14．已知扇形的半径为6，圆心角为，则该扇形的面积为_______.
15．已知向量 ， ，若向量 与 垂直，则 __________．
16．一个几何体的三视图如图所示（单位:m）,则该几何体的体积为 .

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图．在四棱锥中，，，平面ABCD，且．，，M、N分别为棱PC，PB的中点.

（1）证明：A，D，M，N四点共面，且平面ADMN；
（2）求直线BD与平面ADMN所成角的正弦值．
18．如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，，
（I）证明：平面平面；
（II）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.

19．2021年广东新高考将实行“”模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共选六科参加高考.其中偏理方向是二选一时选物理，偏文方向是二选一时选历史，对后四科选择没有限定.
（1）小明随机选课，求他选择偏理方向及生物学科的概率；
（2）小明、小吴同时随机选课，约定选择偏理方向及生物学科，求他们选课相同的概率.
20．正四面体是侧棱与底面边长都相等的正三棱锥，它的对棱互相垂直.有一个如图所示的正四面体，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点.

（1）求证：面EFG；
（2）求异面直线EG与AC所成角的大小.
21．已知数列，，满足，，，.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）设，求数列，的前n项和.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
先由正弦定理，将化为，结合余弦定理，求出，再结合正弦定理与三角形面积公式，可得，化简整理，即可得出结果.
【详解】
因为，所以可化为
，即，
可得，所以.
又由正弦定理得，，
所以，
当且仅当时，取得最大值.
故选C
本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.
2、B
【解析】
按分层抽样的定义，按比例计算．
【详解】
由题意，解得．
故选：B.
本题考查分层抽样，属于简单题．
3、C
【解析】
数列取倒数，利用累加法得到通项公式，再判断的所有可能值.
【详解】
两边取倒数：

利用累加法：

为递增数列.

计算： ，整数部分为0
，整数部分为1
，整数部分为2

的所有可能值的个数为0,1,2
答案选C
本题考查了累加法求数列和，综合性强，意在考查学生对于新知识的阅读理解能力，解决问题的能力，和计算能力.
4、B
【解析】
∵等差数列，，，成等比数列，∴，
∴，∴，，故选B.
考点：1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念
5、D
【解析】
根据直观图可计算其面积为，原的面积为，由得结论.
【详解】
由题意可得，
所以由，即.
故选：D.
本题考查了斜二侧画直观图，三角形的面积公式，需要注意的是与原图与直观图的面积之比为，属于基础题.
6、B
【解析】
作轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，外接球的截面是圆为球的大圆是的外接圆，由图可得球的半径与圆锥的关系．
【详解】

如图，作轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，的外接圆是球的大圆，
设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的体积V＝πR3＝π×23＝π，
故选B．
本题考查球的体积，关键是确定圆锥的外接球与圆锥之间的关系，即球半径与圆锥的高和底面半径之间的联系，而这个联系在其轴截面中正好体现．
7、D
【解析】
根据题意，分析可得，对其变形可得，由基本不等式分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，正数，满足，
则；
即的最小值是；
故选：．
本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式应用的条件．
8、B
【解析】
先由函数图象与轴的相邻两个交点确定该函数的最小正周期，并利用周期公式求出的值，再将点代入函数解析式，并结合函数在该点附近的单调性求出的值，即可得出答案。
【详解】
解：由图象可得函数的周期∴，得，
将代入可得，∴ （注意此点位于函数减区间上）
∴
由可得，
∴点的坐标是，
故选：B．
本题考查利用图象求三角函数的解析式，其步骤如下：
①求、：，；
②求：利用一些关键点求出最小正周期，再由公式求出；
③求：代入关键点求出初相，如果代对称中心点要注意附近的单调性。
9、C
【解析】
因为数列为等比数列，所以，
所以.
10、A
【解析】
设等差数列的公差为，从而根据，即可求出，这样根据等差数列的前项和公式即可求出．
【详解】
解：设等差数列的公差为，
则由，得：
，
，
，
故选：A．
本题主要考查等差数列的通项公式和等差数列的前项和公式，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、①②④
【解析】
依据题意作出函数的图像，通过图像可以判断以下结论是否正确。
【详解】

作出函数的图像，由图像可知2是函数的周期，函数在上递减，在上递增，函数的最小值是0.5，最大值是1,
当时， ，
故正确的结论有①②④。
本题主要考查函数的图像与性质以及数形结合思想，意在考查学生的逻辑推理能力。
12、
【解析】
利用等比数列的性质可求.
【详解】
设等比数列的公比为，则，故.
故答案为：
一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2） （为公比）；
（3）公比时，则有，其中为常数且；
（4） 为等比数列（ ）且公比为.
13、3
【解析】
直接利用数列的极限的运算法则求解即可．
【详解】
.
故答案为：3
本题考查数列的极限的运算法则，考查计算能力，属于基础题．
14、
【解析】
用弧度制表示出圆心角，然后根据扇形面积公式计算出扇形的面积.
【详解】
圆心角为对应的弧度为，所以扇形的面积为.
故答案为：
本小题主要考查角度制和弧度制互化，考查扇形面积的计算，属于基础题.
15、
【解析】
，所以，解得．
16、
【解析】
该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱组合而成,所以该几何体的体积为.
考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) 证明见解析；(2)
【解析】
（1）先证，再证，即可得证；要证平面ADMN，可通过求证PB垂直于ADMN中的两条交线来证明
（2）求直线BD与平面ADMN所成角，需要找出BD在平面ADMN的射影，可通过三垂线定理去进行证明
【详解】
解：（1）证明因为M，N分别为PC，PB的中点，所以；
又因为，所以．从而A，D，M，N四点共面；
因为平面ABCD，平面ABCD．所以，
又因为，，所以平面PAB，从而，
因为，且N为PB的中点，所以；
又因为，所以平面ADMN；
（2）如图，连结DN；

由（1）知平面ADMN，
所以，DN为直线BD在平面ADMN内的射影，且，
所以，即为直线BD与平面ADMN所成的角：
在直角梯形ABCD内，过C作于H，则四边形ABCH为矩形；
，在中，；
所以，，，
在中，，，，
所以.
综上，直线BD与平面ADMN所成角的正弦值为.
本题考查了线面垂直的判定定理，考查了线面角的求解方法，考查了运算能力及空间想象能力，属于中档题.
18、（1）见解析（2）3+2
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由四边形ABCD为菱形知ACBD，由BE平面ABCD知ACBE，由线面垂直判定定理知AC平面BED，由面面垂直的判定定理知平面平面；（Ⅱ）设AB=，通过解直角三角形将AG、GC、GB、GD用x表示出来，在AEC中，用x表示EG，在EBG中，用x表示EB，根据条件三棱锥的体积为求出x，即可求出三棱锥的侧面积.
试题解析：（Ⅰ）因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD，
因为BE平面ABCD，所以ACBE，故AC平面BED.
又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED
（Ⅱ）设AB=，在菱形ABCD中，由ABC=120°，可得AG=GC= ,GB=GD=.
因为AEEC，所以在AEC中，可得EG= .
由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BE=.
由已知得，三棱锥E-ACD的体积.故=2
从而可得AE=EC=ED=.
所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.
故三棱锥E-ACD的侧面积为.
考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力
19、（1）；（2）
【解析】
（1）利用列举法,列举出偏理方向和偏文方向的所有情况,即可求得小明选择偏理方向且选择了生物学科的概率.
（2）利用列举法,列举出两个人选择偏理方向且带有生物学科的所有可能,即可求得两人选课相同的概率.
【详解】
（1）由题意知,选六科参加高考有偏理方向：（物,政,地）、（物,政,化）、（物,政,生）、（物,地,化）、（物,地,生）、（物,化,生）六种选择；
偏文方向有：（史,政,地）、（史,政,化）、（史,政,生）、（史,地,化）、（史,地,生）、（史,化,生）六种选择.
由以上可知共有12种选课模式.
小明选择偏理方向又选择生物的概率为.
（2）小明选择偏理且有生物学科的可能有：（物,政,生）、（物,地,生）、（物,化,生）三种选择,
同样小吴也是三种选择；两人选课模式有：[（物,政,生）,（物,政,生）]、[（物,政,生）,（物,地,生]、[（物,政,生）,（物,化,生）]、[（物,地,生）,（物,政,生）]、[（物,地,生）,（物,地,生）[（物,地,生）,（物,化,生）]、[（物,化,生）,（物,政,生）]、[（物,化, 生）,（物,地,生）[（物,化,生）,（物,化,生）]
由以上可知共有9种选课法,两人选课相同有三种,
所以两人选课相同的概率.
本题考查了古典概型概率的求法,利用列举法写出所有可能即可求解,属于基础题.
20、（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）连接EF，FG，GE，通过三角形的中位线可得，进而可得面EFG；
（2）由题可得为异面直线EG与AC所成角，根据正四棱锥的特点得到为等腰直角三角形，进而可得结果.
【详解】
解：（1）连接EF，FG，GE，如图，

E，F分别是棱AB，BC的中点，
，又面EFG，面EFG，
面EFG；
（2）由（1），则为异面直线EG与AC所成角，
AC与BD是正四面体的对棱，
，又，
，
又 ，
为等腰直角三角形，
，
即异面直线EG与AC所成角的大小为.
本题考查线面平行的证明，以及异面直线所成的角，通过直线平行找到异面直线所成角的平面角是关键，本题难度不大.
21、（1）（2）
【解析】
（1）由数列的递推公式得到和的关系式，进而推导出满足的关系式，进而求得数列的通项公式；
（2）的通项公式是由等差数列的项乘以等比数列的项，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前n项和.
【详解】
（1）由题意，知，则，即，
又由，所以，所以，所以，
，，
，
.
（2）由（1）知：，
，
，
两式相减得：
.
本题主要考查数列的递推公式的应用、以及“错位相减法”求和，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.