2025届湖北省随州市普通高中高一下数学期末质量检测试题含解析.doc

2025届湖北省随州市普通高中高一下数学期末质量检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若存在正实数，使得，则（ ）
A．实数的最大值为 B．实数的最小值为
C．实数的最大值为 D．实数的最小值为
2．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150，120，180，150个销售点．公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本．记这项调查为①；在丙地区有20个大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是(　　)
A．分层抽样法，系统抽样法 B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法
3．执行如下图所示的程序框图，若输出的，则输入的的值为（ ）

A． B． C． D．
4．从3位男运动员和4位女运动员中选派3人参加记者招待会，至少有1位男运动员和1位女运动员的选法有（ ）种
A． B． C． D．
5．如图，各棱长均为的正三棱柱，、分别为线段、上的动点，且平面，，中点轨迹长度为，则正三棱柱的体积为（ ）

A． B． C．3 D．
6．不等式 的解集为( )
A．(-4，1) B．(-1，4)
C．(-∞，-4)∪(1，+∞) D．(-∞，-1)∪(4,+∞）
7．若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知的三个内角所对的边为，面积为，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．对任意实数x，表示不超过x的最大整数，如，，关于函数，有下列命题：①是周期函数；②是偶函数；③函数的值域为；④函数在区间内有两个不同的零点，其中正确的命题为( )
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④
10． (2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有

A．14斛 B．22斛
C．36斛 D．66斛
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．直线的倾斜角为__________．
12．如图，在中，，，，则________.

13．在中，，，，则的面积是__________.
14．已知，则与的夹角等于____.
15．已知数列满足，若，则数列的通项______.
16．已知数列满足:,则___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．的内角、、的对边分别为、、,且．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，且边上的中线的长为,求边的值．
18．已知所在平面内一点，满足：的中点为，的中点为，的中点为.设，，如图，试用，表示向量.

19．已知数列满足，且（，且）.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式
（3）设数列的前项和，求证：.
20．已知，是第四象限角，求和的值.
21．在△中，，，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的大小．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
将题目所给方程转化为关于的一元二次方程，根据此方程在上有解列不等式组，解不等式组求得的取值范围，进而求出正确选项.
【详解】
由得，当时，方程为不和题意，故这是关于的一元二次方程，依题意可知，该方程在上有解，注意到，所以由解得，故实数的最大值为，所以选C.
本小题主要考查一元二次方程根的分布问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
2、B
【解析】
此题为抽样方法的选取问题．当总体中个体较少时宜采用简单随机抽样法；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较多时，宜采用系统抽样．
【详解】
依据题意，第①项调查中，总体中的个体差异较大，应采用分层抽样法；第②项调查总体中个体较少，应采用简单随机抽样法．
故选B．
本题考查随机抽样知识，属基本题型、基本概念的考查．
3、D
【解析】
由题意，当输入，则；；
； ，终止循环，
则输出，所以，故选D.
4、C
【解析】
利用分类原理，选出的3人中，有1男2女，有2男1女，两种情况相加得到选法总数.
【详解】
（1）3人中有1男2女，即；（2）3人中有2男1女，即；
所以选法总数为，故选C.
分类加法原理和分步乘法原理进行计算时，要注意分类的标准，不出现重复或遗漏情况，本题若是按先选1个男的，再选1个女的，最后从剩下的5人中选1人，则会出现重复现象.
5、D
【解析】
设的中点分别为，判断出中点的轨迹是等边三角形的高，由此计算出正三棱柱的边长，进而计算出正三棱柱的体积.
【详解】
设的中点分别为，连接.由于平面，所以.当时，中点为平面的中心，即的中点（设为点）处.当时，此时的中点为的中点.所以点的轨迹是三角形的高.由于三角形是等边三角形，而，所以.故正三棱柱的体积为.
故选：D

本小题主要考查线面平行的有关性质，考查棱柱的体积计算，考查空间想象能力，考查分析与解决问题的能力，属于中档题.
6、A
【解析】
将原不等式化简并因式分解，由此求得不等式的解集.
【详解】
原不等式等价于，即，解得.
故选A.
本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
7、A
【解析】
该不等式为一元二次不等式，根据一元二次函数的图象与性质可得，的图象是开口向下且与x轴没有交点，从而可得关于参数的不等式组，解之可得结果.
【详解】
不等式为一元二次不等式，故，
根据一元二次函数的图象与性质可得，
的图象是开口向下且与x轴没有交点，
则，解不等式组，得.
故本题正确答案为A.
本题考查一元二次不等式恒成立问题，考查一元二次函数的图象与性质，注意数形结合的运用，属基础题.
8、C
【解析】
利用三角形面积公式可得，结合正弦定理及三角恒等变换知识可得，从而得到角A.
【详解】
∵
∴
即
∴
∴
∴，
∴（舍）
∴
故选C
此题考查了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，熟练掌握边角的转化是解本题的关键．
9、A
【解析】
根据的表达式，结合函数的周期性，奇偶性和值域分别进行判断即可得到结论.
【详解】

是周期函数，3是它的一个周期，故①正确.
,结合函数的周期性可得函数的值域为，则函数不是偶函数，故②错误.
，故在区间内有3个不同的零点，故④错误.
故选：A
本题考查了取整函数综合问题，考查了学习综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于难题.
10、B
【解析】
试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.
考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
试题分析：由直线方程可知斜率
考点：直线倾斜角与斜率
12、
【解析】
先将转化为和为基底的两组向量，然后通过数量积即可得到答案.
【详解】
，
.
本题主要考查向量的基本运算，数量积运算，意在考查学生的分析能力和计算能力.
13、
【解析】
计算，等腰三角形计算面积，作底边上的高，计算得到答案.
【详解】
，
过C作于D，则

故答案为
本题考查了三角形面积计算，属于简单题.
14、
【解析】
根据向量的坐标即可求出，根据向量夹角的公式即可求出．
【详解】
∵，，，
，∴，
又，∴．
故答案为：．
考查向量坐标的数量积运算，向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，属于基础题．
15、
【解析】
直接利用数列的递推关系式和叠加法求出结果．
【详解】
因为，所以当时，

. 时也成立.
所以数列的通项.
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在数列中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
16、0
【解析】
先由条件得，然后
【详解】
因为
所以
因为，且
所以，即
故答案为：0
本题考查的是数列的基础知识，较简单.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）4.
【解析】
（Ⅰ）利用正弦定理和三角恒等变换的公式化简即得；（Ⅱ）设，则，，由余弦定理得关于x的方程，解方程即得解.
【详解】
（Ⅰ）由题意，
∴，
∴，
则，
∵，∴， ∴；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又∵， ∴，
设，则，，
在中，由余弦定理得：，
即，解得，即．
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18、
【解析】
由为的中点，则可得,为的中点,则可得,从中可以求出向量,得到答案.
【详解】
由为的中点，则可得
.
又为的中点，

所以

本题考查向量的基本定理和向量的加减法的法则，属于中档题.
19、（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.
【解析】
（1）用定义证明得到答案.
（2）推出
（3）利用错位相减法和分组求和法得到，再证明不等式.
【详解】
解：（1）由，得，即.
∴数列是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）∵数列是以为首项，1为公差的等差数列，
∴，∴.
（3）

.
∴，
∴.
本题考查了等差数列的证明，分组求和法，错位相减法，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
20、，
【解析】
利用诱导公式可求的值，根据是第四象限角可求的值，最后根据三角函数的基本关系式可求的值，根据诱导公式及倍角公式可求的值.
【详解】
，
又是第四象限角，所以，
所以，
.
本题考查同角的三角函数的基本关系式、诱导公式以及二倍角公式，此题属于基础题.
21、（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）通过正弦定理易得，代入即可．（Ⅱ）三边长知道通过余弦定理即可求得的大小．
【详解】
（Ⅰ）因为，所以由正弦定理可得．因为，
所以．
（Ⅱ）由余弦定理 ．
因为三角形内角，所以．
此题考查正弦定理和余弦定理，记住公式很容易求解，属于简单题目．