2024-2025学年上海市徐汇区、金山区、松江区数学高一下期末联考试题含解析.doc

2024-2025学年上海市徐汇区、金山区、松江区数学高一下期末联考试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知正方体中，、分别为，的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．若等差数列的前10项之和大于其前21项之和，则的值（）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定
4．某校高一甲、乙两位同学的九科成绩如茎叶图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．甲、乙两人的各科平均分不同 B．甲、乙两人的中位数相同
C．甲各科成绩比乙各科成绩稳定 D．甲的众数是83，乙的众数为87
5．已知，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
6．已知是第二象限角，且，则的值为
A． B． C． D．
7．已知内角，，所对的边分别为，，且满足，则=（ ）
A． B． C． D．
8．中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于30里（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．点是角终边上一点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，平行四边形的对角线相交于点，是的中点，的延长线与相交于点，若，，，则( )

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若,则____________.
12．在直角坐标系中，直线与直线都经过点，若，则直线的一般方程是_____.
13．已知则sin2x的值为________.
14．将角度化为弧度：________.
15．不等式的解集为_____________________。
16．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则角_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列满足，令
（1）求证数列为等比数列，并求通项公式；
（2）求数列的前n项和.
18．正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，为中点.

(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
19．已知集合.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若集合，写出集合的所有子集.
20．某地区有小学21所，中学14所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取5所学校，对学生进行视力检查．
（1）求应从小学、中学中分别抽取的学校数目；
（2）若从抽取的5所学校中抽取2所学校作进一步数据分析：
①列出所有可能抽取的结果；
②求抽取的2所学校至少有一所中学的概率．
21．做一个体积为，高为2m的长方体容器，问底面的长和宽分别为多少时，所用的材料表面积最少？并求出其最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
根据函数的性质以及特殊位置即可利用排除法选出正确答案．
【详解】
因为函数定义域为，关于原点对称，而，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A，C；又因为，故排除B．
故选：D．
本题主要考查函数图象的识别，涉及余弦函数性质的应用，属于基础题．
2、A
【解析】
连接, 则，所以为所求的角．
【详解】
连结，，因为、分别为，的中点，所以，则为所求的角，设正方体棱长为1，则，，，三角形AD1B为直角三角形，,选择A
本题主要考查了异面直线所成的夹角;求异面直线的夹角，通常把其中一条直线平移到和另外一条直线相交即得异面直线所成的角．属于中等题．
3、C
【解析】
根据条件得到不等式，化简后可判断的情况.
【详解】
据题意：，则，所以，即，则：，
故选C.
本题考查等差数列前项和的应用，难度较易.等差数列前项和之间的关系可以转化为与的关系.
4、C
【解析】
分别计算出甲、乙两位同学成绩的平均分、中位数、众数，由此确定正确选项.
【详解】
甲的平均分为，乙的平均分，两人平均分相同，故A选项错误.
甲的中位数为，乙的中位数为，两人中位数不相同，故B选项错误.甲的众数是，乙的众数是，故D选项错误.所以正确的答案为C.由茎叶图可知，甲的数据比较集中，乙的数据比较分散，所以甲比较稳定.（因为方差运算量特别大，故不需要计算出方差.）
故选：C
本小题主要考查根据茎叶图比较平均数、中位数、众数、方差，属于基础题.
5、B
【解析】
先根据角的范围及平方关系求出和，然后可算出，进而可求出
【详解】
因为，，，
所以，，
所以，
所以

因为，所以
故选：B
在由三角函数的值求角时，应根据角的范围选择合适的三角函数，以免产生多的解.
6、B
【解析】
试题分析：因为是第二象限角，且，所以．
考点：两角和的正切公式．
7、A
【解析】
利用正弦定理以及和与差的正弦公式可得答案；
【详解】
∵0＜A＜π，
∴sinA≠0
由atanA＝bcosC+ccosB，
根据正弦定理：可得sinA•tanA＝sinBcosC+sinCcosB＝sin（B+C）＝sinA
∴•tanA＝1；
∴tanA，
那么A；
故选A．
本题考查三角形的正弦定理,,内角和定理以及和与差正弦公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
8、B
【解析】
由题意知，本题考查等比数列问题，此人每天的步数构成公比为的等比数列，由求和公式可得首项，进而求得答案．
【详解】
设第一天的步数为，依题意知此人每天的步数构成公比为的等比数列，
所以，解得，
由，，解得,故选B．
本题主要考查学生的数学抽象和数学建模能力．
9、A
【解析】
利用三角函数的定义求出的值，然后利用诱导公式可求出的值.
【详解】
由三角函数的定义可得，
由诱导公式可得.
故选A.
本题考查三角函数的定义，同时也考查了利用诱导公式求值，在利用诱导公式求值时，充分理解“奇变偶不变，符号看象限”这个规律，考查计算能力，属于基础题.
10、B
【解析】
先根据勾股定理判断为直角三角形，且，，再根据三角形相似可得，然后由向量的加减的几何意义以及向量的数量积公式计算即可．
【详解】
，，，
，
为直角三角形，且，，
平行行四边形的对角线相交于点，是的中点，
，，
，，
故选B．
本题主要考查向量的加减的几何意义以及向量的数量积公式的应用．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】

故答案为.
12、
【解析】
点代入的方程求出k，再由求出直线的斜率，即可写出直线的点斜式方程.
【详解】
将点代入直线得，，解得，
又，，于是的方程为，整理得.
故答案为：
本题考查直线的方程，属于基础题.
13、
【解析】
利用二倍角的余弦函数公式求出的值，再利用诱导公式化简，将的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：∵，，
则sin2x＝=，
故答案为.
此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．
14、
【解析】
根据角度和弧度的互化公式求解即可.
【详解】
.
故答案为：.
本题考查角度和弧度的互化公式，属于基础题.
15、或
【解析】
利用一元二次函数的图象或转化为一元一次不等式组解一元二次不等式.
【详解】
由，或，所以或，
不等式的解集为或.
本题考查解一元二次不等式，考查计算能力，属于基本题.
16、
【解析】
根据三角形面积公式和余弦定理可得，从而求得；由角的范围可确定角的取值.
【详解】

故答案为：
本题考查余弦定理和三角形面积公式的应用问题，关键是能够配凑出符合余弦定理的形式，进而得到所求角的三角函数值.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）由变形可得，即，于是可得数列为等比数列，进而得到通项公式；（2）由（1）得
，然后分为奇数、偶数两种情况，将转化为数列的求和问题解决．
【详解】
（1）∵，
∴，
∵，
∴．
又，
∴数列是首项为8，公比为3的等比数列，
∴．
（2）当为正偶数时，

．
当为正奇数时，

．
∴．
（1）证明数列为等比数列时，在运用定义证明的同时还要说明数列中不存在等于零的项，这一点容易忽视．
（2）数列求和时要根据数列通项公式的特点，选择合适的方法进行求解，求解时要注意确定数列的项数．
18、 (1)证明见解析；(2)
【解析】
(1)连接交于,连接,再证明即可.
(2)根据(1)中的可知异面直线与所成角的为,再计算的各边长分析出为直角三角形,继而求得即可.
【详解】
(1) 连接交于,连接.则为中点
因为分别为中点,故为中位线,故.
又面,面.
故平面.

(2)由(1)有异面直线与所成角即为与所成角即,
设正四棱锥的各边长均为2,则,,
.因为,故.
则.即异面直线与所成角的余弦值为
本题主要考查了线面平行的证明以及异面角的余弦求解,需要根据题意找到中位线证明线面平行,同时要将异面角利用平行转换为平面角,利用三角形中的关系求解.属于基础题.
19、（Ⅰ）（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）求解二次不等式从而求得集合A，利用指数函数的图像求出集合B，再进行并集运算即可；（Ⅱ）依次求出，，即可写出集合C的子集.
【详解】
（Ⅰ）由，得，即有，
于是.
作出函数的图象可知，于是,
所以，
（Ⅱ），，
集合的所有子集是：.
本题考查集合的基本运算，集合的子集，属于基础题.
20、（1）3所、2所；（2）①共10种 ；
②
【解析】
（1）根据分层抽样的方法，得到分层抽样的比例，即可求解样本中小学与中学抽取的学校数目；
（2）①3所小学分别记为；2所中学分别记为，利用列举法，即可求得抽取的2所学校的所有结果；
②利用古典概型的概率计算公式，即可求得相应的概率．
【详解】
（1）学校总数为35所，所以分层抽样的比例为，
计算各类学校应抽取的数目为：，
故从小学、中学中分别抽取的学校数目为3所、2所．
（2）①3所小学分别记为；2所中学分别记为
应抽取的2所学校的所有结果为：
共10种．
②设“抽取的2所学校至少有一所中学”作为事件．
其结果共有7种，所以概率为．
本题主要考查了分层抽样的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中认真审题，合理利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
21、长和宽均为4 m时，最小值为64
【解析】
利用体积求得ab=16，只需表示出表面积，结合高为2m，利用基本不等式求出最值即可.
【详解】
设底面的长和宽分别为，
因为体积为32，高为c=2m，
所以底面积为16，即ab=16
所用材料的面积S=2ab+2bc+2ca=32+4（a+b），当且仅当a=b=4时取等号，
答：当底面的长和宽均为4 m时，所用的材料表面积最少，其最小值为64
与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.