上海市青浦高中2025年高一数学第二学期期末统考试题含解析.doc

上海市青浦高中2025年高一数学第二学期期末统考试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在中，已知是边上一点，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有( )
A．1个 B．2个 C．无数个 D．1个或无数个
3．如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为（ ）海里/小时．

A． B．
C． D．
4．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
5．已知等差数列的前n项和为，则
A．140 B．70 C．154 D．77
6．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A． B． C． D．
7．在等比数列中，成等差数列，则公比等于（ ）
A．1 或 2 B．−1 或 −2 C．1 或 −2 D．−1 或 2
8．为了调查某工厂生产的一种产品的尺寸是否合格，现从500件产品中抽出10件进行检验，先将500件产品编号为000，001，002，…，499，在随机数表中任选一个数开始，例如选出第6行第8列的数4开始向右读取（为了便于说明，下面摘取了随机数表附表1的第6行至第8行)，即第一个号码为439，则选出的第4个号码是（ )

A．548 B．443 C．379 D．217
9．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：
①若m∥α，m∥β，则α∥β
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③m⊂α，n⊂β，m、n是异面直线，那么n与α相交；
④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．
其中正确的命题是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．④
10．如图，在等腰梯形中，，于点，则（ ）

A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，角的对边分别为，若面积，则角__________．
12．向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则以向量为邻边的平行四边形的面积是_________.

13．已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______．
14．设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________．
15．在公比为q的正项等比数列{an}中，a3＝9，则当3a2+a4取得最小值时，＝_____．
16．函数的最小正周期是______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“阿当数列”.
（1）若数列为“阿当数列”，且，，，求实数的取值范围；
（2）是否存在首项为1的等差数列为“阿当数列”，且其前项和满足？若存在，请求出的通项公式；若不存在，请说明理由.
（3）已知等比数列的每一项均为正整数，且为“阿当数列”，，，当数列不是“阿当数列”时，试判断数列是否为“阿当数列”，并说明理由.
18．已知函数的定义域为A，的定义域为B．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求实数的值及实数的取值范围．
19．（1）已知圆经过和两点，若圆心在直线上，求圆的方程；
（2）求过点、和的圆的方程.
20．在中，内角，，的对边分别为，，，已知.
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若，且的面积为，求的值．
21．在中，角所对的边分别为，，，，为的中点.

（1）求的长；
（2）求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
利用向量的减法将3，进行分解，然后根据条件，进行对比即可得到结论
【详解】
∵3，
∴33，
即43，
则，
∵λ，
∴λ，
故选A．
本题主要考查向量的基本定理的应用，根据向量的减法法则进行分解是解决本题的关键．
2、D
【解析】
讨论平面外一点和平面内一点连线，与平面垂直和不垂直两种情况.
【详解】
（1）设平面为平面，点为平面外一点，点为平面内一点，

此时，直线垂直底面，过直线的平面有无数多个与底面垂直；
（2）设平面为平面，点为平面外一点，点为平面内一点，
此时，直线与底面不垂直，过直线的平面，只有平面垂直底面.综上，过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有1个或无数个，故选D.
借助长方体研究空间中线、面位置关系问题，能使问题直观化，降低问题的抽象性.
3、C
【解析】
先求出的值，再根据正弦定理求出的值，从而求得船的航行速度.
【详解】
由题意，
在中，由正弦定理得
，得
所以船的航行速度为（海里/小时）
故选C项.
本题考查利用正弦定理解三角形，属于简单题.
4、A
【解析】
设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知
，当且仅当（或）时，取等号.
点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以
.
5、D
【解析】
利用等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质，即可求出结果.
【详解】
等差数列的前n项和为，
.
故选D.
本题考查等差数列的前n项和的求法和等差数列的性质，属于基础题.
6、A
【解析】
设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，可得，，求出，根据等差数列的通项公式，得到关于关系式，即可求出结论.
【详解】
设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，
依题意可得，，
，
，解得，
.
故选:A.
本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.
7、C
【解析】
设出基本量，利用等比数列的通项公式，再利用等差数列的中项关系，即可列出相应方程求解
【详解】
等比数列中，设首项为，公比为，
成等差数列，，即，
或
答案选C
本题考查等差数列和等比数列求基本量的问题，属于基础题
8、D
【解析】
利用随机数表写出每一个数字即得解.
【详解】
第一个号码为439，第二个号码为495，第三个号码为443，第四个号码为217.
故选：D
本题主要考查随机数表，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
9、D
【解析】
利用平面与平面垂直和平行的判定和性质，直线与平面平行的判断，对选项逐一判断即可．
【详解】
①若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，错误命题；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交．错误的命题；
③m⊂α，n⊂β，m、n是异面直线，那么n与α相交,也可能n∥α，是错误命题；
④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．是正确的命题．
故选D．
本题考查平面与平面的位置关系，直线与平面的位置关系，考查空间想象力，属于中档题.
10、A
【解析】
根据等腰三角形的性质可得是的中点，由平面向量的加法运算法则结合向量平行的性质可得结果.
【详解】

因为，
所以是的中点，
可得
，故选.
本题主要考查向量的几何运算以及向量平行的性质，属于简单题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据面积公式计算出的值，然后利用反三角函数求解出的值.
【详解】
因为，所以，则，则有：.
本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，难度较易.利用面积公式的时候要选择合适的公式进行化简，可根据所求角进行选择.
12、3
【解析】
将向量平移至相同的起点，写出向量对应的坐标，计算向量的夹角，从而求得面积.
【详解】
根据题意，将两个向量平移至相同的起点，以起点为原点建立坐标系如下所示：

则，
故.
又两向量的夹角为锐角，
故，
则该平行四边形的面积为.
故答案为：3.
本题考查用向量解决几何问题的能力，涉及向量坐标的求解，夹角的求解，属基础题.
13、
【解析】
先求出与的坐标，再根据与夹角是锐角，则它们的数量积为正值，且它们不共线，求出实数的取值范围，．
【详解】
向量，，，，
若与的夹角是锐角，则与不共线，且它们乘积为正值，
即，且，
求得，且．
本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角有关的问题，以及数量积的坐标表示，向量平行的条件等．条件的等价转化是解题的关键．
14、-8
【解析】
设等比数列的公比为，很明显，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：
，由可得：，代入①可得，
由等比数列的通项公式可得.
【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
15、
【解析】
利用等比数列的性质，结合基本不等式等号成立的条件，求得公比，由此求得的值.
【详解】
∵在公比为q的正项等比数列{an}中，a3＝9，根据等比数列的性质和基本不等式得，当且仅当，即，即q时，3a2+a4取得最小值，∴log3q＝log3．
故答案为：
本小题主要考查等比数列的性质，考查基本不等式的运用，属于基础题.
16、
【解析】
由二倍角的余弦函数公式化简解析式可得，根据三角函数的周期性及其求法即可得解．
【详解】
．
由周期公式可得：．
故答案为
本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）不存在，理由见详解；（3）见详解.
【解析】
（1）根据题意，得到，求解即可得出结果；
（2）先假设存在等差数列为“阿当数列”，设公差为，则，根据等差数列求和公式，结合题中条件，得到，即对任意都成立，判断出，推出矛盾，即可得出结果；
（3）设等比数列的公比为，根据为“阿当数列”，推出在数列中，为最小项；在数列中，为最小项；得到，，再由数列每一项均为正整数，得到，或，；分别讨论，和，两种情况，结合数列的增减性，即可得出结果.
【详解】
（1）由题意可得：，，
即，解得或；
所以实数的取值范围是；
（2）假设存在等差数列为“阿当数列”，设公差为，则，
由可得：，
又，所以对任意都成立，
即对任意都成立，
因为，且，所以，与矛盾，
因此，不存在等差数列为“阿当数列”；
（3）设等比数列的公比为，则，且每一项均为正整数，
因为为“阿当数列”，所以，
所以，；因为，
即在数列中，为最小项；
同理，在数列中，为最小项；
由为“阿当数列”，只需，即，
又因为数列不是“阿当数列”，所以，即，
由数列每一项均为正整数，可得：，所以，或，；
当，时，，则，
令，则，
所以，
即数列为递增数列，
所以，
因为，所以对任意，都有，
即数列是“阿当数列”；
当，时，，则，
显然数列是递减数列，，
故数列不是“阿当数列”；
综上，当时，数列是“阿当数列”；当时，数列不是“阿当数列”.
本题主要考查数列的综合，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，以及数列的性质即可，属于常考题型.
18、 (1);(2) .
【解析】
（1）因为恒成立，
时，不恒成立；
时，由解得，
综上，．
（2）因为， 所以， 所以
所以，即的解集为，
所以有，即；因为且，
所以，设方程的两根分别为，则，令，则应有，
所以的取值范围是．
19、（1）；（2）
【解析】
（1）由直线AB的斜率，中点坐标，写出线段AB中垂线的直线方程，与直线x-2y-3=0联立即可求出交点的坐标即为圆心的坐标，再根据两点间的距离公式求出圆心到点A的距离即为圆的半径，根据圆心坐标与半径写出圆的标准方程即可；
（2）设圆的方程为，代入题中三点坐标，列方程组求解即可
【详解】
（1）由点和点可得，线段的中垂线方程为．
∵ 圆经过和两点，圆心在直线上，
∴ ，解得，即所求圆的圆心，
∴ 半径，所求圆的方程为；
（2）设圆的方程为，
∵ 圆过点、和，
∴ 列方程组得 解得，
∴ 圆的方程为．
本题考查了圆的方程求解，考查了待定系数法及运算能力，属于中档题．
20、（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用，化简得
，然后利用正弦定理和余弦定理求解即可.
（Ⅱ）利用面积公式得，得到，再利用，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）由题意知，
即，
由正弦定理，得，①，
由余弦定理，得，又因为，
所以．
（Ⅱ）因为，，由面积公式得，即．
由①得，故，即．
本题考查正弦和余弦定理的应用，属于基础题.
21、 (1) ．(2)
【解析】
（1）在中分别利用余弦定理完成求解；（2）在中利用正弦定理求解的值.
【详解】
解：（1）在中，由余弦定理得，
∴，解得
∵为的中点，∴．
在中，由余弦定理得

，
∴．
（2）在中，由正弦定理得，
∴．
本题考查解三角形中的正余弦定理的运用，难度较易.对于给定图形的解三角形问题，一定要注意去结合图形去分析.