山西省祁县中学2024-2025学年数学高一第二学期期末考试模拟试题含解析.doc

山西省祁县中学2024-2025学年数学高一第二学期期末考试模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在中，角的对边分别为，若，则形状是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
2．若直线与平行，则实数的值为（ ）
A．或 B． C． D．
3．已知等差数列,前项和为,,则( )
A．140 B．280 C．168 D．56
4．函数的图象可能是( )
A． B．
C． D．
5．已知某地、、三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取的户数进行调査，则样本容量和抽取村贫困户的户数分别是（ ）

A．， B．，
C．， D．，
6．若直线和直线互相垂直，则( )
A．或 B．3或1 C．或1 D．或3
7．在中，，且面积为1，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知正四棱锥的顶点均在球上，且该正四棱锥的各个棱长均为，则球的表面积为(　　)
A． B． C． D．
9．某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内应填（ ）

A． B． C． D．
10．若 ， ,则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为　_________　．
12．若，则______（用表示）.
13．与30°角终边相同的角_____________.
14．不论k为何实数，直线通过一个定点，这个定点的坐标是______.
15．等比数列中，若，，则______.
16．已知曲线与直线交于A，B两点，若直线OA，OB的倾斜角分别为、，则__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，且函数是偶函数，设
(1)求的解析式；
(2)若不等式≥0在区间(1，e2]上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围．
18．等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式;
（2）设，求数列的前项和.
19．如图，已知点和点，，且，其中为坐标原点.

（1）若，设点为线段上的动点，求的最小值；
（2）若，向量，，求的最小值及对应的的值.
20．如图，在正方体，中，，，，，分别是棱，，，，的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）求平面将正方体分成的两部分体积之比.
21．在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角；
（2）若，，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
由，利用正弦定理化简可得sin2A＝sin2B，由此可得结论．
【详解】
∵，
∴由正弦定理可得 ，
∴sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B，
∴2A＝2B或2A+2B＝π，
∴A＝B或A+B＝，
∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形
故选D．
本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.
2、B
【解析】
利用直线与直线平行的性质求解．
【详解】
∵直线与平行，

解得a＝2或a＝﹣2．
∵当a＝﹣2时，两直线重合，
∴a＝2．
故选B．
本题考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要注意两直线的位置关系的合理运用．
3、A
【解析】
由等差数列的性质得，，其前项之和为，故选A.
4、D
【解析】
判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊点的位置排除选项即可．
【详解】
函数是奇函数，排除选项A，C；
当时，，对应点在x轴下方，排除B；
故选：D．
本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图象的常用方法．
5、B
【解析】
将饼图中的、、三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以得出样本容量，在村人口户数乘以，再乘以可得出村贫困户的抽取的户数.
【详解】
由图得样本容量为，
抽取贫困户的户数为户，则抽取村贫困户的户数为户．
故选B.
本题考查样本容量的求法，考查分层抽样、扇形统计图和条形统计图计算数据，考查运算求解能力，属于基础题.
6、C
【解析】
直接利用两直线垂直的充要条件列方程求解即可.
【详解】
因为直线和直线互相垂直，
所以，
解方程可得或，故选C.
本题主要考查直线与直线垂直的充要条件，属于基础题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1） （）；（2）（），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.
7、C
【解析】
根据三角形面积公式列式，求得，再根据基本不等式判断出C选项错误.
【详解】
根据三角形面积为得，三个式子相乘，得到，由于，所以.所以，故C选项错误.所以本小题选C.
本小题主要考查三角形面积公式，考查基本不等式的运用，属于中档题.
8、C
【解析】
设点在底面的投影点为，则，，平面，故，而底面所在截面圆的半径，故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径，故球的表面积，故选C.
点睛：本题考查球的内接体的判断与应用，球的表面积的求法，考查计算能力；研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）球心与多面体中心的位置关系； （2）球的半径与多面体的棱长的关系；（3）球自身的对称性与多面体的对称性；（4）能否做出轴截面.
9、A
【解析】
根据程序框图的结构及输出结果,逆向推断即可得判断框中的内容.
【详解】
由程序框图可知,,则

所以此时输出的值,因而时退出循环.因而判断框的内容为
故选:A
本题考查了根据程序框图的输出值,确定判断框的内容,属于基础题.
10、D
【解析】
由于，，，，利用“平方关系”可得，，变形即可得出．
【详解】
∵，，
∴，∴．
∵，∴，∵，
∴．
∴

．
故选D.
本题考查了两角和的余弦公式、三角函数同角基本关系式、拆分角等基础知识与基本技能方法，属于中档题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
记甲、乙两人相邻而站为事件A
甲、乙、丙三人随机地站成一排的所有排法有=6，
则甲、乙两人相邻而站的战法有=4种站法
∴=
12、
【解析】
直接利用诱导公式化简求解即可．
【详解】
解：，则，
故答案为：．
本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力，属于基础题．
13、
【解析】
根据终边相同的角的定义可得答案.
【详解】
与30°角终边相同的角，
故答案为：
本题考查了终边相同的角的定义，属于基础题.
14、 (2,3)
【解析】
将直线方程变形为，它表示过两直线和的交点的直线系，解方程组，得上述直线恒过定点，故答案为.
【方法点睛】
本题主要考查待定直线过定点问题. 属于中档题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
15、
【解析】
设的首项为，公比为，根据，列出方程组，求出和即可得解.
【详解】
设的首项为，公比为，则：，解之得，
所以：.
故答案为：.
本题考查等比数列中某项的求法，解题关键是根据题意列出方程组，需要注意的是为了简化运算不用直接求解，解出即可，属于基础题.
16、
【解析】
曲线即圆曲线的上半部分，因为圆是单位圆，所以，，，，联立曲线与直线方程，消元后根据韦达定理与直线方程代入即可求解.
【详解】
由消去得，
则 ，
由三角函数的定义得

故.
本题主要考查三角函数的定义，直线与圆的应用.此题关键在于曲线的识别与三角函数定义的应用.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) ；(2) ；(3) .
【解析】
（1）对称轴为，对称轴为，再根据图像平移关系求解；（2）分离参数，转化为求函数的最值；（3）令为整体，转化为二次函数根的分布问题求解.
【详解】
(1) 函数的对称轴为，
因为向左平移1个单位得到，且是偶函数，
所以 ，
所以.
(2)
即
又 ，所以，则

因为，所以实数的取值范围是.
(3) 方程即

化简得
令，则
若方程有三个不同的实数根，
则方程必须有两个不相等的实数根 ，
且或，
令
当时，则，即 ，
当时， ，，，舍去，
综上，实数的取值范围是.
本题考查求函数解析式，函数不等式恒成立及函数零点问题. 函数不等式恒成立通常采用参数分离法；函数零点问题要结合函数与方程的关系求解.
18、 (1)；（2）.
【解析】
（1）设等差数列的公差为，根据题中条件列有关和的方程组，求出和，即可求出等差数列的通项公式；
（2）将数列的通项公式裂项，然后利用裂项求和法求出数列的前项和。
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
由可得，解得，
；
（2），
。
本题考查等差数列通项公式、裂项求和法，在求解等差数列的通项公式时，一般利用方程思想求出等差数列的首项和公差求出通项公式，在求和时要根据数列通项的基本结构选择合适的求和方法对数列求和，属于常考题型，属于中等题。
19、（1）； （2），或.
【解析】
（1）设，求出，把表示成关于的二次函数；
（2）利用向量的坐标运算得，令把表示成关于的二次函数，再求最小值.
【详解】
（1）设，又，
所以，
，
所以当时，取得最小值.
（2）由题意得，，，
则=，
令 ，因为，所以，
又，所以，，
所以当时，取得最小值，即，解得或，
所以当或时，取得最小值.
本题考查利用向量的坐标运算求向量的模和数量积，在求解过程中用到知一求二的思想方法，即已知三个中的一个，另外两个均可求出.
20、（1）见解析（2）
【解析】
（1）先证明平面，再证明平面平面；（2）连接，，则截面右侧的几何体为四棱锥和三棱锥，再求出每一部分的体积得解.
【详解】
（1）证明：在正方体中，连接.
因为，分别是，的中点，所以.
因为平面，平面，所以.
因为，所以平面，平面，
所以，同理，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面；

（2）连接，，则截面右侧的几何体为四棱锥和三棱锥，
设正方体棱长为1，
所以
，
所以平面将正方体分成的两部分体积之比为.
本题主要考查面面垂直关系的证明和几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
21、（1）（2），
【解析】
（1）由正弦定理可得，求得，即可解得角；
（2）由余弦定理，列出方程，即可求解.
【详解】
（1）由题意知，
由正弦定理可得，
因为，则，
所以，即，
又由，所以.
（2）由（1）知和，，
由余弦定理，即，即，
解得，所以.
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦、余弦定理，准确计算是解答的挂念，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.