云南省曲靖市宣威三中2025届高一数学第二学期期末检测模拟试题含解析.doc

云南省曲靖市宣威三中2025届高一数学第二学期期末检测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．计算:
A． B． C． D．
2．某实验单次成功的概率为0.8,记事件A为“在实验条件相同的情况下,重复3次实验，各次实验互不影响，则3次实验中至少成功2次”，现采用随机模拟的方法估计事件4的概率:先由计算机给出0～9十个整数值的随机数，指定0,1表示单次实验失败,2，3，4，5,6,7，8,9表示单次实验成功，以3个随机数为组,代表3次实验的结果经随机模拟产生了20组随机数，如下表:
752
029
714
985
034
437
863
694
141
469
037
623
804
601
366
959
742
761
428
261
根据以上方法及数据，估计事件A的概率为( )
A．0.384 B．0.65 C．0.9 D．0.904
3．在中，角的对边分别为，已知，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
4．若实数x，y满足条件，则目标函数z＝2x－y的最小值（ ）
A． B．－1 C．0 D．2
5．等比数列中，，，则的值为（ ）
A． B．
C．128 D．或
6．在等差数列中，若，则( )
A．45 B．75 C．180 D．320
7．在中，角所对的边分边为，已知，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定
8．下列函数所具有的性质，一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α−β)＝−，则tanβ＝ (　　)
A． B．3 C． D．
10．函数的简图是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知等差数列中，其前项和为，且，，当取最大值时，的值等于_____.
12．已知平行四边形的周长为，，则平行四边形的面积是_______
13．数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，，…，，， …，，…有如下运算和结论：①；②数列，，，，…是等比数列；③数列，，，，…的前项和为；④若存在正整数，使，，则．其中正确的结论是_____．（将你认为正确的结论序号都填上）
14．已知无穷等比数列的所有项的和为，则首项的取值范围为_____________.
15．在半径为的球中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是__________．
16．若，且，则__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．若是的一个内角，且，求的值.
18．已知的三个顶点为.
（1）求过点且平行于的直线方程；
（2）求过点且与、距离相等的直线方程.
19． “我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量已知，.

（1）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值.
20．在边长为2的菱形中，，为的中点.

（1）用和表示；
（2）求的值.
21．已知关于的函数.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的最大值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据正弦余弦的二倍角公式化简求解.
【详解】
，
故选A.
本题考查三角函数的恒等变化，关键在于寻找题目与公式的联系.
2、C
【解析】
由随机模拟实验结合图表计算即可得解．
【详解】
由随机模拟实验可得：
“在实验条件相同的情况下，重复3次实验，各次实验互不影响，则3次实验中最多成功1次”共141，601两组随机数，
则“在实验条件相同的情况下，重复3次实验，各次实验互不影响，则3次实验中至少成功2次”共组随机数，
即事件的概率为，
故选．
本题考查了随机模拟实验及识图能力，属于中档题．
3、C
【解析】
∵，∴，
又，∴，又为三角形的内角，所以，故
。选C。
4、A
【解析】
线性规划问题，首先画出可行域，再令z=0，画出目标函数，上下平移得到z的最值。
【详解】

可行域如图所示，当目标函数平移到A 点时z取最小值，
故选A
线性规划中线性的目标函数问题，首先画出可行域，再令z=0，画出目标函数，上下平移得到z的最值。
5、D
【解析】
根据等比数列的通项公式得到公比，进而得到通项.
【详解】
设公比为，则，∴，
∴或，∴或，
即或.
故选D.
本题考查了等比数列通项公式的应用，属于简单题.
6、C
【解析】
试题分析：因为数列为等差数列，且，所以，，从而，所以，而，所以，故选C.
考点：等差数列的性质.
7、C
【解析】
由三角形正弦定理可知无解，所以三角形无解，选C.
8、B
【解析】
结合反三角函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，对于A中，令，则，所以不正确；
对于C中，根据反正弦函数的性质，可得，所以是错误的；
对于D中，函数当时，则满足，所以不正确，
故选：B.
本题主要考查了反三角函数的性质的应用，其中解答中熟记反三角函数的性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9、B
【解析】
利用角的关系，再利用两角差的正切公式即可求出的值.
【详解】
因为，且为锐角，则，所以，
因为，
所以
故选B.
主要考查了两角差的正切公式，同角三角函数的平方关系，属于中档题.对于给值求值问题，关键是寻找已知角（条件中的角）与未知角（问题中的角）的关系，用已知角表示未知角，从而将问题转化为求已知角的三角函数值，再利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式以及诱导公式即可求出.
10、D
【解析】
变形为，求出周期排除两个选项，再由函数值正负排除一个，最后一个为正确选项．
【详解】
函数的周期是，排除AB，又时，，排除C．只有D满足．
故选：D.
本题考查由函数解析式选图象，可通过研究函数的性质如单调性、奇偶性、周期性、对称性等排除某些选项，还可求出特殊值，特殊点，函数值的正负，函数值的变化趋势排除一些选项，从而得出正确选项．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、或
【解析】
设等差数列的公差为，由可得出与的等量关系，然后求出的表达式，解不等式，即可得出使得取得最大值的正整数的值.
【详解】
设等差数列的公差为，由，可得，可得，
，令，即，
，解得.
因此，当或时，取得最大值.
故答案为：或.
本题考查等差数列前项和的最大值的求解，可利用二次函数的基本性质来求，也可以转化为等差数列所有的非负项之和的问题求解，考查化归与转化思想，属于中等题.
12、
【解析】
设，根据条件可以求出，两边平方可以得到关系式，由余弦定理可以表示出，把代入得到的关系式，联立求出的值，过作垂直于，设，则可以表示，利用勾股定理，求出的值，确定长，即求出平行四边形的面积
【详解】

设
又，由余弦定理

将代入，得到将（2）代入（1）得到可以解得：(另一种情况不影响结果)，过作垂直于，设,则，所以填写
几何题如果关系量理清不了，可以尝试作图，引入相邻边的参数，通过方程把参数求出，平行四边形问题可以通过转化变为三角形问题，进而把问题简单化.
13、①③④
【解析】
根据题中所给的条件，将数列的项逐个写出，可以求得，将数列的各项求出，可以发现其为等差数列，故不是等比数列，利用求和公式求得结果，结合条件，去挖掘条件，最后得到正确的结果.
【详解】
对于①，前24项构成的数列是，所以，故①正确；
对于②，数列是，可知其为等差数列，不是等比数列，故②不正确；
对于③，由上边结论可知是以为首项，以为公比的等比数列，所以有，故③正确；
对于④，由③知，即，解得，且，故④正确；
故答案是①③④.
该题考查的是有关数列的性质以及对应量的运算，解题的思想是观察数列的通项公式，理解项与和的关系，认真分析，仔细求解，从而求得结果.
14、
【解析】
设等比数列的公比为，根据题意得出或，根据无穷等比数列的和得出与所满足的关系式，由此可求出实数的取值范围.
【详解】
设等比数列的公比为，根据题意得出或，
由于无穷等比数列的所有项的和为，则，.
当时，则，此时，；
当时，则，此时，.
因此，首项的取值范围是.
故答案为：.
本题考查利用无穷等比数列的和求首项的取值范围，解题的关键就是结合题意得出首项和公比的关系式，利用不等式的性质或函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
15、
【解析】
根据正四棱柱外接球半径的求解方法可得到正四棱柱底面边长和高的关系，利用基本不等式得到，得到侧面积最大值为；根据球的表面积公式求得球的表面积，作差得到结果.
【详解】
设球内接正四棱柱的底面边长为，高为
则球的半径:

正四棱柱的侧面积：
球的表面积：
当正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差为：
本题正确结果：
本题考查多面体的外接球的相关问题的求解，关键是能够根据外接球半径构造出关于正棱柱底面边长和高的关系式，利用基本不等式求得最值；其中还涉及到球的表面积公式的应用.
16、
【解析】
根据三角函数恒等式 ，将代入得到 ，又因为，故得到
故答案为。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、
【解析】
本题首先可根据是的一个内角以及得出和，然后对进行平方并化简可得，最后结合即可得出结果．
【详解】
因为是的一个内角，所以，，
因为，所以，，
所以，
所以．
本题考查同角三角函数关系的应用，考查的公式为，在运算的过程中一定要注意角的取值范围，考查推理能力，是简单题．
18、 (1)；(2).
【解析】
（1）先由两点写出直线BC的方程，再根据点斜式写出目标直线的方程；
（2）过点B且与直线AC平行的直线即为所求，注意垂直平分线不过点B，故舍去.
【详解】
（1）由、两点的坐标可得，
因为待求直线与直线BC平行，故其斜率为
由点斜式方程可得目标直线方程为
整理得.
（2）由、点的坐标可知，其中点坐标为
又直线AC没有斜率，故其垂直平分线为，此直线不经过点B，故垂直平分线舍去；
则满足题意的直线为与直线AC平行的直线，即.
综上所述，满足题意的直线方程为.
本题考查直线方程的求解，属基础题.
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）在和中分别对使用余弦定理，可推出与的关系，即可得出是一个定值；
（2）求出的表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取范围，可得出的最大值.
【详解】
（1）在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，，
则，；
（2），，
则，
由（1）知：，代入上式得：
，
配方得：，
当时，取到最大值.
本题考查余弦定理的应用、三角形面积的求法以及二次函数最值的求解，解题的关键就是利用题中结论将问题转化为二次函数来求解，考查运算求解能力，属于中等题.
20、 (1) ； (2)-1
【解析】
（1）由平面向量基本定理可得：.
（2）由数量积运算可得：，运算可得解.
【详解】
解：（1）.
（2）.
本题考查了平面向量基本定理及数量积运算，属基础题.
21、（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由时，根据，利用一元二次不等式的解法，即可求解；
（Ⅱ）由对任意的恒成立，得到，利用基本不等式求得最小值，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）由题意，当时，函数，
由，即，解得或，
所以不等式的解集为.
（Ⅱ）因为对任意的恒成立，即，
又由，当且仅当时，即时，取得最小值，
所以，即实数的最大值为.
本题主要考查了一元二次不等式的求解，以及基本不等式的应用，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，以及合理利用基本不等式求得最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.