江西省赣州市赣县三中2024-2025学年数学高一第二学期期末检测试题含解析.doc

江西省赣州市赣县三中2024-2025学年数学高一第二学期期末检测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．甲、乙两名同学八次数学测试成绩的茎叶图如图所示，则甲同学成绩的众数与乙同学成绩的中位数依次为（ ）

A．85，85 B．85，86 C．85，87 D．86，86
2．在中，角的对边分别是，已知，则（　　）
A． B． C． D．或
3．在等比数列中，成等差数列，则公比等于（ ）
A．1 或 2 B．−1 或 −2 C．1 或 −2 D．−1 或 2
4．在平面直角坐标系xoy中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数的图象恰好经过个格点，则称函数为阶格点函数.下列函数中为一阶格点函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知奇函数满足，则的取值不可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．10
6．若是等差数列，首项，，，则使前n项和成立的最大正整数n=（ ）
A．2017 B．2018 C．4035 D．4034
7．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是
A．两次都中靶 B．至少有一次中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
8．已知甲、乙两组数据用茎叶图表示如图所示，若它们的中位数相同， 平均数也相同，则图中的的比值等于

A． B． C． D．
9．已知两个非零向量,满足,则( )
A． B．
C． D．
10．点直线与线段相交，则实数的取值范围是( )
A． B．或
C． D．或
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知点是所在平面内的一点，若，则__________．
12．已知数列的前n项和，则________.
13．设，，，若，则实数的值为______
14．函数的单调递增区间为______.
15．设数列的前n项和为，关于数列，有下列三个命题：
（1）若既是等差数列又是等比数列，则；
（2）若，则是等差数列：
（3）若，则是等比数列
这些命题中，真命题的序号是__________________________.
16．已知函数y=sin（x+）（>0, -<）的图象如图所示，则=________________ .
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列的前n项和为（），且满足，（）．
（1）求证是等差数列；
（2）求数列的通项公式．
18．已知函数.
（Ⅰ）求的定义域；
（Ⅱ）设是第一象限角，且，求的值.
19．已知函数f(x)＝x2＋(x－1)|x－a|.
(1)若a＝－1，解方程f(x)＝1；
(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；
(3)是否存在实数a，使不等式f(x)≥2x－3对任意x∈R恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
20．将边长分别为、、、…、、、…的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第个、第个、……、第个阴影部分图形.设前个阴影部分图形的面积的平均值为.记数列满足，

（1）求的表达式；
（2）写出，的值，并求数列的通项公式；
（3）定义，记，且恒成立，求的取值范围.
21．在中，角，，所对的边分别为，，，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若的面积为，其外接圆的半径为，求的周长.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
根据茎叶图的数据，选择对应的众数和中位数即可.
【详解】
由图可知，甲同学成绩的众数是85；乙同学的中位数是.
故选：B.
本题考查由茎叶图计算数据的众数和中位数，属基础计算题.
2、B
【解析】
由已知知，所以B＜A=，由正弦定理得，==，所以，故选B
考点：正弦定理
3、C
【解析】
设出基本量，利用等比数列的通项公式，再利用等差数列的中项关系，即可列出相应方程求解
【详解】
等比数列中，设首项为，公比为，
成等差数列，，即，
或
答案选C
本题考查等差数列和等比数列求基本量的问题，属于基础题
4、A
【解析】
根据题意得，我们逐个分析四个选项中函数的格点个数，即可得到答案．
【详解】
根据题意得：函数y＝sinx图象上只有（0，0）点横、纵坐标均为整数，故A为一阶格点函数；
函数没有横、纵坐标均为整数，故B为零阶格点函数；
函数y＝lgx的图象有（1，0），（10，1），（100，2），…无数个点横、纵坐标均为整数，故C为无穷阶格点函数；
函数y＝x2的图象有…（﹣1，0），（0，0），（1，1），…无数个点横、纵坐标均为整数，故D为无穷阶格点函数.
故选A．
本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中分析出函数的格点个数是解答本题的关键，属于中档题．
5、B
【解析】
由三角函数的奇偶性和对称性可求得参数的值.
【详解】
由是奇函数得
又因为得关于对称，
所以，
解得
所以当时，得A答案；
当时，得C答案
；当时，得D答案；
故选B.
本题考查三角函数的奇偶性和对称性，属于基础题.
6、D
【解析】
由等差数列的性质可得，，由等差数列前项和公式可得则，，得解.
【详解】
解：由是等差数列，
又，
所以，
又首项，，
则，，
则，
，
即使前n项和成立的最大正整数，
故选：D.
本题考查了等差数列的性质，重点考查了等差数列前项和公式，属中档题.
7、A
【解析】
利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．
【详解】
一个人打靶时连续射击两次，
事件“至多有一次中靶”的互斥事件是两次都中靶．
故选：A．
本题考查互事件的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件的定义的合理运用．
8、A
【解析】
从茎叶图提取甲、乙两组数据中的原始数据，并按从小到大排列，分别得到中位数，并计算各自的平均数，再根据中位数、平均值相等得到关于的方程.
【详解】
甲组数据：，中位数为，
乙组数据：，中位数为：，
所以，
所以，故选A.
本题考查中位数、平均数的概念与计算，对甲组数据排序时，一定是最大，乙组数据中一定是最小.
9、C
【解析】
根据向量的模的计算公式，由逐步转化为，即可得到本题答案.
【详解】
由题，得，即，，则，
所以.
故选：C.
本题主要考查平面向量垂直的等价条件以及向量的模，化简变形是关键，考查计算能力，属于基础题.
10、C
【解析】
直线经过定点，斜率为，数形结合利用直线的斜率公式，求得实数的取值范围，得到答案．
【详解】
如图所示，直线经过定点，斜率为，
当直线经过点时，则,
当直线经过点时，则，
所以实数的取值范围，故选C．

本题主要考查了直线过定点问题，以及直线的斜率公式的应用，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
设为的中点，为的中点，为的中点，由得到，再进一步分析即得解.
【详解】
如图，设为的中点，为的中点，为的中点，
因为，
所以可得，
整理得.又，
所以，所以，
又，所以．
故答案为

本题主要考查向量的运算法则和共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，解答本题的关键是作辅助线，属于中档题.
12、
【解析】
先利用求出，在利用裂项求和即可.
【详解】
解：当时，，
当时，，
综上，，，

，
故答案为：.
本题考查和的关系求通项公式，以及裂项求和，是基础题.
13、
【解析】
根据题意，可以求出，根据可得出，进行数量积的坐标运算即可求出的值.
【详解】

故答案为：
本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.
14、
【解析】
令，解得的范围即为所求的单调区间.
【详解】
令，，解得：，
的单调递增区间为
故答案为：
本题考查正弦型函数单调区间的求解问题，关键是能够采用整体对应的方式，结合正弦函数的单调区间来进行求解.
15、（1）、（2）、（3）
【解析】
利用等差数列和等比数列的定义，以及等差数列和等比数列的前项和形式，逐一判断即可.
【详解】
既是等差数列又是等比数列的数列是非零常数列，故（1）正确.
等差数列的前项和是二次函数形式，且不含常数，故（2）正确.
等比数列的前项和是常数加上常数乘以的形式，故（3）正确.
故答案为：（1），（2），（3）
本题主要考查等差数列和等比数列的定义，同时考查了等差数列和等比数列的前项和，属于简单题.
16、
【解析】
由图可知，

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）当时，由代入，化简得出，由此可证明出数列是等差数列；
（2）求出数列的通项公式，可得出，由可得出在时的表达式，再对是否满足进行检验，可得出数列的通项公式.
【详解】
（1）当时，，，即，
，等式两边同时除以得，即，
因此，数列是等差数列；
（2）由（1）知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
，则.
，得.
不适合.
综上所述，.
本题考查等差数列的证明，同时也考查了数列通项公式的求解，解题的关键就是利用关系式进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
(1)本题可根据分式的分母不能为得出，然后解即可得出函数的定义域；
(2)本题首先可根据以及同角三角函数关系计算出以及的值，然后对函数进行化简，得到，最后通过计算即可得出结果．
【详解】
(1)由得，，
所以，，
故的定义域为.
(2)因为，且是第一象限角，
所以有，解得，.
故
．
本题考查三角函数的性质、三角恒等变换的应用，考查的公式有、、、二倍角公式以及两角差的余弦公式，考查化归与转化思想，是中档题．
19、（1）{x|x≤－1或x＝1}；（2）；（3）．
【解析】
试题分析：（1）把代入函数解析式，分段后分段求解方程的解集，取并集后得答案；（2）分段写出函数的解析式，由在上单调递增，则需第一段二次函数的对称轴小于等于，第二段一次函数的一次项系数大于0，且第二段函数的最大值小于等于第一段函数的最小值，联立不等式组后求解的取值范围；（3）把不等式对一切实数恒成立转化为函数对一切实数恒成立，然后对进行分类讨论，利用函数单调性求得的范围，取并集后得答案.
试题解析：(1)当时，，则；当时，由，得，解得或；当时，恒成立，∴方程的解集为或．
(2)由题意知，若在R上单调递增，则解得，∴实数的取值范围为.
(3)设，则，不等式对任意恒成立，等价于不等式对任意恒成立．
①若，则，即，取，此时，∴，即对任意的，总能找到，使得，∴不存在，使得恒成立．
②若，则，∴的值域为，∴恒成立③若，当时，单调递减，其值域为，由于，所以恒成立，当时，由，知，在处取得最小值，令，得，又，∴，综上，．
20、（1）；（2）， ，；（3）.
【解析】
（1）根据题意，分别求出每一个阴影部分图形的面积，即可得到前个阴影部分图形的面积的平均值；（2）依据递推式，结合分类讨论思想，即可求出数列的通项公式；（3）先求出的表达式，再依题意得到，分类讨论不等式恒成立的条件，取其交集，即得所求范围。
【详解】
（1）由题意有，第一个阴影部分图形面积是：；第二个阴影部分图形面积是： ；第三个阴影部分图形面积是：；所以第个阴影部分图形面积是：；故；
（2）由（1）知，，，所以，
，
当时，
当时，
，
综上，数列的通项公式为，。
（3）由（2）知，，，由题意可得，恒成立，
①当时，，即，所以，
②当时，，即，
所以，
③当时，，即，
所以，
综上，。
本题主要考查数列的通项公式求法，数列不等式恒成立问题的解法以及分类讨论思想的运用，意在考查学生逻辑推理能力及运算能力。
21、（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由由正弦定理得，进而得到，求得，即可求解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和正弦定理，求得，再由余弦定理得，利用三角形的面积公式，求得，进而求得的值，得出三角形的周长.
【详解】
（Ⅰ）由题意，因为，
由正弦定理，得，
即，
由，得，
又由，则，
所以，解得，
又因为，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，且外接圆的半径为，
由正弦定理可得，解得，
由余弦定理得，可得，
因为的面积为，解得，
所以，解得：，
所以的周长.
本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.