2025届吉林梅河口市第五中学数学高一第二学期期末经典试题含解析.doc

2025届吉林梅河口市第五中学数学高一第二学期期末经典试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在中任取一实数作为x，则使得不等式成立的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．在等差数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
3．一组数据0，1，2，3，4的方差是
A． B． C．2 D．4
4．数列中，，且，则数列前2019项和为（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线与，若，则（ ）
A．2 B．1 C．2或-1 D．-2或1
6．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
7．已知，则的值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
8．设，则有( )
A． B． C． D．
9．已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数那么的值为 ．
12．在中，三个角所对的边分别为．若角成等差数列，且边成等比数列，则的形状为_______．
13．如图，在等腰直角三角形ABC中，，，以AB为直径在外作半圆O，P是半圆弧AB上的动点，点Q在斜边BC上，若，则的取值范围是________.

14．圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是__________．
15．正项等比数列中，为数列的前n项和，，则的取值范围是____________．
16．正方体中，分别是的中点，则所成的角的余弦值是__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知等差数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)各项均为正数的等比数列中，，，求的前项和.
18．如图，在中，，四边形是边长为的正方形，平面平面，若，分别是的中点.

（1）求证：平面;
（2）求证：平面平面;
（3）求几何体的体积.
19．已知集合，集合.
（1）求；
（2）若不等式的解集为，求不等式的解集.
20．正项数列的前项和为，且.
（Ⅰ）试求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求的前项和为.
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
21．已知直线l经过点.
（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）若，两点到直线的距离相等，求直线的方程.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
先求解不等式,再利用长度型的几何概型概率公式求解即可
【详解】
由题,因为,解得,
则,
故选:C
本题考查长度型的几何概型,考查解对数不等式
2、B
【解析】
利用等差中项的性质得出关于的等式，可解出的值.
【详解】
由等差中项的性质可得，
由于，即，即，解得，
故选：B.
本题考查等差中项性质的应用，解题时充分利用等差中项的性质进行计算，可简化计算，考查运算能力，属于基础题.
3、C
【解析】
先求得平均数，再根据方差公式计算。
【详解】
数据的平均数为：
方差是＝2，
选C。
方差公式，代入计算即可。
4、B
【解析】
由，可得，化为：，利用“累加求和”方法可得，再利用裂项求和法即可得解．
【详解】
解：∵，
∴，
整理得：，
∴，又
∴，
可得：．
则数列前2019项和为：．
故选B．
本题主要考查了数列递推关系、“累加求和”方法、裂项求和，考查了推理能力、转化能力与计算能力，属于中档题．
5、C
【解析】
由两直线平行的等价条件，即可得到本题答案.
【详解】
因为，所以，解得或.
故选：C
本题主要考查利用两直线平行的等价条件求值.
6、C
【解析】
根据函数的奇偶性和对称性，判断出函数的周期，由此画出的图像.由化简得，画出的图像，由与图像的交点以及对称性，求得函数在区间上所有零点之和.
【详解】
由于，故是函数的对称轴，由于为奇函数，故函数是周期为的周期函数，当时，，由此画出的图像如下图所示.令，注意到，故上述方程可化为，画出的图像，由图可知与图像都关于点对称，它们两个函数图像的个交点也关于点对称，所以函数在区间上所有零点之和为.
故选:C.

本小题主要考查函数的奇偶性、对称性以及周期性，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
7、B
【解析】
根据的奇偶分类讨论．
【详解】
为偶数时，，
为奇数时，设，则
．
∴的值构成的集合是．
故选：B．
本题考查诱导公式，掌握诱导公式是解题基础．注意诱导公式的十字口诀：奇变偶不变，符号看象限．
8、A
【解析】
根据题意，利用辅助角公式得，对于，根据同角三角函数的基本关系和二倍角公式对进行处理，即可得到；对于，利用二倍角公式对变形处理可以得到，再根据正弦函数的单调性即可比较大小.
【详解】
由题意得

因为正弦函数在上为增函数，所以,选A.
本题是一道关于三角函数值大小比较的题目，解答本题的关键是掌握三角函数公式；二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数的基本关系等．属于中等题．
9、D
【解析】
由等比数列的性质求得，再由等差数列的性质可得结果.
【详解】
因为等比数列，且
，解得，
数列是等差数列，
则，
故选：D.
本题主要考查等比数列与等差数列的下标性质，属于基础题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）.
10、B
【解析】
由题意和余弦定理可得，再由余弦定理可得，可得角的值．
【详解】
在中，，
由余弦定理可得，
，
，
又，
．
故选：．
本题考查利用余弦定理解三角形，考查了转化思想，属基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
试题分析：因为函数
所以==．
考点：本题主要考查分段函数的概念，计算三角函数值．
点评：基础题，理解分段函数的概念，代入计算．
12、等边三角形
【解析】
分析：角成等差数列解得，边成等比数列，则，再根据余弦定理得出的关系式．
详解：角成等差数列，则解得，边成等比数列，则，余弦定理可知
故为等边三角形．
点睛：判断三角形形状，是根据题意推导边角关系的恒等式．
13、
【解析】
建立直角坐标系，得出的坐标，利用数量积的坐标表示得出，结合正弦函数的单调性得出的取值范围.
【详解】
取中点为，建立如下图所示的直角坐标系

则，设，，则
，则
设点，则
，

则当，即时，取最大值
当，即时，取最小值
则的取值范围是
故答案为：
本题主要考查了利用数量积求参数以及求正弦型函数的最值，属于较难题.
14、
【解析】
分析：由已知中圆锥的底面半径是，高是，由勾股定理，我们可以计算出圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式，即可得到结论.
详解：圆锥的底面半径是，高是，
圆锥的母线长，
则圆锥侧面积公式，故答案为.
点睛：本题主要考查圆锥的性质与圆锥侧面积公式，意在考查对基本公式的掌握与理解，属于简单题.
15、
【解析】
利用结合基本不等式求得的取值范围
【详解】
由题意知，，且，所以，当且仅当等号成立，所以.
故答案为：
本题考查等比数列的前n项和及性质，利用性质结合基本不等式求最值是关键
16、
【解析】
取的中点，由得出异面直线与所成的角为，然后在由余弦定理计算出，可得出结果．
【详解】
取的中点，由且可得为所成的角，
设正方体棱长为，中利用勾股定理可得，
又，由余弦定理可得，
故答案为．

本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线找出异面直线所成的角，再选择合适的三角形，利用余弦定理或锐角三角函数来计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）求{an}的通项公式，可先由a2=2，a5=8求出公差，再由an=a5+（n-5）d，求出通项公式；（2）设各项均为正数的等比数列的公比为q（q＞0），利用等比数列的通项公式可求首项及公比q，代入等比数列的前n项和公式可求Tn．
试题解析：
(1)设等差数列{an}的公差为d，
则由已知得∴a1＝0，d＝2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－2.
(2)设等比数列{bn}的公比为q，则由已知得q＋q2＝a4，
∵a4＝6
∴解得: q＝2或q＝－3.
∵等比数列{bn}的各项均为正数，∴q＝2.
∴{bn}的前n项和Tn＝＝=
18、（1）详见解析(2)详见解析（2）
【解析】
试题分析：（1）如图，连接EA交BD于F，利用正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明．（2）利用已知可得：FG⊥平面EBC，可得∠FBG就是线BD与平面EBC所成的角．经过计算即可得出．（3）利用体积公式即可得出．
试题解析：
（1）如图，连接，易知为的中点.

因为，分别是和的中点，
所以，
因为平面，
平面，
所以平面.
（2）证明：因为四边形为正方形，
所以.
又因为平面平面，
所以平面.所以.
又因为，所以.
所以平面.从而平面平面.
（3）取AB中点N,连接，因为，
所以，且.
又平面平面，
所以平面.
因为是四棱锥，
所以.
即几何体的体积.
点睛：本题考查了正方形的性质、线面，面面平行垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、线面角的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19、（1）
（2）
【解析】
（1）由一元二次不等式的解法分别求出集合，再求交集即可；
（2）由待定系数法求得，再代入不等式，解不等式即可得解.
【详解】
解：（1）因为集合，
集合，
即；
（2）由不等式的解集为，
则不等式等价于，即，
即，
即不等式等价于，即，
解得或，
故不等式的解集为.
本题考查了集合的运算，重点考查了一元二次不等式的解法，属基础题.
20、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】
（Ⅰ）将所给条件式子两边同时平方,利用递推法可得的表达式,由两式相减,变形即可证明数列为等差数列,进而结合首项与公差求得的通项公式.
（Ⅱ）由（Ⅰ）中可求得.将与代入即可求得数列的通项公式,利用裂项法即可求得前项和.
（Ⅲ）先求得的取值范围,结合不等式,即可求得的取值范围.
【详解】
（Ⅰ）因为正项数列的前项和为,且
化简可得
由递推公式可得
两式相减可得,变形可得
即,由正项等比数列可得
所以
而当时,解得
所以数列是以为首项,以为公差的等差数列
因而
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
则
代入中可得
所以

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知
则,所以数列为单调递增数列,则
且当时, ,即
所以
因为对一切的恒成立
则满足,解不等式组可得
即实数的取值范围为
本题考查了等差数列通项公式与求和公式的应用,裂项求和法的应用,数列的单调性与不等式关系,综合性强,属于中档题.
21、（2）或（2）或
【解析】
（2）讨论直线是否过原点，利用截距相等进行求解即可．
（2）根据点到直线的距离相等，分直线平行和直线过A，B的中点两种情况进行求解即可．
【详解】
（2）若直线过原点，则设为y＝kx，则k＝2，此时直线方程为y＝2x，
当直线不过原点，设方程为2，即x+y＝a，
此时a＝2+2＝2，则方程为x+y＝2，
综上直线方程为y＝2x或x+y＝2．
（2）若A，B两点在直线l同侧，
则AB∥l，
AB的斜率k2，
即l的斜率为2，
则l的方程为y﹣2＝x﹣2，即y＝x+2，
若A，B两点在直线的两侧，即l过A，B的中点C（2，0），
则k2，
则l的方程为y﹣0＝﹣2（x﹣2），即y＝﹣2x+4，
综上l的方程为y＝﹣2x+4或y＝x+2．
本题主要考查直线方程的求解，结合直线截距相等以及点到直线距离相等，进行分类讨论是解决本题的关键．