2024-2025学年河北省唐山市开滦二中高一下数学期末统考试题含解析.doc

2024-2025学年河北省唐山市开滦二中高一下数学期末统考试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设的内角所对的边分别为，且，已知的面积等于，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．若不等式对任意， 恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．在数列中，，，则的值为（ ）
A．4950 B．4951 C． D．
4．在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知等差数列中，，，则的值为（ ）
A．51 B．34 C．64 D．512
6．在平行四边形中，为一条对角线，，，则＝（ ）
A．（2,4） B．（3,5） C．（1，1） D．（－1，－1）
7．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( )
A． B． C． D．
8．已知变量与负相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是
A． B．
C． D．
9．已知a,b是正实数,且,则的最小值为( )
A． B． C． D．
10．已知向量，，若向量与的夹角为，则实数（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.
12．将边长为2的正沿边上的高折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
13．若无穷等比数列的各项和等于，则的取值范围是_____．
14．设等比数列的公比，前项和为，则 ．
15．在平面直角坐标系xOy中，若直线与直线平行，则实数a的值为______.
16．对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是____．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．四棱柱中，底面为正方形，,为中点，且．
（1）证明；
（2）求点到平面的距离．

18．已知直线和．
（1）若与互相垂直，求实数的值；
（2）若与互相平行，求与与间的距离，
19．已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间．
20．将正弦曲线如何变换可以得到函数的图像，请写出变换过程，并画出一个周期的闭区间的函数简图.
21．某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．
组号
分组
频数
频率
第1组

5

第2组

①

第3组

30
②
第4组

20

第5组

10

（1）请先求出频率分布表中位置的相应数据，再完成频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；
（3）在（2）的前提下，学校决定在名学生中随机抽取名学生接受考官进行面试，求：第组至少有一名学生被考官面试的概率．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
由正弦定理化简已知，结合，可求，利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用三角形的面积公式即可解得的值．
【详解】
解：，
由正弦定理可得，
，
，即，
，解得：或（舍去）
，的面积，
解得．
故选：．
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
2、B
【解析】
∵不等式对任意， 恒成立，∴，∵，当且仅当，即时取等号，∴，∴，∴，∴实数的取值范围是，故选B.
3、C
【解析】
利用累加法求得，由此求得的表达式，进而求得的值.
【详解】
依题意，所以，所以，当时，上式也满足.所以.
故选：C
本小题主要考查累加法求数列的通项公式，属于基础题.
4、D
【解析】
由题意得到，再由两角差的余弦及同角三角函数的基本关系式化简求解.
【详解】
解：∵角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，
∴，
，
故选：D.
本题考查了两角差的余弦公式的应用，是基础题.
5、A
【解析】
根据等差数列性质;若，则即可。
【详解】
因为为等差数列，所以，，所以选择A
本题主要考查了等差数列比较重要的一个性质；在等差数列中若，则，属于基础题。
6、C
【解析】
试题分析：,故选C.
考点：平面向量的线性运算．
7、C
【解析】
本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案.
【详解】

如图所示，直角三角形的斜边长为，
设内切圆的半径为，则，解得.
所以内切圆的面积为，
所以豆子落在内切圆外部的概率，故选C．
本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误．
8、D
【解析】
由于变量与负相关，得回归直线的斜率为负数，再由回归直线经过样本点的中心，得到可能的回归直线方程.
【详解】
由于变量与负相关，排除A,B，把代入直线得：
成立，所以在直线上，故选D.
本题考查回归直线斜率的正负、回归直线过样本点中心，考查基本数据处理能力.
9、B
【解析】
设，则，逐步等价变形，直到可以用基本不等式求最值，即可得到本题答案.
【详解】
由，得，设，则，所以

.
故选：B
本题主要考查利用基本不等式求最值，化简变形是关键，考查计算能力，属于中等题.
10、B
【解析】
根据坐标运算可求得与，从而得到与；利用向量夹角计算公式可构造方程求得结果.
【详解】
由题意得：，
，
，解得：
本题正确选项：
本题考查利用向量数量积、模长和夹角求解参数值的问题，关键是能够通过坐标运算表示出向量和模长，进而利用向量夹角公式构造方程.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有（数学1，数学2，语文），（数学1，语文，数学2），（数学2，数学1，语文），（数学2，语文，数学1），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共6个，其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故2本数学书相邻的概率 ．
12、
【解析】
解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直，
所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，
∵长方体的对角线的长为：，
∴球的直径是，半径为，
∴三棱锥B﹣ACD的外接球的表面积为：4π5π．
故答案为5π
考点：外接球.
13、．
【解析】
根据题意可知，，从而得出，再由，即可求出的取值范围．
【详解】
解：由题意可知，，且，
，，
，或，
故的取值范围是，
故答案为：．
本题主要考查等比数列的极限问题，解题时要熟练掌握无穷等比数列的极限和，属于基础题．
14、15
【解析】
分析：运用等比数列的前n项和公式与数列通项公式即可得出的值.
详解：数列为等比数列
，

故答案为15.
点睛：本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查学生对基本概念的掌握能力与计算能力.
15、1
【解析】
由，解得，经过验证即可得出．
【详解】
由，解得．
经过验证可得：满足直线与直线平行，
则实数．
故答案为：1．
本题考查直线的平行与斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
16、
【解析】
分别在和两种情况下进行讨论，当时，根据二次函数图像可得不等式组，从而求得结果.
【详解】
①当，即时，不等式为：，恒成立，则满足题意
②当，即时，不等式恒成立则需：
解得：
综上所述：
本题正确结果：
本题考查不等式恒成立问题的求解，易错点是忽略不等式是否为一元二次不等式，造成丢根；处理一元二次不等式恒成立问题的关键是结合二次函数图象来得到不等关系，属于常考题型.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析;(2) ．
【解析】
试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直性质定理，即利用线面垂直进行证明，而证明线面垂直，则利用线面垂直判定定理，即从已知的线线垂直出发给予证明，本题利用平几知识，如等边三角形性质、正方形性质得线线垂直，（2）求点到直线距离，一般方法利用等体积法转化为求高.
试题解析：（1）等边中, 为中点,
又,且

在正方形中，

(2) 中，,
由(1)知,

等体积法可得
点到平面的距离为．
18、（1）（2）
【解析】
(1)根据直线垂直的公式求解即可.
(2)根据直线平行的公式求解,再利用平行线间的距离公式求解即可.
【详解】
解（1）∵与互相垂直,∴,解得．
（2）由与互相平行,∴,解得．
直线化为：,
∴与间的距离．
本题主要考查了直线平行与垂直以及平行线间的距离公式.属于基础题.
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用三角恒等变换思想得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期；
（2）解不等式，即可得出函数的单调递增区间.
【详解】
（1），
所以，函数的最小正周期为；
（2）令，可得，
因此，函数的单调递增区间为.
本题考查正弦型函数周期和单调区间的求解，解题的关键在于利用三角函数解析式化简，考查计算能力，属于中等题.
20、答案见解析
【解析】
利用函数函数的图像变换规律和五点作图法可解.
【详解】
由函数的图像上的每一点保持纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数的图像,
再将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像.
然后再把函数的图像上每一个点的横坐标保持不变，纵坐标扩大为原来的2倍，得到函数的图像.
作函数的图像
列表得

0
1
0

0
函数图像为

本题考查函数的图像变换的过程叙述和作出函数的一个周期的简图，属于基础题.
21、（1）人，，直方图见解析；（2）人、人、人；（3）.
【解析】
（1）由频率分布直方图能求出第组的频数，第组的频率，从而完成频率分布直方图．
（2）根据第组的频数计算频率，利用各层的比例，能求出第组分别抽取进入第二轮面试的人数．
（3）设第组的位同学为，第组的位同学为，第组的位同学为，利用列举法能出所有基本事件及满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求得概率．
【详解】
（1）①由题可知，第2组的频数为人，
②第组的频率为，
频率分布直方图如图所示，

（2）因为第组共有名学生，
所以利用分层抽样在名学生中抽取名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：
第组： 人，
第组：人，
第组：人，
所以第组分别抽取人、人、人进入第二轮面试．
（3）设第组的位同学为，第组的位同学为，第组的位同学为，
则从这六位同学中抽取两位同学有种选法，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，
其中第组的位同学中至少有一位同学入选的有种，分别为：，，，
∴第组至少有一名学生被考官面试的概率为．
本题考查频率分直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，是基础题．