2025届河北省保定市第七中学数学高一下期末调研模拟试题含解析.doc

2025届河北省保定市第七中学数学高一下期末调研模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，角的平分线，则长为( )
A． B． C． D．
3．延长正方形的边至，使得．若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，下列判断正确的是（ ）

A．满足的点必为的中点
B．满足的点有且只有一个
C．的最小值不存在
D．的最大值为
4．已知等比数列的公比为，若，，则（ ）
A．-7 B．-5 C．7 D．5
5．已知数列满足，，且，则
A．4 B．5 C．6 D．8
6．甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球，其中甲袋中有3个红球，2个白球，乙袋中有2个红球，3个白球，现从两袋中各随机取一球，则两球不同颜色的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．若是等差数列，首项，，，则使前n项和成立的最大正整数n=（ ）
A．2017 B．2018 C．4035 D．4034
8．甲、乙两名运动员分别进行了5次射击训练，成绩如下：
甲：7，7，8，8，1；
乙：8，9，9，9，1．
若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用，表示，方差分别用，表示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．在四边形中，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论正确的是（ ）

A．平面平面
B．平面平面
C．平面平面
D．平面平面
10．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．为等比数列，若，则_______.
12．若函数图象各点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位，得到的函数图象离原点最近的的对称中心是______．
13．将正偶数按下表排列成列，每行有个偶数的蛇形数列（规律如表中所示），则数字所在的行数与列数分别是_______________.

第列
第列
第列
第列
第列
第行

第行

第行

第行

…
…

14．若正实数，满足，则的最小值是________.
15．已知向量，，则向量与夹角的余弦值为__________.
16．设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在直角坐标系中，点，圆的圆心为，半径为2.
（Ⅰ）若，直线经过点交圆于、两点，且，求直线的方程；
（Ⅱ）若圆上存在点满足，求实数的取值范围.
18．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，求：
（１）甲被选中的概率；
（２）丁没被选中的概率.
19．已知函数
（1）求函数的最大值以及取得最大值时的集合；
（2）若函数的递减区间.
20．已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx＋ cos2ωx－
(ω＞0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为 .
（Ⅰ）求f(x)的表达式；
（Ⅱ）将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调减区间.
21．已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间的最大值和最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】

如图，过时，取最小值，为。故选A。
2、B
【解析】
在中利用正弦定理可求，从而可求，再根据内角和为 可得，从而得到为等腰三角形，故可求的长.
【详解】
在中，由正弦定理有即，
所以，因为，故，故，
所以，故，为等腰三角形，故.
故选B.

在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量．
3、D
【解析】
试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则的坐标为，则设，由得
，所以，当在线段上时，，此时，此时，所以；当在线段上时，，此时，此时，所以；当在线段上时，，此时，此时，所以；当在线段上时，，此时，此时，所以；由以上讨论可知，当时，可为的中点，也可以是点，所以A错；使的点有两个，分别为点与中点，所以B错，当运动到点时，有最小值，故C错，当运动到点时，有最大值，所以D正确，故选D．

考点：向量的坐标运算．
【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用．
4、A
【解析】
由等比数列通项公式可构造方程求得，再利用通项公式求得结果.
【详解】

故选：
本题考查等比数列通项公式基本量的计算问题，考查基础公式的应用，属于基础题.
5、B
【解析】
利用，，依次求 ，观察归纳出通项公式 ，从而求出的值.
【详解】
∵ 数列满足，，，
∴，∴，∴ ，
，∴，∴ ，……，
∵，，，，…….，
由此归纳猜想，∴．故选B．
本题考查了一个教复杂的递推关系，本题的难点在于数列的项位于指数位置，不易化简和转化，一般的求通项方法无法解决，当遇见这种情况时一般我们就可以用“归纳”的方法处理，即通过求几项，然后观察规律进而得到结论．
6、D
【解析】
现从两袋中各随机取一球，基本事件总数，两球不同颜色包含的基本事件个数，由此能求出两球不同颜色的概率．
【详解】
甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球，
其中甲袋中有3个红球、2个白球，乙袋中有2个红球、3个白球，
现从两袋中各随机取一球，基本事件总数，
两球不同颜色包含的基本事件个数，
则两球不同颜色的概率为．
故选．
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
7、D
【解析】
由等差数列的性质可得，，由等差数列前项和公式可得则，，得解.
【详解】
解：由是等差数列，
又，
所以，
又首项，，
则，，
则，
，
即使前n项和成立的最大正整数，
故选：D.
本题考查了等差数列的性质，重点考查了等差数列前项和公式，属中档题.
8、D
【解析】
分别计算出他们的平均数和方差，比较即得解.
【详解】
由题意可得，
，
，
．
故，．
故选D
本题主要考查平均数和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
9、D
【解析】
折叠过程中，仍有，根据平面平面可证得平面，从而得到正确的选项.
【详解】

在直角梯形中，因为为等腰直角三角形，故，
所以，故，
折起后仍然满足.因为平面平面，平面，
平面平面，
所以平面，因平面，所以.
又因为，，所以平面，
因平面，所以平面平面.
面面垂直的判定可由线面垂直得到，而线面垂直可通过线线垂直得到，注意面中两条直线是相交的．由面面垂直也可得到线面垂直，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.
10、D
【解析】试题分析：函数是定义在上的奇函数，，故答案为D．
考点：奇函数的应用．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
将这两式中的量全部用表示出来，正好有两个方程，两个未知数，解方程组即可求出。
【详解】
相当于，
相当于，
上面两式相除得代入就得，
基本量法是解决数列计算题最重要的方法，即将条件全部用首项和公比表示，列方程，解方程即可求得。
12、
【解析】
由二倍角公式化简函数式，然后由三角函数图象变换得新解析式，结合正弦函数性质得对称中心．
【详解】
由题意，经过图象变换后新函数解析式为，由，，，绝对值最小的是，因此所求对称中心为．
故答案为：．
本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数的性质，考查二倍角公式，掌握正弦函数性质是解题关键．
13、行列
【解析】
设位于第行第列，观察表格中数据的规律，可得出，由此可求出的值，再观察奇数行和偶数行最小数的排列，可得出的值，由此可得出结果.
【详解】
设位于第行第列，
由表格中的数据可知，第行最大的数为，则，解得，
由于第行最大的数为，所以，是表格中第行最小的数，
由表格中的规律可知，奇数行最小的数放在第列，那么.
因此，位于表格中第行第列.
故答案为：行列.
本题考查归纳推理，解题的关键就是要结合表格中数据所呈现的规律来进行推理，考查推理能力，属于中等题.
14、
【解析】
将配凑成，由此化简的表达式，并利用基本不等式求得最小值.
【详解】
由得，所以.当且仅当，即时等号成立.
故填：.
本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
15、
【解析】
先求出，再求，最后代入向量的夹角公式即得解.
【详解】
由题得
所以向量与夹角的余弦值为.
故答案为
(1)本题主要考查向量的夹角的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：,方法二：设=,=，为向量与的夹角，则.
16、
【解析】
试题分析：设等比数列的公比为，由得，，解得.所以，于是当或时，取得最大值.
考点：等比数列及其应用

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）或.（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）勾股定理求出圆心到直线的距离d，利用d=1以直线的斜率存在、不存在两种情况进行分类讨论；（Ⅱ）设，由求出x、y满足的关系式，可得点在圆上，推出圆与圆有公共点，所以，列出不等式求解即可.
【详解】
（Ⅰ）当，圆心为，
圆的方程为，
设圆心到直线的距离为，则.
①若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
，解得，
此时的方程为，即.
②若直线的斜率不存在，直线的方程为，验证满足，符合题意.
综上所述，直线的方程为或.
（Ⅱ）设，则，
于是
由得，即，
所以点在圆上，又点在圆上，
故圆与圆有公共点，即,
于是，解得，
因此实数的取值范围是.
本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，向量的数量积，根据圆与圆的位置关系求参数，属于中档题.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）先确定从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表总事件数，再确定甲被选中的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率（2）先确定从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表总事件数，再确定丁没被选中的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.
【详解】
（1）从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表共有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁、丙丁共6种基本事件，其中甲被选中包括甲乙，甲丙，甲丁三种基本事件，所以甲被选中的概率为 .
（2）丁没被选中包括甲乙，甲丙，乙丙三种基本事件，
所以丁没被选中的概率为.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
19、（1）当时，的最大值为（2）
【解析】
（1）化简根据正弦函数的最值即可解决，
（2）根据（1）的化简结果，根据正弦函数的单调性即可解决。
【详解】
解：(1)
因为，所以
所以的最大值为 ，此时
（2）由（1）得得
即减区间为
本题主要考查了正弦函数的最值与单调性，属于基础题。
20、（1）f(x)＝sin.（2）
【解析】
　试题分析：（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用周期公式即可求得正解；（2）根据图像变换求出 的表达式，再利用符合函数法求得递减区间.
试题解析：
(1)f(x)＝sin 2ωx＋×－
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin，
由题意知，最小正周期T＝2×＝，
T＝＝＝，所以ω＝2，∴f(x)＝sin.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
得到y＝sin的图象．
所以g(x)＝sin.
由，
得
所以所求的单调减区间为
21、（1），；（2），
【解析】
（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数．进一步求出函数的单调区间．
（2）直接利用三角函数的定义域求出函数的最值．
【详解】
解：（1）

令，
解得，
即函数的单调递增区间为，
（2）由（1）知

所以当，即时，
当，即时，
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调性的应用，利用函数的定义域求三角函数的值域．属于基础型．