北京市第171中学2025届高一下数学期末复习检测模拟试题含解析.doc

北京市第171中学2025届高一下数学期末复习检测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是（ ）
A．9 B．4 C． D．
2．若实数满足，则的最大值是（）
A． B． C． D．
3．在等差数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
4．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中抽测了根棉花的纤维长度（单位：），将样本数据作成如下的频率分布直方图：下列关于这批棉花质量状况的分析，不合理的是（　　）

A．这批棉花的纤维长度不是特别均匀
B．有一部分棉花的纤维长度比较短
C．有超过一半的棉花纤维长度能达到以上
D．这批棉花有可能混进了一些次品
5．设二次函数在区间上单调递减，且，则实数的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．[2，＋∞) C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0，2]
6．数列的通项公式，则（ ）
A． B． C．或 D．不存在
7．数列的通项公式为，若数列单调递增，则的取值范围为
A． B． C． D．
8．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
9．某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ）

A．12π B．45π C．57π D．81π
10．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是
A．，则
B．，则
C．，则
D．，则
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，，，为角，，所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为______.
12．已知指数函数上的最大值与最小值之和为10，则=____________。
13．在锐角中，角、、所对的边为、、，若的面积为，且，，则的弧度为__________．
14．已知正实数满足，则的最小值为__________．
15．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为__________．
16．设无穷等比数列的公比为，若，则__________________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．对于三个实数、、，若成立，则称、具有“性质”.
（1）试问：①，0是否具有“性质2”；
②（），0是否具有“性质4”；
（2）若存在及，使得成立，且
，1具有“性质2”，求实数的取值范围；
（3）设，，，为2019个互不相同的实数，点（）
均不在函数的图象上，是否存在，且，使得、
具有“性质2018”，请说明理由.
18．已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）请确定3998是否是数列中的项？
19．已知函数.
（1）求的值；
（2）设，求 的值.
20．已知向量，.
（1）当为何值时，与垂直？
（2）若，，且三点共线，求的值.
21．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图：
分组
频数
频率

24

4
0.1

2
0.05
合计

1

（1）求出表中，及图中的值；
（2）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；
（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
圆方程配方后求出圆心坐标和半径，知圆心在已知直线上，代入圆心坐标得满足的关系，用“1”的代换结合基本不等式求得的最小值．
【详解】
圆标准方程为，圆心为，半径为，
直线被圆截得弦长为4，则圆心在直线上，∴，，
又，
∴，当且仅当，即时等号成立．
∴的最小值是1．
故选：A．
本题考查用基本不等式求最值，解题时需根据直线与圆的位置关系求得的关系，然后用“1”的代换法把凑配出可用基本不等式的形式，从而可求得最值．
2、B
【解析】
根据，将等式转化为不等式，求的最大值.
【详解】
,
，
，
解得，，
的最大值是.
故选B.
本题考查了基本不等式求最值，属于基础题型.
3、B
【解析】
利用等差中项的性质得出关于的等式，可解出的值.
【详解】
由等差中项的性质可得，
由于，即，即，解得，
故选：B.
本题考查等差中项性质的应用，解题时充分利用等差中项的性质进行计算，可简化计算，考查运算能力，属于基础题.
4、C
【解析】
根据频率分布直方图计算纤维长度超过的频率，可知不超过一半，从而得到结果.
【详解】
由频率分布直方图可知，纤维长度超过的频率为：
棉花纤维长度达到以上的不超过一半 不合理
本题正确选项：
本题考查利用频率分布直方图估计总体数据的分布特征，关键是能够熟练掌握利用频率分布直方图计算频率的方法.
5、D
【解析】
求出导函数，题意说明在上恒成立（不恒等于0），从而得，得开口方向，及函数单调性，再由函数性质可解.
【详解】
二次函数在区间上单调递减，则，，所以，即函数图象的开口向上，对称轴是直线．所以f(0)＝f（2），则当时，有．
实际上对二次函数，当时，函数在递减，在上递增，当时，函数在递增，在上递减.
6、B
【解析】
因为趋于无穷大,故,分离常数即可得出极限.
【详解】
解：因为的通项公式,
要求,即求

故选：B
本题考查数列的极限,解答的关键是消去趋于无穷大的式子.
7、C
【解析】
数列{an}单调递增⇔an+1＞an，可得：n+1+＞n+，化简解出即可得出．
【详解】
数列{an}单调递增⇔an+1＞an，可得：n+1+＞n+，化为：a＜n1+n．
∴a＜1．
故选C．
本题考查了等比数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8、B
【解析】
根据f（x）是R上的奇函数，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期为4，而由x∈[0，1]时，f（x）=2x-m及f（x）是奇函数，即可得出f（0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．
【详解】
∵是定义在R上的奇函数，且；
∴；
∴；
∴的周期为4；
∵时，；
∴由奇函数性质可得；
∴；
∴时，；
∴.
故选：B.
本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.
9、C
【解析】
由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱
故它的体积是5×π×32+π×32×=57π
故选C
10、D
【解析】
根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理依次判断各个选项即可.
【详解】
两平行平面内的直线的位置关系为：平行或异面，可知错误；
且，此时或，可知错误；
，，，此时或，可知错误；
两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条必垂直于该平面，正确.
本题正确选项：
本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查学生对于定理的掌握程度，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
在中，延长交于，由重心的性质，找到、和的关系，在和中利用余弦定理分别表示出和，求出，再利用余弦定理表示出，利用基本不等式和的范围求解即可.
【详解】
画出，连接，并延长交于，
因为是的重心，所以为中点，
因为，所以，
由重心的性质，，
在中，由余弦定理得，
，
在中，由余弦定理得
，
因为，所以，
又，
所以，
在中，由余弦定理和基本不等式，
，
又，所以，
故.

故答案为：
本题主要考查三角形重心的性质、余弦定理解三角形和基本不等式求最值，考查学生的分析转化能力，属于中档题.
12、
【解析】
根据和时的单调性可确定最大值和最小值，进而构造方程求得结果.
【详解】
当时，在上单调递增 ，
，解得：或（舍）
当时，在上单调递减 ，
，解得：（舍）或（舍）
综上所述：
故答案为：
本题考查利用函数最值求解参数值的问题，关键是能够根据指数函数得单调性确定最值点.
13、
【解析】
利用三角形的面积公式求出的值，结合角为锐角，可得出角的弧度数.
【详解】
由三角形的面积公式可知，的面积为，
得，为锐角，因此，的弧度数为，故答案为.
本题考查三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.
14、6
【解析】
由题得，解不等式即得x+y的最小值.
【详解】
由题得,
所以，
所以，
所以x+y≥6或x+y≤-2(舍去)，
所以x+y的最小值为6.
当且仅当x=y=3时取等.
故答案为：6
本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
15、-1.
【解析】
分析：可建立坐标系，用平面向量的坐标运算解题．
详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，
∴
，
易知当时，取得最小值.
故答案为－1．

点睛：求最值问题，一般要建立一个函数关系式，化几何最值问题为函数的最值，本题通过建立平面直角坐标系，把向量的数量积用点的坐标表示出来后，再用配方法得出最小值，根据表达式的几何意义也能求得最大值．
16、
【解析】
由可知,算出用表示的极限,再利用性质计算得出即可.
【详解】
显然公比不为1,所以公比为的等比数列求和公式,
且,故.此时当时,求和极限为,所以,故,
所以,故,又,故.
故答案为：.
本题主要考查等比数列求和公式,当时.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）①具有“性质2”，②不具有“性质4”；（2）；（3）存在.
【解析】
（1）①根据题意需要判断的真假即可② 根据题意判断是否成立即可得出结论；（2）根据具有性质2可求出的范围，由存在性问题成立转化为 ，根据函数的性质求最值即可求解.
【详解】
（1）①因为，成立,
所以，故，0具有“性质2”
②因为，设，则
设，
对称轴为，
所以函数在上单调递减，当时，，
所以当时，不恒成立，
即不成立，
故（），0不具有“性质4”.
（2）因为，1具有“性质2”
所以
化简得
解得或 .
因为存在及，使得成立，
所以存在 及使 即可.
令，则，
当时，，
所以在上是增函数，
所以时，，当时，，
故时，
因为在上单调递减，在 上单调递增，
所以，
故只需满足即可，解得.
（3）假设具有“性质2018”，则，
即证明在任意2019个互不相同的实数中，一定存在两个实数,满足：
.
证明：
由，
令，由万能公式知，
将等分成2018个小区间，则这2019个数必然有两个数落在同一个区间，令其为：，即，
也就是说，在，，，这2019个数中，一定有两个数满足，
即一定存在两个实数，满足，
从而得证.
本题主要考查了不等式的证明，根据存在性问题求参数的取值范围，三角函数的单调性，万能公式，考查了创新能力，属于难题.
18、（1）（2）第1000项
【解析】
（1）由题意有，解方程组即得数列的通项公式；（2）假设3998是数列中的项，有，得，即可判断得解.
【详解】
解：（1）设数列的公差为，
由题意有，解得，
则数列的通项公式为.
（2）假设3998是数列中的项，有，得，
故3998是数列中的第1000项.
本题主要考查等差数列基本量的计算，考查某一项是否是等差数列中的项的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
19、（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）直接带入求值；
（2）将和直接带入函数，会得到和的值，
然后根据的值．
试题解析：解：（1）
（2）

考点：三角函数求值
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用坐标运算表示出与；根据向量垂直可知数量积为零，从而构造方程求得结果；（2）利用坐标运算表示出，根据三点共线可知，根据向量共线的坐标表示可构造方程求得结果.
【详解】
（1），
与垂直
，解得：
（2）三点共线
，
，解得：
本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量平行和垂直的坐标表示；关键是能够明确两向量垂直则数量积等于零，能够利用平行关系表示三点共线.
21、 (1)；；；(2) 60人．(3)
【解析】
（1）根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量，写出算式，求出式子中的字母的值；
（2）该校高三学生有240人，分组内的频率是0.25，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人；
（3）设在区间内的人为，，，，在区间内的人为，，写出任选2人的所有基本事件，利用对立事件求得答案.
【详解】
（1）由分组内的频数是10，频率是0.25知，，
∴．
∵频数之和为40，
∴，，．
∵是对应分组的频率与组距的商，
∴；
（2）因为该校高三学生有240人，分组内的频率是0.25，
∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．
（3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人，
设在区间内的人为，，，，在区间内的人为，．
则任选2人共有，，，，，，，，，，，，，，15种情况，而两人都在内只能是一种，
∴所求概率为．
本题以图表为背景，考查从图表中提取信息，同时在统计的基础上，考查古典概型的计算，考查基本数据处理能力.