江苏省淮安市四校2024-2025学年高一下数学期末考试模拟试题含解析.doc

江苏省淮安市四校2024-2025学年高一下数学期末考试模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，那么原中的大小是（ ）．

A． B． C． D．
2．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列且是首项为2，公差为1的等差数列，若数列是递增数列，且满足，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．同时抛掷两枚骰子，朝上的点数之和为奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．下图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（ ）

A．3立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．12立方丈
6．已知函数的部分图象如图所示，则函数在上的最大值为（ ）

A． B． C． D．1
7．设l是直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
8．对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知，与的夹角，则在方向上的投影是（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图，以为直径的圆中，，在圆上，，于，于，，记，，的面积和为，则的最大值为______.

12．如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．下列命题正确的为_______________.

①存在点，使得//平面；
②对于任意的点，平面平面；
③存在点，使得平面；
④对于任意的点，四棱锥的体积均不变．
13．记，则函数的最小值为__________．
14．已知数列的通项公式，那么使得其前项和大于7.999的的最小值为______.
15．圆上的点到直线的距离的最小值是______.
16．数列的前项和为，，且（），记，则的值是________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，角的平分线交于点D，是面积的倍.
（I）求的值；
（II）若，，求的值.
18．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见下表.

规定：三级为合格等级，D为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.

（I）求和频率分布直方图中的的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；
（II）在选取的样本中，从两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是等级的概率．
19．在数列中，，，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求数列的前项和.
20．（1）证明：；
（2）证明：对任何正整数n，存在多项式函数，使得对所有实数x均成立，其中均为整数，当n为奇数时，，当n为偶数时，；
（3）利用（2）的结论判断是否为有理数？
21．如图所示，某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东，向北航行40分钟后到达点，测得油井P在南偏东，海轮改为北偏东的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离．

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据斜二测画法还原在直角坐标系的图形，进而分析出的形状，可得结论．
【详解】
如图：

根据斜二测画法可得：
，
故原是一个等边三角形
故选
本题是一道判定三角形形状的题目，主要考查了平面图形的直观图，考查了数形结合的思想
2、A
【解析】
先求出图像变换最后得到的解析式，再求函数图像的对称轴方程.
【详解】
由题得图像变换最后得到的解析式为，
令，
令k=-1,所以.
故选A
本题主要考查三角函数图像变换和三角函数图像对称轴的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
3、D
【解析】
根据等差数列和等比数列的定义可确定是以为首项，为公比的等比数列，根据等比数列通项公式，进而求得；由数列的单调性可知；分别在和两种情况下讨论可得的取值范围.
【详解】
由题意得：，
， 是以为首项，为公比的等比数列

为递增数列 ，即
①当时，， ，即
只需即可满足
②当时，， ，即

只需即可满足
综上所述：实数的取值范围为
故选：
本题考查根据数列的单调性求解参数范围的问题，涉及到等差和等比数列定义的应用、等比数列通项公式的求解、对数运算法则的应用等知识；解题关键是能够根据单调性得到关于变量和的关系式，进而通过分离变量的方式将问题转化为变量与关于的式子的最值的大小关系问题.
4、A
【解析】
分别求出基本事件的总数和点数之和为奇数的事件总数,再由古典概型的概率计算公式求解.
【详解】
同时抛掷两枚骰子,总共有种情况,
朝上的点数之和为奇数的情况有种,
则所求概率为.
故选:A.
本题考查古典概型概率的求法,属于基础题.
5、B
【解析】
几何体如图：

体积为 ，选B.
点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．
6、A
【解析】
由图象求出T、ω和φ的值，写出f（x）的解析式，再求x∈[6，10]时函数f（x）的最大值．
【详解】
由图象可知，5﹣3＝2，解得T＝8，
由T8，解得ω；
∴函数的解析式是f（x）＝sin（x+φ）；
∵（5，1）在f（x）的图象上，有1＝sin（φ）
∴φ＝2kπ，k∈Z；
φ＝2kπ，k∈Z；
又﹣π＜φ＜0，∴φ；
∴函数的解析式是f（x）＝sin（x）
当x∈[6，10]时，x∈[，]，
∴sin（x）∈[﹣1，]；
∴函数f（x）的最大值是．
故选A．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，熟记图像与性质是关键，是基础题．
7、D
【解析】
利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案.
【详解】
A.若，，则与可能平行，也可能相交，所以不正确.
B.若，，则与可能的位置关系有相交、平行或,所以不正确.
C.若，，则可能，所以不正确.
D.若，，由线面平行的性质过的平面与相交于，则，又.
所以，所以有，所以正确.
故选：D
本题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题.
8、B
【解析】
分析：由题意首先求得的通项公式，然后结合等差数列的性质得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.
详解：由题意,，
则，很明显
n⩾2时,，
两式作差可得：，
则an=2(n+1),对a1也成立，故an=2(n+1)，
则an−kn=(2−k)n+2，
则数列{an−kn}为等差数列，
故Sn⩽S6对任意的恒成立可化为：
a6−6k⩾0,a7−7k⩽0；
即，解得：.
实数的取值范围为.
本题选择B选项.
点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
9、B
【解析】
令求，利用求．
【详解】
令，由得：，所以
令，由得：，所以，故选B．
本题考查了直线的截距问题，直线方程，令解出，得到直线的纵截距．令解出，得到直线的横截距．
10、A
【解析】
根据向量投影公式计算即可
【详解】
在方向上的投影是：
故选：A
本题考查向量投影的概念及计算，属于基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
可设，表示出S关于的函数，从而转化为三角函数的最大值问题.
【详解】
设，则，
，
，
当时，.
本题主要考查函数的实际运用，三角函数最值问题，意在考查学生的划归能力，分析能力和数学建模能力.
12、①②④
【解析】
根据线面平行和线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可．
【详解】
①当为棱上的一中点时，此时也为棱上的一个中点，此时//，满足//平面，故①正确；
②连结，则平面，因为平面，所以平面平面，故②正确；
③平面，不可能存在点，使得平面，故③错误；
④四棱锥的体积等于，设正方体的棱长为1.
∵无论、在何点，三角形的面积为为定值，三棱锥的高，保持不变，三角形的面积为为定值，三棱锥的高为，保持不变.
∴四棱锥的体积为定值，故④正确.
故答案为①②④.
本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，解答本题的关键正确利用分割法求空间几何体的体积的方法，综合性较强，难度较大．
13、4
【解析】
利用求解.
【详解】

，当时，等号成立.
故答案为：4
本题主要考查绝对值不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
14、1
【解析】
直接利用数列的通项公式，建立不等式，解不等式求出结果．
【详解】
解：数列的通项公式，
则：，
所以：当时，
即：，
当时，成立，
即：的最小值为1．
故答案为：1
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
15、
【解析】
求圆心到直线的距离，用距离减去半径即可最小值.
【详解】
圆C的圆心为，半径为，
圆心C到直线的距离为：，
所以最小值为：
故答案为：
本题考查圆上的点到直线的距离的最值，若圆心距为d，圆的半径为r且圆与直线相离，则圆上的点到直线距离的最大值为d+r，最小值为d-r.
16、3
【解析】
由已知条件推导出是首项为，公比为的等比数列，由此能求出的值.
【详解】
解：因为数列的前项和为，，且（），
，.
即，.
是首项为，公比为的等比数列，

故答案为：
本题考查数列的前项和的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理应用，属于中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（I）；（II）.
【解析】
（I）根据是面积的倍列式，由此求得的值.（II）用来表示，利用正弦定理和两角差的正弦公式，化简（I）所得的表达式，求得的值，进而求得的值，利用正弦定理求得的值.
【详解】
（I）因为AD平分角，所以．
所以．
（II）因为，所以，
由（I）．
所以，即．
得，因为AD平分角，所以．
因为，由正弦定理知，
即，得．
本小题主要考查三角形的面积公式，考查三角形内角和定理，考查正弦定理解三角形，考查角平分线的性质，属于中档题.
18、（I），；（II）.
【解析】
试题分析：(I)根据频率直方图的相关概率易求，依据样本估计总体的思想可得该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（II）记“至少有一名学生是等级”事件为，求事件对立事件的的概率，可得.
试题解析：（I）由题意可知，样本容量

因为成绩是合格等级人数为：人，抽取的50人中成绩是合格等级的频率为，依据样本估计总体的思想，所以，该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为
（II）由茎叶图知，等级的学生共有3人，等级学生共有人，记等级的学生为，
等级学生为，则从8名学生中随机抽取2名学生的所有情况为：

共28个基本事件
记“至少有一名学生是等级”事件为，则事件的可能结果为
共10种
因此
考点：1、频率分布直方图；2、古典概型.
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）由题意知，数列是等差数列，可设该数列的公差为，根据题中条件列方程解出的值，再利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式；
（2）先求出数列的通项公式，并将该数列的通项裂项，然后利用裂项法求出数列的前项和.
【详解】
（1）对任意的，，则数列是等差数列，设该数列的公差为，
则，解得，
；
（2），
因此，.
本题考查等差数列的通项公式，同时也考查了裂项求和法，解题时要熟悉等差数列的几种判断方法，同时也要熟悉裂项求和法对数列通项结构的要求，考查运算求解能力，属于中等题.
20、（1）见解析；（2）见解析；（3）不是
【解析】
（1），利用两角和的正弦和二倍角公式，进行证明；（2）对分奇偶，即和两种情况，结合两角和的余弦公式，积化和差公式，利用数学归纳法进行证明；（3）根据（2）的结论，将表示出来，然后判断其每一项都为无理数，从而得到答案.
【详解】
（1）

所以原式得证.
（2）为奇数时，
时，，其中，成立
时，
，其中，成立
时，
，其中，成立，
则当时，

所以得到

因为均为整数，所以也均为整数，
故原式成立；
为偶数时，
时，，其中，
时，
，
其中，成立，
时，
，
其中，成立，
则当时，

所以得到

其中，
因为均为整数，所以也均为整数，
故原式成立；
综上可得：对任何正整数，存在多项式函数，使得对所有实数均成立，其中，均为整数，当为奇数时，，当为偶数时，；
（3）由（2）可得

其中均为有理数，
因为为无理数，所以均为无理数，
故为无理数，
所以不是有理数.
本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式，积化和差公式，数学归纳法证明，属于难题.
21、海里
【解析】
在中，利用正弦定理可求得BP的长，在直角三角形中，利用勾股定理，可求P、C间的距离．
【详解】
在中，，，，
由正弦定理知得，
∴.
在中，，
又，∴，
∴可得P、C间距离为（海里）
本题的考点是解三角形的实际应用，主要考查将实际问题转化为数学问题，可把条件和问题放到三角形中，利用正弦定理及勾股定理求解．